15. (2011湖北襄阳，23，7分)

如图7，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ ADB＝30°.

(1)求∠AOC的度数；

(2)若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积.

[答案](1)∵弦BC垂直于半径OA，

∴BE＝CE， ＝·············································································· 1分

又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝60°.············································· 2分

(2)∵BC＝6，∴.

在Rt△OCE中，.·················································· 3分

∴··················································· 4分

连接OB.　 ∵ ＝　　

∴∠BOC＝2∠AOC＝120°··································································· 5分

∴S_阴影＝S_扇形OBC－S_△OBC

　　　　　　　　　　　 ＝＝　　 6分

14. (2011贵州贵阳，22，10分)

在平行四边形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．

(1)圆心O到CD的距离是______；(4分)

(2)求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留π和根号)(6分)

(第22题图)

[答案]解：(1)连接OE．

∵CD切⊙O于点E， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴OE⊥CD．

则OE的长度就是圆心O到CD的距离．

∵AB是⊙O的直径，OE是⊙O的半径，

∴OE=AB=5．

即圆心⊙到CD的距离是5．

(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D=60°，AB∥CD．

∵AB∥CD，OE⊥CD，AF⊥CD，

∴OA=OE=AF=EF=5．

在Rt△ADF中，∠D=60°，AF=5，

∴DF=，

∴DE=5+．

在直角梯形AOED中，OE=5，OA=5，DE=5+，

∴S_梯形AOED=×(5+5+)×5=25+．

∵∠AOE=90°，

∴S_扇形OAE=×π×5²=π．

∴S_阴影= S_梯形AOED- S_扇形OAE=25+-π．

即由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积为25+-π．

13. (2011山东临沂，23，9分)如图，以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C，与OB相交于点D，且OD＝BD．已知sinA＝，AC＝．

(1)求⊙O的半径；

(2)求图中阴影部分的面积．

[解](1)连接OC，设OC＝r，

∵AC与⊙O相切，

∴OC⊥AC．………………………………………………………………………(1分)

∵sinA＝＝，

∴OA＝r，………………………………………………………………………(2分)

∴AC²＝OA²－OC²

＝r²－r²＝21，……………………………………………………………………( 3分)

∴r＝2，即⊙O的半径为2．………………………………………………………( 4分)

(2)连接CD，

∵OD＝BD，OC⊥BC，

∴CD＝OD＝OC，………………………………………………………………( 5分)

∴∠COD＝60°，………………………………………………………………(6分)

∴BC＝OC＝2，………………………………………………………(7分)

∴S_阴影＝S_△OCB－S_扇形OCD

＝×2×2－π·2²

＝2－π．………………………………………………………………(9分)

11. (2011广东省，14，6分)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－4，0)，⊙P的半径为2，将⊙P沿着x轴向右平稳4个长度单位得⊙P₁.

(1)画出⊙P₁，并直接判断⊙P与⊙P₁的位置关系；

(2)设⊙P₁与x轴正半轴，y轴正半轴的交点为A，B，求劣弧与弦AB围成的图形的面积(结果保留)

[答案](1)如图所示，两圆外切；

(2)劣弧的长度

劣弧和弦围成的图形的面积为

10．(2011湖南怀化，23，10分) 如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF.

(1)　　 求证：OF∥BC；

(2)　　 求证：△AFO≌△CEB；

(3)　　 若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积.

[答案]

解：(1)∵AB为⊙O的直径

∴∠ACB=90°

又∵OF⊥AC于F，∴∠AFO=90°，

∴∠ACB=∠AFO

∴OF∥BC

(2)由(1)知，∠CAB+∠ABC=90°

由已知AB⊥CD于E可得 ∠BEC=90°，∠CBE+∠ABC=90°

∴∠CBE=∠CAB

又∠AFO=∠BEC，BE=OF

∴△AFO≌△CEB

　(3)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E

　 ∴∠OEC=90°，CE＝CD＝

在Rt△OCE中，设OE=x，OB＝5+x＝OC

由勾股定理得：OC²＝OE²+EC²

∴(5+x)²＝　解得x＝5．

在Rt△OCE中

tan∠COE＝

∵∠COE为锐角

∴∠OEC=60°

由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为：

9. (2011福建福州，15，4分)以数轴上的原点为圆心,为半径的扇形中,圆心角,另一个扇形是以点为圆心,为半径,圆心角,点在数轴上表示实数,如图5.如果两个扇形的圆弧部分(和)相交,那么实数的取值范围是　　　　　　　　

[答案]. 　

8. (2011福建福州，20，12分)如图9,在中,,是边上一点,以为圆心的半圆分别与、边相切于、两点,连接.已知,.

求:(1)；

　 (2)图中两部分阴影面积的和.

[答案]解:(1)连接

∵、分别切于、两点

∴

又∵

∴四边形是矩形

∵

∴四边形是正方形

∴∥,

∴

∴在中,

∴

(2)如图,设⊙O与交于、两点.由(1)得,四边形是正方形

∴

∴

∵在中,,

∴

　　　 ∴

∴

∴图中两部分阴影面积的和为

7. (2011江苏连云港，26，12分)

已知∠AOB=60º,半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动,与边OA相切的切点记为点C.

(1)⊙P移动到与边OB相切时(如图),切点为D,求劣弧的长;

(2)⊙P移动到与边OB相交于点E,F,若EF=cm,求OC的长.

　　　　　　 第26题

[答案]如图连结PD,PC,且PD⊥OB,PC⊥OA,∵∠AOB=60º,∴∠DPC=120º,由弧长公式可知.

(2)

6. (2011湖南邵阳，23，8分)数学课堂上，徐老师出示了一道试题：

如图(十)所示，在正三角形ABC中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。

(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°，

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。

∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°。………………②

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中，

∵__________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN(ASA)。

∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”(如图)，N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁是否还成立？(直接给出答案，不需要证明)

(3)若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A_nB_nC_nD_n…X_n”，请你猜想：当∠A_nM_nN_n=______°时，结论A_nM_n=M_nN_n仍然成立？(直接写出答案，不需要证明)

[答案]解：(1)∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；

(2)结论成立；

(3)。

5. (2011福建泉州，23，9分)如图,在中,,是边上一点,以为圆心的半圆分别与、边相切于、两点,连接.已知,.求:

(1)；

(2)图中两部分阴影面积的和.

[答案]解:(1)连接

∵、分别切于、两点

∴

又∵

∴四边形是矩形

∵

∴四边形是正方形. .................................(2分)

∴∥,

∴

∴在中,

∴. .................................(5分)

　(2)如图,设与交于、两点.由(1)得,四边形是正方形

　　　 ∴

∴

∵在中,,

∴. .................................(7分)

　　　 ∴

∴

∴图中两部分阴影面积的和为............　 9分