摘要： 在如图的直角坐标系中.已知点A(1.0),B.将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． ⑴ 求点C的坐标, ⑵ 若抛物线经过点C． ①求抛物线的解析式, ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在.求出所有点P的坐标,若不存在.请说明理由． [答案]:解:(1)过点C作CD⊥x轴.垂足为D. 在△ACD和△BAO中.由已知有∠CAD+∠BAO＝90°,而∠ABO+∠BAO＝90°∴∠CAD＝∠ABO.又∵∠CAD＝∠AOB＝90°,且由已知有CA＝AB.∴△ACD≌△BAO.∴CD＝OA＝1,AD＝BO＝2.∴点C的坐标为 (2)①∵抛物线经过点C.∴,解得 ∴抛物线的解析式为 解法一:② i) 当A为直角顶点时 .延长CA至点,使,则△是以AB为直角边的等腰直角三角形, 如果点在抛物线上,则满足条件,过点作⊥轴, ∵＝,∠＝∠.∠＝∠＝90°, ∴△≌△.∴AE＝AD＝2, ＝CD＝1, ∴可求得的坐标为.经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件, ii) 当B点为直角顶点时. 过点B作直线L⊥BA.在直线L上分别取.得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△.作⊥y轴.同理可证△≌△ ∴ BF＝OA＝1.可得点的坐标为.经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件．同理可得点的坐标为.经检验点不在抛物线上． 综上:抛物线上存在点.两点.使得△和△ 是以AB为直角边的等腰直角三角形． 解法二:(2)②(如果有用下面解法的考生可以给满分) i) 当点A为直角顶点时,易求出直线AC的解析式为 由解之可得 (已知点C除外)作⊥x轴于E,则AE＝2, ＝1, 由勾股定理有又∵AB＝,∴.∴△是以AB为直角边的等腰三角形, ii)当B点为直角顶点时.过B作直线L∥AC交抛物线于点和点.易求出直线L的解析式为.由解得或 ∴.作⊥y轴于F.同理可求得 ∴△是以AB为直角边的等腰三角形作⊥y轴于H.可求得.∴Rt△不是等腰直角三角形.∴点不满足条件． 综上:抛物线上存在点.两点.使得△和△ 是以角AB为直边的等腰直角三角形．

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