1.[2005年山东省临沂市数学模拟试题(文史类)]

　　 如图所示，和都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，

　　 (I)求异面直线AD、BC所成的角。

　　 (II)设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时？与所在平面成角；

7．(江安中学)如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C₁C的交点为N。求

4)　　　　 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

5)　　　　 PC和NC的长；

6)　　　　 平面NMP和平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)

正解：①正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

②如图1，将侧面BC₁旋转使其与侧面AC₁在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过CC₁到点M的最短路线。

设PC＝，则P₁C＝，

在

③连接PP₁(如图2)，则PP₁就是NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC₁平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，。

误解：①不会找 的线段在哪里。

②不知道利用侧面BCC₁ B₁展开图求解。

③不会找二面角的平面角。

6．(江安中学)如图在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底边AC=的等腰三角形，且，面与面ABC成，与交于点E。

1)　　　　 求证：；

2)　　　　 求异面直线AC与的距离；

3)　　　　 求三棱锥的体积。

正解：①证：取AC中点D，连ED，

//

又是底角等于的等腰，

②解：由①知

在是异面直线AC与的距离，为

③连

误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。

5．(蒲中)斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA₁与底面相邻两边AB、AC都成45⁰角，求这个三棱柱的侧面积。

解：过点B作BM⊥AA₁于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=45⁰，MA为公用边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90⁰，∴AA₁⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin45⁰=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S_侧=(1+)ab

点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA₁垂直于M”；三是由条件“∠A₁AB=∠A₁AC∠AA₁在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证。

4．(一中)点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．

(Ⅰ)求的大小；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解法一：(Ⅰ)如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．

因为二面角D－AC－B为直二面角，

又在中，，

．

．　

(Ⅱ)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．

∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．

∴就是二面角的平面角．

在RtEGM中，，，，

∴．∴．

所以，二面角的大小为．

解法二：(Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系O－xyz，

则，．

．

．

(Ⅱ)设平面OEF的法向量为．

由得

解得．

所以，．

又因为平面AOF的法向量为，　　

．∴．

所以，二面角的大小为．

3．(石庄中学)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=8，AA₁=4，M为B₁C₁上一点，且B₁M=2，点N在线段A₁D上，A₁D⊥AN，求：　 (1) ；

　　　 (2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小；

　　　 (3) 平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的大小.

　　　 解：(1) 以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线　　　 为x轴，y轴，z轴.

　　　 则D(0,8,0)，A₁ (0，0，4)，M(5,2,4)

　　　 )　

　　 ∵ ∴

　　　 (2) 由(1)知A₁D⊥AM，又由已知A₁D⊥AN，平面AMN，垂足为N.

　　　 因此AD与平面所成的角即是

　　　 易知

　　　 (3) ∵平面ABCD，A₁N平面AMN，

　　 ∴分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。

　　　 设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为，则

2.　　 (如中)一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。

错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。

错误原因是空间想像力不够。

正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：。

1.　　　 (如中)由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O为⊿ABC的外心，求证：。

错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝RT，所以。

错解分析：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。

正解：取BC的中点D，连PD，OD，

29．(案中)点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是　　　　　

正确答案：

错误原因：找不到解题思路

28．(案中)在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A₁到平面为EF的距离为　　　　　　　

正确答案：

错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。