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专题五《线段、角与三角形》
●中考点击
考点分析：
内容
要求
1、直线、线段、射线的概念，线段中点的概念及应用
Ⅰ
2、角平分线、线段的垂直平分线、平行线的性质
Ⅱ
3、余角、补角、邻补角的概念，进行角度换算
Ⅰ
4、平行线的概念、性质及判定，两点之间的距离，点到直线的距离
Ⅱ
5、三角形的有关概念，三角形中线的性质及运用
Ⅰ
6、全等三角形的概念、性质及判定
Ⅱ
7、等腰三角形、直角三角形、等边三角形的概念、性质及判定
Ⅱ
8、利用勾股定理及其逆定理解决简问题
Ⅰ
命题预测：从近两年全国课改实验区和非课改实验区的中考试题分析，直线型这部分内容是平面几何的起始内容，概念比较集中，中考对这部分内容的考查以概念为主，主要考查同学们对几何概念的认识和理解程度.这类中考题常以填空题和选择题的形式出现，解题时可采用概念辨析法来提高解题的速度与质量．
三角形的知识历年中考均有涉及，主要考查基本概念及简单应用，题型常以填空题、选择题、解答题等形式出现，分值一般在4％－6％之间．近年来有部分地区又出现了一些探索、开放型题目，意在考查学生的知识运用能力和创新能力，其中值得注意的网格中的三角形问题．
2007年中考，将继续考查线段的中点的概念及应用，对顶角、余角、补角的性质及应用．继续考查垂线、线段的垂直平分线的性质的应用，进一步突出平行线性质与判定方法的综合应用．三角形全等的性质和判定，等腰三角形、直角三角形的性质和判定．
●难点透视
例1下列说法中，正确的是（ ）
A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线
B．
是直线
外一点，
，
，
分别是上的三点，已知
，
，
，则点到的距离一定是1
C．相等的角是对顶角
D．钝角的补角一定是锐角
【考点要求】本题考查对线与角的基本概念的掌握。
【思路点拨】四个选择支分别给出了四个不同说法，需要用角平分线、点到直线的距离、对顶角和钝角、锐角、补角的有关概念做出判断．
一条射线把一个角分成两个角，这两个角不一定相等，A错；
不一定是点到的距离，所以B错；相等的角也不一定是对顶角，故C也错．
【答案】选D．
【方法点拨】部分学生没有充分题解距离的意义，容易错误认地为B是正确答案。突破方法：结合图形进行判断，线段PA虽然是最短的，但不一定与直线垂直，因此不可称作距离。
解题关键：正确理解直线外一点到直线的距离是过这点所作直线的垂线段的长度。
例2如图5-1，AB、CD、EF相交于O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为（ ）
A．56° B．59° C．60° D．62°
【解析】本题考查通过相交线、垂线、角平分线的组合图形来检查同学们观察、分析图形的能力．
因为∠FOD与∠COE是对顶角，所以∠COE=28°，又AB⊥CD，所以∠COE＋∠EOB=90°，故∠EOB=62°.由＋∠AOE=180°，有∠AOE=118°.因为OG平分∠AOE，所以∠AOG=59°．
【答案】选B。
本题的突破方法：要抓住OG平分∠AOE，所以要求∠AOG的度数，只要能求出∠AOE的度数即可。
例3如图5-2，已知BC=CD=DE=EA,∠A=20°,那么∠B的度数是
度。
【考点要求】本题考查等腰三角形基本性质及等边三角形的判定等知识的运用。
【思路点拨】根据等边对等角及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可依次求得∠EDA=20°，∠DEC=40°，∠DCE=40°，∠BDC=60°，又BC=CD，所以△BCD是等边三角形。
【答案】∠B的度数是60度。
【方法点拨】部分学生在第二次使用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求∠BDC时，容易出现错误求得∠BDC=80度。突破方法：看清每一个外角是哪个三角形的外角。∠BDC是△ACD的外角，所以与其不相邻的两个内角分别等于20度、40度。
例4如图5-3，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同―直线上，有如下三个关系式：① AD=BC；② DE=CF；③BE∥AF。
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果
、，那么）
（2）选择（1）中你写出的―个命题，说明它正确的理由．
【考点要求】本题考查的是全全等三角形的判定与性质的应用。
【思路点拨】这是一种开放性的问题，不拘于某种固定的答案，其特点是灵活性较强，能较好地考查学生的思维组织及对知识的灵活运用程度。（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；（2）可根据角角边、角边角进行证明。
【答案】如果①，③，那么②；证明略。
【方法点拨】部分学生对三角形全等的判定方法掌握不够到位，会错写成“如果①，②，那么③”的形式。突破方法：在证明三角形全等问题时，要尽量避开出现“边边角”条件的情况。
例5我们来探究 “雪花曲线”的有关问题：图5-4中的图（1）是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如图5-4中的图（2）；再将图5-4中的图（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如图5-4中的图（3）；如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于（ ）
A．3 B．
C．
D．
【考点要求】本题是一道和三角形的周长有关的探索型问题．
【思路点拨】从图形我们可以观察到从第一个图形开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的
倍，所以第二个图形的周长为
；第三个图形的周长为
；第四个图形的面积为
；第五个图形的面积为
．
【答案】选B．
【方法点拨】部分学生无法找出其中的变化规律，想通过逐个计算的方法求解，此方法较为繁杂从而导致计算错误。突破方法：从前一个三角形到后一个三角的每边长发生的变化进行分析，找出变化规律，而整个周长的变化也具有相同规律。
解题关键：本题作为规律探索题，可用公式表示结果，如第n个图形的周长应等于
。
例6已知：如图5-6，圆O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E、F分别是边AC和BC的中点，求证：四边形CEDF是菱形.
【考点要求】本题综合考查了三角形、四边形及圆的有关知识。
，
，
，
，
，
，
，
。
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生容易根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明CE=DE，CF=BF，但却不知怎么证明这四条边相等。突破方法：先要设法证明△ABC是等腰三角形。
解题关键：本题在等AC=BC时，除了用全等，也可根据圆中的垂径定理进行证明。
例7一架长
，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底
【考点要求】本题考查勾股定理的应用．
【思路点拨】是的．
证明1：
在
中，
米．
米．
在
中，
米．
．即梯子底端也滑动了
证明2：
在中，米．
米．
可证
．
所以
米．
．即梯子底端也滑动了
梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】本题突破方法主要就是利用勾股定理进行证明，但要注意的是这一结论并不是对所有情形都成立，多数情况下梯子在竖直和水平方向上的滑动距离并不相等，关键要看相关的数据。
例8如图5-7，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证：BF=2CF．
【考点要求】本题考查线段的垂直平分线的有关知识。
【思路点拨】本题解题关键是辅助线的添加，连结EF可求解．
因为EF是AC的垂直平分线，所以AF=FC。
因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，所以∠BAF=90°，所以AF=
BF，即BF=2AF．
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生没有添加辅助线，因而无法将CF进行转化，证明不到BF与CF的关系。突破方法：在同一直线上的的线段倍数关系证明，应设法转化到同一个三角形中，根据特殊角的相关性质加以证明。
解题关键：利用垂直平分线的性质，作出辅助线AF，将CF转化为AF，再进行证明。
例9一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如5-8，火柴盒的一个侧面
倒下到
的位置，连结
，设
，请利用四边形
的面积证明勾股定理：
．
【考点要求】本题考查勾股定理的证明，试题贴近生活，设计新颖，操作简单，有利于培养学生的动手能力．
【思路点拨】因为四边形为直角梯形，
所以
而Rt
Rt
，所以
所以
所以
，所以
即．
【答案】证明参见思路点拨。
【方法点拨】部分学生因未能将四边形的面积分割成恰当的图形，从而无从证明。突破方法：可将四边形分为三个三角形，分别计算面积，而四边形本身又是一个直角梯形，也可整体求出其面积，从而建立相等关系。
● 难点突破方法总结
在本部分试题中，出现较多容易混淆的概念和性质，如直线、射线、线段；对顶角、邻补角；平角与直线；平行线折判定与性质；垂线与垂线段的作图等。在应考时可利用“比较 ”的思想方法，弄清它们的联系与区别，以防作出错误推断。此外，还有以下几点需要注意。
1.掌握角平分线的性质和垂直平分线性质，能灵活运用它们解决实际问题。
2.掌握三角形有关的性质、判定与解题方法，如倍长中线法、构造全等三角形法，截长补短法等是应考的前提。
3.加强对探索题、动点问题、创新题的训练与研究，并不断归纳总结方法，逐步形成数学能力。
3.掌握三角形证明题的解题思路和方法，如分解图形法，构造图形法，分析法，综合法，以及数形结合法等。
4.注重知识的归纳总结，并逐步形成一个相对完整的体系，以便于求解综合题、创新题和开放题。
●拓展演练
一、填空题
1．同一平面内有四点，过每两点画一条直线，则直线的条数是
．
2．如图，已知
相交于点
，
，
，则
度．
3．如图所示，光线L照射到平面镜I上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射,已知∠α=55°,∠γ=75°,则∠β为 ．
4．已知线段AB=
5.如图，AB//CD，若∠ABE=1200，∠DCE=350，则有∠BEC=__________度．
6．如图6所示,AB=AD, ∠1=∠2,添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE,则需要添加的条件是_________________________________________________．
7．如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD= ．
 |
8．如图所示，在等腰三角形
中，
，
，那么底边上的高
cm．
9．如图，△ABC中，∠B=90º，∠C=30º，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转1800，点C落在C′处，则CC′的长为 ．
10.如图所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________．
二、选择题
11．用一副三角板画角,不能画出的角的度数是（ ）
A．15° B．75° C．145° D．165°
12．如图，以下条件能判定
的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
13．如图，已知AB∥CD，则（ ）
Ａ．∠1=∠2＋∠3 B．∠1=2∠2＋∠3
C．∠1=2∠2－∠3 D．∠1=180°－∠2－∠3
14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
A．30° B．36°
C．45°
D．72°
15．如图，
与
均为正三角形，且
，则
与
之间的大小关系是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．大小关系不确定
16．下图是一个等边三角形木框，甲虫
在边框
上爬行（
，
端点除外），设甲虫到另外两边的距离之和为
，等边三角形的高为
，则与的大小关系是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．无法确定
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
18．一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案．某同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
三、解答题
19．如图，滑杆在机械槽内运动，
为直角，已知滑杆
长在上运动，量得滑杆下端
距点的距离为向右移动下滑多少米？
20．如图，△是等边三角形，点
、
、
分别是线段、
、
上的点，
（1）若
，问△
是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论．
●习题答案
一、填空题
1．1条或4条或6条（提示：分四点共线、三点共线、都不共线三种情形）
2．62（提示：根据余角和对顶角知识解答）
3．65°（提示：根据入射角等于反射角及三角形内角和知识解答）
4．
5.95（提示：作EF//AB，根据平行线同旁内角及内错角等知识解答）
6．∠B=∠D，或∠C=∠E，或AC=AE，答案不唯一（提示：可根据ASA、AAS、SAS等方法分析）
7．95°（提示：因为△OAD≌△OBC，所以∠D=∠C=20°，所以∠OAD=180°－（∠0＋∠D）=95°）
8．6（提示：根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半计算）
9．4（提示：将△ABC绕顶点A旋转1800，点C落在C′处，则AC与AC′在同一直线上，且△AB′C′与△ABC全等，所以CC′=
10.
（提示：本题是一道规律探索题，由已知图形可归纳出第n个等腰直角三角形的斜边长为）
二、选择题
11．C（提示：用一副三角板可画出180度以内所有15度的整数倍的角，而145°不是15的整数倍）
12.C（提示：C根据内错角相等，两直线平行判定）
13．A（提示：因为AB∥CD，所以∠3=∠ABD，又∠1=∠2+∠ABD，所以∠1=∠2+∠3）
14．B（提示：因为AB=AC且BD=BC=AD，设∠A=x，所以∠A=∠ABD=x，∠BDC=∠BCD=∠ABC=2x，根据三角形内角和定理，∠A＋∠ABC＋∠BCD=180，即x＋2x＋2x=180，解得x=36）
15．A（提示：根据SAS，容易证明
，所以）
16．C（提示：连结BP，则有
，因为△ABC是等边三角形，根据等积法，可证得）
17．C（提示：根据勾股定理，
，
，
）
18．C（提示：要求分成的四个图案面积和形状相同，所以各图案应全等，第二种设计不合要求）
三、解答题
19．解：设
的长为
米，依题意得
．
，
∴
．
，
∴在
中，
．
∴
．即
．
答：梯子下滑0.5米．
20．（1）△是等边三角形．证明如下：
△是等边三角形，
．
又，
．
△
△
△
．
，即△是等边三角形．
（2）成立．证明如下：
如图，△是等边三角形，
．
．
又△是等边三角形，
．
．
．
同理
．
△△△．
．
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