(1) (2)存在实数λ.其值为——青夏教育精英家教网—

5.(1)　　

　 (2)存在实数λ，其值为

19．湖北省部分重点中学2005年春季期中联考

如图，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，　

　　 PA＝AD＝a，AB＝a，E是线段PD上的点，F是线段AB

　　上的点，且．

　　 (I)当时，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值：

(Ⅱ)是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成角为

60°?若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明

理由．

5．(1)∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.　 3分

　　　　又∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

　　　　 ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)由(Ⅰ)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.　 8分　　 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴　 10分

由AB²=AE·AC 得　　　

故当时，平面BEF⊥平面ACD.　　　 12分

5．[2005年高考重庆地区信息试卷数学试题]

　　　已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

　 (Ⅰ)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

　　 (Ⅱ)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

4．[北京四中2005年数学第一次统测(理科)] 　如图，分别是正方体的棱上的点. 　(1)若，求证：无论点在上如何移动，总有；　(2)若，且平面，求二面角的大小. 　4.(I)证法一：连AC、BD，则BD⊥AC，　∵， ∴MN//AC，∴BD⊥MN. 　又∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN，　∴MN⊥平面BDD1. 　∵无论点P在DD1上如何移动，总有BP平面BDD1，　故总有MN⊥BP. 　证法二：连结AC、BD，则AC⊥BD. 　∵， ∴MN//AC，∴ MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD，　由三垂线定理得：MN⊥PB. 　(II)解法一：过P作PG⊥C1C交CC1于G，连BG交B1N于O1，　∵PB⊥平面B1MN， ∴PB⊥B1N. 　又∵PG⊥平面B1BCC1， ∴ BG⊥B1N，∴ΔBB1N≌ΔBCG， ∴ BN=CG，NC=GC1，　∴BN∶NC=DP∶PD1=2∶1. 　同理BM∶MA=DP∶PD1=2∶1. 　设AB=3a, 则BN=2a, ∴, 　, 　连MO1，∵AB⊥平面B1BCC1， ∴ MO1⊥B1N，　∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角，　，∴ . 　解法二：设BD与MN相交于F，连结B1F，　∵PB⊥平面MNB1， ∴ PB⊥B1F，PB⊥MN，　∴在对角面BB1D1D内，ΔPBD∽ΔBB1F，　设BB1=DD1=3，则PD=2，，∴，即，故. 　∵MN⊥PB，由三垂线定理得MN⊥BD，MN//AC，MN=2BF=， BN=2，　. 　设二面角B-B1N-M的平面角为α，则，　.