摘要：10． 如图10.在平面直角坐标系xOy中.AB在x轴上.AB＝10.以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C.连接BC.AC.CD是⊙O′的切线.AD⊥CD于点D.tan∠CAD＝.抛物线过A.B.C三点. (1)求证:∠CAD＝∠CAB, (2)①求抛物线的解析式, ②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上.并说明理由, (3)在抛物线上是否存在一点P.使四边形PBCA是直角梯形.若存在.直接写出点P的坐标,若不存在.请说明理由. [答案] (1)证明:连接O′C. ∵CD是⊙O′的切线.∴O′C⊥CD··············· 1分 ∵AD⊥CD.∴O′C∥AD.∴∠O′CA＝∠CAD··········· 2分 ∵O′C＝O′A.∴∠O′CA＝∠CAB ∴∠CAD＝∠CAB.······················· 3分 (2)∵AB是⊙O′的直径.∴∠ACB＝90° ∵OC⊥AB.∴∠CAB＝∠OCB.∴△CAO∽△BCO.∴ 即······················ 4分 ∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝.∴OA＝2OC 又∵AB＝10.∴ ∵OC＞0 ∴OC＝4.OA＝8.OB＝2. ∴A.B(2.0).C(0.4)············· 5分 ∵抛物线过A.B.C三点.∴c＝4 由题意得.解之得. ∴.···················· 7分 (3)设直线DC交x轴于点F.易证△AOC≌△ADC.∴AD＝AO＝8. ∵O′C∥AD.∴△FO′C∽△FAD.∴ ∴8(BF+5)＝5(BF+10).∴.∴.······ 8分 设直线DC的解析式为.则.即 ∴.······················ 9分 由得 顶点E的坐标为················· 10分 将代入直线DC的解析式中. 右边左边. ∴抛物线的顶点E在直线CD上.··············· 11分 (3)存在..··············· 13分

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