例5一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象是

         A                   B                  C                    D

【考点要求】本题考查一次函数与反比例函数在同一坐标系内图象的判定．

【思路点拨】可假定一次函数图象正确，逐一判断出k的取值范围，再结合反比例函数及一次函数的图象看是否会出现矛盾，若出现矛盾则该选项错误，

【答案】选A．

【方法点拨】少数学生因未能掌握这类问题的解法以致举棋不定，无从下手。突破方法：所有这类判断图象可能性的问题的解法相近，关键就是以每一个选项中的某个图象所反映的字母系数符号判断出来，然后再看与另一个图象是否相符。

例6已知抛物线的部分图象如图3-2所示，若y＜0，则x的取值范围是

A．－1＜x＜4              B．－1＜x＜3 

C．x＜－1或 x＞4         D．x＜－1或 x＞3

【考点要求】本题考查利用二次函数图象解不等式．

【思路点拨】抛物线的图象上，当y=0时，对应的是抛物线与x轴的交点，坐标分别为（－1，0）、（3，0）．当y＜0时所对应的是x轴下方的部分，对应的x在－1与3之间，所以x的取值范围是－1＜x＜3  ，

【答案】选B．

【方法点拨】本题解题关键在于正确理解y＜0在图象上反映出来的是对应x轴下面的部分，而这一段图象对所应的自变量的取值范围是－1至3，其中3根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴左边的交点坐标来确定的。

例7在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C，如图3-3，点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO

（1）       求这个二次函数的解析式；

（2）       设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.

【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。

【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式

（1），

，，

。

。

（2），

.

【答案】（1）；（2）。

【方法点拨】部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难。突破方法：由BO＝CO且点C的坐标为（0，－3）可推知点B的坐标为（3，0），然后代入求解。

例8小明在银行存入一笔零花钱，已知这种储蓄的年利率为n%．若设到期后的本息和（本金+利息）为y(元)，存入的时间为x（年），那么（1）下列那个图像更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？

（2）根据（1）的图象，求出y于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和．

【考点要求】本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式．

【思路点拨】（1）图乙反映y与x之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是100元一年后的本息和是102.25元

（2）设y与x的关系式为：y=100 n%x+100

把（1，102.25）代入上式，得n=2.25

∴y=2.25x+100

当x=2时，y=2.25×2+100=104.5(元)

【答案】（1）图乙，存入的本金是100元，一年后的本息和是102.25元。（2）两年后的和是104.5元。

【方法点拨】在选择图象时，应抓住起始钱数为100元，然后随着时间推移逐步增加，到1年时总钱数变为102.25元。确定好图象后，根据图象中的数据，利用待定系数法，容易求一次函数解析式。

例9一次函数y=x+b与反比例函数 图像的交点为A(m，n)，且m，n(m<n)

是关于x的一元二次方程kx²+(2k-7)x+k+3的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m，n为常数．

（1）求k的值；

（2）求A的坐标与一次函数解析式．

【考点要求】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与x轴的交点横坐标是其对应的一元二次方程的两个根．

【思路点拨】（1）由方程有两个不相等的实数根，得：

△== ∴

又∵k为非负整数   ∴k=0，1

当k=0时，方程kx²+(2k-7)x+k+3=0不是一元二次方程，与题设矛盾

∴k=1

观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为

在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图3-4中，图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图3-4中，图③．

回答下列问题：

（1）在直角坐标系中，如图3-5，用作图象的方法求出方程组的解；

则是方程组的解．

（2）如阴影所示．

【答案】（1）；（2）如图3-5所示。

【方法点拨】本题的难点是对题目条件所给信息的理解与运用。突破方法：结合图形反复研读，理解不等式与它所对应的直线的关系，并能在图象中用阴影表示出来。运用这一知识求解不等式组时，也就是要找出各不等式所表示的阴影的公共部分。

例11如图3-6，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标

为（2,0）．

（1） 求点B的坐标；

（2） 若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；

（3） 在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点要求】本题考查求二次函数解析式，并探索抛物线上点的存在性，培养学生分析问题，解决问题的综合能力．

【思路点拨】（1） 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则  OD=，BD=，∴ 点B的坐标为() ．

（2） 将A(2,0)、B()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax²+bx+c，得

解方程组，有  a=，b=，c=0.

∴ 所求二次函数解析式是 y=x²+x.

（3） 设存在点C（x , x²+x）（其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大.

∵△OAB面积为定值，

∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.

过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则

S_△OBC= S_△OCF +S_△BCF==，

而 |CF|==，

∴ S_△OBC= .

∴ 当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.

此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为.

【答案】（1）B；（2）y=x²+x；（3）存在点C坐标为()，此时四边形ABCO的面积最大为。

【方法点拨】（1）解题方法较为灵活，容易解决。（2）因为已具备图象上三点坐标，可直接设为一般式，代入三点求解；也可以设为两根式，再代入点B坐标求解。（3）关键要抓住四边形ABCO的面积由两部分组成，其中△OAB面积为定值，因此要四边形面积最大，问题转化为判断△OBC面积是否存在最大值。

●难点突破方法总结

函数在中考中占有很重要的地位，是中考必考内容之一。课改实验区的函数综合题其背景材料更加丰富，更加贴近生活，更加注重对解决问题的思维过程的考查，但其计算量和书写量与非课改区相比，又有较大幅度的下降。在完成函数问题方面，要注重以下几点。

1.正确理解和掌握各种函数的概念、图象和性质，这是解决所有函数问题的基本前提。

2.应用函数性质解决相关问题时，要树立数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象、直观地解决有关不等式、最值、方程的解、以及图形的位置关系等问题。

3.利用转化思想，通过求点的坐标，来达到求线段长度；通过求线段的长度求点的坐标；通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点问题。

4.探究性问题的解题思路没有固定的模式和套路，解答相关问题时，可从以下几个角度考虑：（1）特殊点法；（2）分类讨论法；（3）类比猜测法等，最重要的还是要结合具体题目的特点进行分析，灵活选择和运用适当的数学思想及解题技巧。

●拓展演练

1． 如果正比例函数及反比例函数图象都经过点（-2，4），则正比例函数的解析式为              ，反比例函数的解析式为                  ．

2. 抛物线的顶点坐标是　　　　　　，对称轴是　　　　　．

3．二次函数与轴有　　　　　个交点，交点坐标是           ．

4．已知是整数，且一次函数的图象不过第二象限，则m=       .

5．直线y =与两坐标轴围成的三角形面积是                 .

6．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式                .

7. 反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为             ．

8. 双曲线和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝____________．

10.在电压一定的情况下，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，则I关于R的函数表达式为                    ．

11. 直线y=kx+1一定经过点（    ）

A．（1，0）        B．（1，k）        C．（0，k）          D．（0，1）

12. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C，且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，则y与x的关系式是（    ）

   A．y=5x           B．y=x          C．y=x            D．y=x

13. y=(x－1)²＋2的对称轴是直线　（　　

A．x=－1               B．x=1                C．y=－1               D．y=1

14. 如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上．现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为，运动的距离为．下面表示与的函数关系式的图象大致是（    ）

15．点P（a，b）在第二象限，则点Q(a-１，b+1)在（    ）

A．第一象限      B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

16．下列函数中,自变量的取值范围选取错误的是(    )

          A．中, 取全体实数        B．中, 取的实数

          C．中, 取的实数     D．中, 取的实数

17．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（　　）

A．反比例函数     B．正比例函数   C．一次函数    D．二次函数

18．若二次函数，当x取时，函数值相等，则当x取时，函数值为（    ）

A．a+c             B．a－c           C．－c           D．c

19．抛物线的一部分如图所示，该抛物线在轴右侧部分与轴交点的坐标是

A．（，0）       B．（1，0）      C．（2，0）      D．（3，0）

20．抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＜0；④＜0.其中正确的结论是（      ）

A．①②            B．②③          C．②④         D．③④

21．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表：

（元）

15

20

25

30

…

（件）

25

20

15

10

…

（1）在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立与的恰当函数模型．

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

22．如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S_△FAE∶S_{四边形AOCE}＝1∶3．

（1） 求出点E的坐标；     

（2）求直线EC的函数解析式.

23．某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：

年   度

2001

2002

2003

2004

投入技改资金z(万元)

2.5

3

4

4.5

产品成本(万元／件)

7.2

6

4.5

4

（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；

（2）按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．

① 预计生产成本每件比2004年降低多少万元?

② 如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）?

24．已知函数

（1）求函数的最小值；

（2）给定坐标系中，画出函数的图象；

（3）设函数图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），求的值．

25．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．

（1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax²的解析式；

（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）

26．如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.

（1）设矩形的一边为（m），面积为(m²)，求关

于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

●习题答案

1． （提示：设正比例函数与反比例函数分别为，把点（-2，4）代入）

2.（－2，5），x=－2（提示：根据顶点式，顶点为，对称轴为）

3．2，（－2，0）、（1，0）（提示：把y=0代入解析式得，解之得）

5．（提示：直线与x轴交点坐标为（－2，0），与y轴交点坐标为（0，－），所以围成的三角形面积为）

6．（提示：答案不唯一，只需满足k＜0）

7.－2（提示：由可得，把点（2，－1）代入即可）

8.－2（提示：把A（－1，－4）代入求得k=4，再把B（2，m）代入求得m=2，再把A（－1，－4），B（2，2）代入y＝ax＋b，可求得a=2，b=－2）

9. 1（提示：答案不唯一，只需满足＜0即可）

10.（提示：设，把（2，3）代入，求得k=6）

11.D（提示：把各选项的坐标分别代入）

12.C（提示：根据题意，△AED∽△ABC，所以即，所以）

13. B（提示：根据顶点式，对称轴为）

14. C（提示：由题意，y的变化规律为先由小变大，再由大变小，且抛物线的开口均向上）

15. B（提示：P（a，b）在第二象限，所以a＜0，b＞0，所以a-１＜0，b+1＞0，因此点Q(a-１，b+1)在第二象限）

16．D（提示：D项中分母不能为0，所以应取的x＞－3实数）

17．A（提示：由题意，当s一定时，速度v是时间t的反比例函数）

18．D（提示：二次函数对称轴为y轴，当x取时函数值相等，所以关于对称轴对称，所以，把x=0代入解析式得y=c）

19．B（提示：由图象可看出抛线对称轴为x=－1，与x轴的一个交点为x=－3，则另一点与之关于x=－1对称，为x=1，所以另一点为（1，0））

20．B（提示：由图象可知＞0，＞0，＜0，所以＜0，所以＜0；又因为点（1，2）在抛物线上，把（1，2）代入解析式可得；由图象可知，当x=－1时，对应的y在x轴下方，所以＜0；而抛物线与x轴有两个交点，故＞0）

21．解：（1） 经观察发现各点分布在一条直线上，∴设 （k≠0）

用待定系数法求得

（2）设日销售利润为z ，则=

当x=25时，z最大为225，

所以当每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元．

22．解：（1） ∵S_△FAE∶S_{四边形AOCE}＝1∶3，      ∴S_△FAE∶S_△FOC＝1∶4，

∵四边形AOCB是正方形，      ∴AB∥OC，     ∴△FAE∽△FOC，∴AE∶OC＝1∶2，  

∵OA＝OC＝6，   ∴AE＝3，  ∴点E的坐标是(3,6)

（2） 设直线EC的解析式是y＝kx＋b，

∵直线y＝kx＋b过E(3,6)和C(6，0)

∴，解得：

∴直线EC的解析式是y＝－2x＋12

23．解：（1）设其为一次函数，解析式为

当时，；  当=3时，6．

    解得，  ∴一次函数解析式为

把时，代人此函数解析式，左边≠右边．   ∴其不是一次函数．

同理．其也不是二次函数．    

设其为反比例函数．解析式为．  当时，，

可得       解得    ∴反比例函数是．

验证：当=3时，，符合反比例函数．

同理可验证4时，，时，成立．

可用反比例函数表示其变化规律．

（2）解：①当5万元时，，．     （万元），

∴生产成本每件比2004年降低0．4万元．

②当时，．     ∴

∴（万元）

∴还约需投入0.63万元．

24．解：（1）∵，

∴当x=2时，.  

（2）如图，图象是一条开口向上的抛物线．

对称轴为x=2,顶点为（2，-3）．

（3）由题意，x₁，x₂，是方程x²-4x+1=0的两根，

∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1. 

∴

25．解：（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得点A的坐标为（0.6，0.6），

代入y=ax²，得a=，        ∴抛物线的解析式为y=x².

（2）点D₁，D₂的横坐标分别为0.2，0.4，

 代入y=x²，得点D₁，D₂的纵坐标分别为：y₁=×0.2²≈0.07，y₂=×0.4²≈0.27，

 ∴立柱C₁D₁=0.6－0.07=0.53，C₂D₂=0.6－0.27=0.33，

由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：

2（C₁D₁+ C₂D₂）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米.

26．解：（1） 由已知，矩形的另一边长为

则= =，自变量的取值范围是0＜＜18.  

（2）∵  == 

∴ 当=9时（0＜9＜18)，苗圃的面积最大，最大面积是81      

又解:  ∵  =－1＜0，有最大值，        

∴  当 =时（0＜9＜18)， （） 

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