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专题四《统计与概率》
●中考点击
考点分析：
内容
要求
1、数据的收集、整理、描述与分析等统计的意义
Ⅰ
2、总体、个体、样本，全面调查及抽样抽查，频数、频率等概念
Ⅰ
3、利用扇形图、条形图、直方图及折线图进行数据整理
Ⅱ
4、理解概率的意义，会用列举法及频率求概率
Ⅱ
5、能利用统计与概率知识解决实际生活中的有关问题
Ⅱ
命题预测：概率是新课程标准下新增的一部分内容，从2004、2005以及2006年课改实验区的中考试题来看，概率在试题中占有一定的比例，一般在10分左右，因此概率已成为近两年及今后中考命题的亮点和热点．
在中考命题时，关于概率的考题，多设置为现实生活中的情境问题，要求学生能分清现实生活中的随机事件，并能利用画树状图及列表的方法计算一些简单事件发生的概率．因此学生在复习时要多接触现实生活，多作实验，留心身边的每一件事，把实际问题与理论知识结合到一块来考虑问题．预测2007年将进一步考查在具体情况中求简单事件发生的概率以及运用概率的知识对一些现象作出合理的解释．
●难点透视
例1六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2、3、5、13、3、10，这六个数的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点要求】本题考查统计的基本概念中位数的意义．
【思路点拔】中位数是把数据按一定顺序排列后位于中间位置的一个数或两个数的平均数，本题共6个数据，按从小到大顺序排列后，中间位置的两个数是第3、4个，分别是3和5，它们的平均数为4，所以中位数是4．
【答案】选B．
【错解剖析】不能正确理解中位数的意义，简单的理解成中间位置上的一个数或两个数的平均数．突破方法：判断中位数时，必须先按一定顺序排列．
解题关键：要看清一组数据是否按一定顺序排列．
例2如图4-1是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图．根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）
A．甲户比乙户多 B．乙户比甲户多
C．甲、乙两户一样多 D．无法确定哪一户多
【考点要求】本题考查扇形统计图的意义．
【思路点拔】因为扇形统计图中的数据只能反映各组数据所占的百分比的大小，题目中并没有提供支出的总费用，所以不能确定全年食品支出的具体大小．
【答案】选D．
【错解分析】部分学生简单地从所占百分比进行比较判断．突破方法：具体费用的多少，必须用总费用乘各项支出的百分比．
解题关键：扇形图中各项的百分比表示各组数据所占的比例大小，但不能表示具体的数值．
例3 “长三角”16个城市中浙江省有7个城市．图4-2中，图1、图2分别表示2004年这7个城市GDP（国民生产总值）的总量和增长速度．则下列对嘉兴经济的评价，错误的是
A．GDP总量列第五位 B．GDP总量超过平均值
C．经济增长速度列第二位 D．经济增长速度超过平均值
【考点要求】本题考查条形统计知识，要求能根据统计分析相关数据，得出信息．
【思路点拔】由条形图1可知，嘉兴GDP总量在杭州、宁波、绍兴、台州之后，位列第5，而由条形图2可知GDP增长速度位于舟山之后，列第2；由图1，可算得GDP总量平均值为1301.6亿元，由条形图2可算得增长速度平均值为15.5%．
【答案】选B．
【方法点拨】本题以计算为主．突破方法：要做出正确选择，必须求出两个条形图中提供信息的平均值．
例4一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对9位学生的鞋号进行了抽样调查. 其号码为：24、22、21、24、23、20、24、23、24. 经销商最感兴趣的是这组数据中的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【考点要求】本题考查统计知识在生活中的应用．
【思路点拔】因为经销商所关心的是哪种号码的鞋最好销售，也就是各种号码中卖出最多的．
【答案】选B．
【规律总结】本题是一道联系生活实际的问题．突破方法：销售商最想知道的是哪种号码的鞋最好卖，能反应出这一点的是众数．
例5甲、乙、丙三台机床生产直径为
【考点要求】本题考查方差的有关知识，方差越小，说明数据波动越小，比较稳定．
【思路点拔】因为S2乙＜S2丙＜S2甲，所以乙机床生产的螺丝质量比较稳定．
【答案】填乙．
【错解剖析】不能正确理解方差与波动之间的关系．突破方法：正确理解方差越大，波动越大，说明数据越不稳定．
例6以下说法合理的是（ ）
A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6
C、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖．
D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51．
【考点要求】本题考查对概率意义的理解．
【思路点拔】A项中实验次太少；B项应该是经过大量实验平均每6次有一次掷得6；C不一定，彩票数量很大，这100张中可能一张也不会中奖，也可能不止一张中奖；D项两组概率接近0.5，所以正确．
【答案】选D．
【错解剖析】容易错选B，主要是由于未能正确理解概率的意义，必须是在大量试验的前提下，平均每6次就有1次．
例7如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分. 谁先累积到10分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.
【考点要求】本题考查利用概率判断规则的公平性．
【思路点拔】两枚硬币抛掷的所有可能结果是：正正、正反、反正、反反，其中两个正面的概率是P（两个正面）=
，所以甲的积分为：
×1=，乙的积分为：×1=.因此甲获胜可能性更大．
【答案】填甲．
【错解剖析】部分学生易错误的认为其它他结果为一正一反即正反与反正，从而把甲得分概率错求为
．突破方法：两个正面之外的其他结果包括一正一反、反反．
解题关键：用列举法把各种结果全部表示出来．
例8用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为
，摸到黄球的概率为
，则应设
个白球， 个红球， 个黄球．
【考点要求】本题考查概率实验中小球数目的确定．
【思路点拔】因为一共有6个球，需满足条件：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，则白球有6×=3个，红球有6×=2个，黄球有6×=1个．
【答案】填3，2，1．
【错解剖析】部分学生容易忽视总共是6个球，而只考虑三种颜色球之比为3：2：1.
例9在中考体育达标跳绳项目测试中，1分钟跳160次为达标，小华记录了她预测时1分钟跳的次数分别为145，156，143，163，166，则他在该次预测中达标的概率是
【考点要求】本题主要考查计算简单事件发生的概率．
【思路点拔】这个事件的所有可能出现的结果有5种，其中达标的结果有2种，所以他达标的概率是
.
【答案】
【方法点拔】由预测的达标概率来估计中考达标原概率．
例10我市部分学生参加了2005年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：
分数段
0－19
20－39
40－59
60－79
80－99
100－119
120－140
人 数
0
37
68
95
56
32
12
请根据以上信息解答下列问题：
（1） 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？
（2） 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上 (含60分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；
（3） 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？
（4） 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为105人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息.
【考点要求】本题考查利用统计知识对所给数据进行分析，并解决相关问题．
【思路点拔】（1）全市共有300名学生参加本次竞赛决赛，最低分在20－39之间，最高分在120－140之间
（2） 本次决赛共有195人获奖，获奖率为65％ .
（3） 决赛成绩的中位数落在60―79分数段内.
（4） 如“120分以上有12人；60至79分数段的人数最多；……”等.
【答案】（1）最低分在20－39之间，最高分在120－140之间；
（2）获奖率为65％；
（3）60至79分；
（4）120分以上有12人；60至79分数段的人数最多．
【方法点拔】从问题出发，对表格中的数据进行分析，找出对解题有用的信息．
例11市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？
(2)哪位运动员的成绩更为稳定？
(3)若预测，跳过
【考点要求】本题考查平均数、方差等知识，并能利用方差判断成绩的稳定性，从而帮助作出决策的实际应用问题．
【思路点拔】（1）
（2）
故甲稳定
（3）可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过
也可能选乙参加，因为甲仅3次超过1.70m．（答案不唯一，言之有据即可）
【答案】（1）；
（2）甲稳定；
（3）答案不唯一，言之有据即可
【方法点拔】回答第（3）问时，并无固定答案，从不同角度可做出不同回答．
例12如图所示，A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系
．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？
【考点要求】本题考查从折线图中获取信息，并结合信息加以评价，解决相关问题．
(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．
(2)
＝
＝3（万元），
＝
＝3（万元）
＝
[(-2)
＋(-1)＋0＋1＋2]＝2，
＝[0＋0＋(-1)＋1＋0]＝
从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．
(3)由题意，得 ５－
≤４ 解得x≥100 100-80＝20
【答案】（1）2005年；
（2）从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大；
（3）至少要提高20元．
【方法点拔】完成第（3）问时要先确定票价与游客人数的函数关系，然后根据题目要求列出不等式，求出相应的票价，再计算出票价提高多少．
例13小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如图4-5），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．
（1）你认为游戏公平吗？为什么？
（2）游戏结束后，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”．请你设计方案，解决这一问题．（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）
【考点要求】本题考查设计用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积的方案，即用概率知识进行方案设计．
【思路点拔】（1）不公平
∵P(阴)=
，即小红胜率为
，小明胜率为
∴游戏对双方不公平
（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．
设计方案：① 设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来（如正方形，其面积为S）．如图4-6所示；
② 往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录)．
③ 当掷点数充分大（如1万次），记录并统计结果，设掷入正方形内m次，其中n次掷图形内．
④
设非规则图形的面积为S＇，用频率估计概率，即频率P＇（掷入非规则图形内）=
概率P(掷入非规则图形内)=
，
故
【答案】（1）不公平；
（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积．
【方法点拔】本题第（2）问的解决是在第（1）问的逆向思维基础上进行，只有正确解决了第（1）问并能正逆理解才能有第（2）问的方案设计思路．
● 难点突破方法总结
统计与概率问题中，中考考查以基础题主为，难题一般为实际运用，解题时应注意以下几点．
1．提高运算技能，平均数、中位数、极差、方差、频率等数值都要定的数学运算得到，而运算的结果将会影响到统计的预测．
2．提高阅读理解和识别图表的能力，统计问题的试题中，许多问题都是以社会热点为背景，形式灵活多样，综合性较强，强调课内知识和课外活动相结合，调查分析和收集整理相结合；
3．注重在具体情境中体会概率的意义，理解概率对生活指导的现实作用；
4．加强统计与概率之间的关系，同时要避免将概率内容的学习变成数字运算的练习；
5．加强训练，能用规范的语言表述自己的观点．
●拓展演练
一、填空题
1．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是__ __．
2． 一个口袋中有4个白球，1个红球，7个黄球．搅匀后随机从袋中摸出1个是白球的概率是_________．
3．2006年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31、35、31、34、30、32、31，这组数据的中位数是__________.
4．为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业． 在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表：
区域
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
降雨量(mm)
10
12
13
13
20
15
14
15
14
14
则该县这10个区域降雨量的众数为_______(mm)；平均降雨量为___________（mm）．
5．一个骰子，六个面上的数字分别为1、2、3、3、4、5，投掷一次，向上的面出现数字3的概率是_____．
6．某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了统计图如下，请根据该图回答下列问题：
（1）学生会共抽取了______份调查报告；
（2）若等第A为优秀，则优秀率为_____________ ；
（3）学生会共收到调查报告1000 份，请估计该校有多少份调查报告的等第为E ?7．有100张已编号的卡片（从1号到100号）从中任取1张，计算卡片是奇数的概率是_______，卡片号是7的倍数的概率是________．
8．掷一枚正六面体的骰子，掷出的点数不大于3的概率是_________．
二、选择题
9．在样本方差的计算式S2=
(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2]中，数字10与20分别表示样本的( )
A．容量、方差 B．平均数、容量 C．容量、平均数 D．标准差、平均数
10．宾馆客房的标价影响住宿百分率．下表是某一宾馆在近几年旅游周统计的平均数据：
客房价(元)
160
140
120
100
住宿百分率
63.8％
74.3％
84.1％
95％
在旅游周，要使宾馆客房收入最大，客房标价应选( )．
A．160元 B．140元 C．120元 D．100元
11．数学老师对小明在参加高考前的5次数学模拟考试进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ）
A．平均数或中位数 B．方差或极差 C．众数或频率 D．频数或众数
年人均收入
3500
3700
3800
3900
4500
村庄个数
0
1
3
3
1
12．国家实行一系列“三农”优惠政策后，农民收入大幅度增加．某乡所辖村庄去年年人均收入（单位：元）情况如右表，该乡去年年人均收入的中位数是( )
A．3700元 B．3800元 C．3850元 D．3900元
13．在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人，其中有85人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问1人，上学之前吃过早餐的概率是（ ）
A．0.85 B．
14．一布袋中有红球8个，白球5个和黑球12个，它们除颜色外没有其他区别，随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．某商店举办有奖销售活动，购物满100元者发兑奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．军军的文具盒中有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好都是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
18．甲、乙两位学生一起在玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规定：甲学生抛出两个正面得1分；乙学生抛出一正一反得1分．那么各抛掷100次后他们的得分情况大约应为（ ）
A．甲→25分，乙→25分 B．甲→25分，乙→50分
C．甲→50分，乙→25分 D．甲→50分，乙→50分
三、解答题
19．某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：
年龄组
13岁
14岁
15岁
16岁
参赛人数
5
19
12
14
（1）求全体参赛选手年龄的众数、中位数；
（2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%. 你认为小明是哪个年龄组的选手?请说明理由.
20．小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天每天行驶的路程．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程(千米)
46
39
36
50
54
91
34
请你用统计初步的知识，解答下列问题：(1)小谢家小轿车每月(每月按30天计算)要行驶多少千米?(2)若每行驶
21．（连云港市2005）今年“五一黄金周”期间，花果山风景区共接待游客约22.5万人．为了了解该景区的服务水平，有关部门从这些游客中随机抽取450人进行调查，请他们对景区的服务质量进行评分，评分结果的统计数据如下表：
档 次
第一档
第二档
第三档
第四档
第五档
分值a（分）
a≥90
80≤a<90
70≤a<80
60≤a<70
a<60
人 数
73
147
122
86
22
根据表中提供的信息，回答下列问题：
（1）所有评分数据的中位数应在第几档内？
（2）若评分不低于70分为“满意”，试估计今年“五一黄金周”期间对花果山景区服务“满意”的游客人数．
22．在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区登山活动的市民约有12000人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下：
（1）根据图①提供的信息补全图②；
（2）参加崂山景区登山活动的 12000 余名市民中，哪个年龄段的人数最多？
（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想．（不超过30字）
23．袋中装有编号为1、2、3的三个形状大小相同的小球，从袋中随意摸出1球．并且随意抛掷一个面上标有1，2，3，4，5，6各一数字的正方体均匀骰子．
（1）如果摸出1号球和骰子朝上的数字为1则甲胜；如果摸出2号球和骰子朝上的数字为2，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？
（2）如果摸出的球编号为奇数和骰子朝上的数字为奇数则甲胜；如果摸出的球编号为偶数和木块朝上的数字为偶数，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．
24．小明拿着一个罐子来找小华做游戏，罐子里有四个一样大小的玻璃球，两个黑色，两个白色．小明说：“使劲摇晃罐子，使罐子中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑白相间地排列(如图所示)，就算甲方赢，否则就算乙方赢．”他问小华要当甲方还是乙方，请你帮小华出主意，并说明理由．
专题四《统计与概率》
●习题答案
一、填空题
1． （提示：实验中，我们关注的结果的次数是11，所有等可能出现的结果的次数是14，故取到黄球的概率）
2．（提示：P（白球）=
）
3．31（提示：将这组数据按从小到大排列为30、31、31、31、32、34、35，则位于中间位置的一个数为31，即这组数据的中位数是31）
4．14，14（提示：14出现次数最多，平均降雨量是把各区域降雨量相加再除以10）
5．
（提示：P（向上数字为3）=
）
6．50，0.16，40（提示：共抽查8+20+15+5+2=50；优秀率为8÷50=0.16；等第为E的报告有
）
7．
，
（提示：1到100中奇数有50个，P（卡片是奇数）=
；7的倍数有100÷7
14，所以P（卡片号是7的倍数）=
）
8．（提示：点数不大于3的数字有1、2、3，所以P（点数不大于3）=
）
二、选择题
9．C（提示：要熟悉样本方差计算公式的意义）
10．B（提示：应综合考虑客房价与住宿百分率两方面因素，要使两者乘积最大）
11．B（提示：反映数据稳定性的量是数据的方差或极差）
12．C（提示：表中共有8个数据，位于中间位置的两个的数分别为3800、3900，故本组数据的中位数为（3800+3900）÷2=3850）
13．A（提示：100人中吃早餐的概率85÷100=0.85，可以代表1000名学生吃早餐的概率）
14．D（提示：P（摸出的是黑球）=
，所以P（摸出的不是黑球）=1－
=
）
15．C（提示：共有10000张奖券，其中一等奖10个，购物100元，可得一张奖券，故P（中一等奖）=
16．B（提示：P（A指奇数）=
，P（B指奇数）=
，所以P（A、B同时指奇数）=×=
）
17．D（提示：P（两支红色水笔）
）
18．B（提示：抛掷两枚硬币的所有可能是正正、正反、反正、反反．所以P（甲抛出两个正面）=
，P（乙抛出一正一反）=，各抛100次后，甲得分100×=25（分），乙得分100×=50（分））
三、解答题
19．解：（1）众数是14岁，中位数是15岁；
（2）（5+19+12+14）×28%=14（人）
所以小明是16岁年龄组的选手．
20．解：(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为50(千米)．
∴每月行驶的路程为30×50=l 500(千米)．
答：小谢家小轿车每月要行驶1500千米．
(2)小谢一家一年的汽油费用是4 968元．
21．解:（1）所有评分数据的中位数应在第三档内.
（2）根据题意，样本中不小于70的数据个数为73+147+122=342，
所以，22.5万游客中对花果山景区服务“满意”的游客人数约为
（万）.
22．解：（1）略 （2）60－69岁
（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想合理即可．
23．解：①公平 因为获胜概率相同都等于
；
②不公平；因为甲获胜概率为
，乙获胜概率为
．
24．解：小华当乙方．理由：设A1表示第一个黑球，A2表示第二个黑球，B1表示第一个白球，B2表示第二个白球．有24种可能结果(可以利用树状图或表格解释)，黑白相间排列的有8种．因此，甲方赢的概率为，乙方赢的概率为，故小华当乙方．
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