凯里一中2009届高校自主招生模拟考试

化学试题（二）

1.1.不能被人体消化吸收的高分子化合物是    (    )

    A．油脂    B．淀粉    C．纤维素    D．蛋白质

1.2．下列取代基或微粒中，碳原子都满足最外层为8电子结构的是    (    )

    A．乙基( -CH₂CH₂)    B．碳正离子[(CH₃)₃C⁺]

    C．碳化钙(CaC₂)    D．碳烯(∶CH₂)

1.3．用惰性电极电解50 mL锰酸钾溶液得到高锰酸钾和氢气，当生成112 mL氢气(标准状况)时停止通电。下列判断正确的是    (    )

    A．K⁺浓度减小               B．KMnO₄在阳极区生成

    C．阴极周围溶液的pH减小    D．反应过程中共转移0.005 mol电子

1.4. 常温离子液体(IoniC Liquid)也称常温熔融盐。硝酸乙基铵[(C₂H₅NH₃)NO₃]是人

类发现的第一种常温离子液体，其熔点为12~C。已知C₂H₅NH₂结合质子的能力比NH₃略

强，下列有关硝酸乙基铵的说法正确的是    (    )

    A．可用作电池的电解质    B．水溶液呈碱性

C．是共价化合物    D．结构和性质类似于硝酸乙酯

1．5英国泰晤士河曾是世界上最脏臭的河流之一。由于执行了严格的污水排放制度、重建了水道体系和用专门船只向河水里输送某种气体等措施，河水水质已得到显著的改善。这里的“某种气体”是指                                                           （  ）

  A．氢气         B．氯气        C．氧气          D．二氧化碳

2、下图是部分短周期元素的单质和化合物之间的相互转化关系，部分反应中

的生成物没有全部列出。A为两性化合物，B、C是常见的非金属单质，D是由两种元素组成

的新型陶瓷，F、I、K、w的焰色反应均为黄色，且I是厨房中常用的调味品。x是人类最早合成的有机物。反应③是工业生产重要化工原料w的主要反应。，

回答下列问题：

(1)写出x的分子式                          。

(2)写出下列反应的离子方程式：

反应④_                                    ；

反应⑤                                       _。

(3)反应①是工业合成D的方法之一，反应①的化学方程式为                            

(4)工业生产中反应③的具体操作是：在I的饱和溶液中先通人H，再通人E。不先通人E的原因是_________                                                                    

3、把一个洗净的鸡蛋完整地放入玻璃杯中。

（１）如果因杯口较窄，拿着鸡蛋的手无法伸进杯中，则放入鸡蛋的正确方法是                  

                                                。

（２）再向杯中倒入足够多的食醋（足以没过鸡蛋，并且放入的鸡蛋的平均密度是１g/cm³），鸡蛋静止后的状态可能是图中的   种情况，原因是                                                 

（３）约半分钟后观察到鸡蛋表面聚集了很多小气泡，并不断增多变大。小气泡中的气体是    ，写出发生反应的化学方程式                         ?  。

4、铁合金是金属材料王国的霸主，亚铁盐、铁盐、高铁酸盐等铁的重要化合物也在不同领域中个扮演着重要的角色。这些化合物之间可以相互转化，利用转化过程中发生的特征变化，不仅能够实现物质或能量的转化，还用于化学的定性或定量研究。

         +2                  +3                   +6

         Fe                  Fe                   Fe

已知FeO₄^2－只能在强碱性介质中稳定存在，在酸性介质或水中不稳定：

4FeO₄^2－+20 H⁺ ==4Fe³⁺ + 3O₂ +10 H₂O；

4FeO₄^2－+10 H₂O== 4Fe(OH)₃ +3O₂ +8 OH^－

请利用下列用品：FeCl₂溶液（浅绿色）、FeCl₃溶液（黄色）、Na₂FeO₄溶液（紫红色）、铁粉、KSCN溶液、NaOH溶液、NaClO溶液、盐酸、金属锌片、惰性电极（或放电物质做电极）材料、蒸馏水及必要的实验仪器。完成下列任务：

（1）设计一个实现上述转化①或者④的实验方案（要求产物纯净），写出简要的实验步骤。

（2）在浓碱中，用NaClO可以实现转化②，这一反应的离子方程式为（不必配平）：                                            。

（3）一种新型高能碱性电池利用了转化③将化学能转化为电能，该电池由电解质（KOH水溶液）、K₂FeO₄、金属锌及必要的填充材料构成。该电池放电时发生反应的化学方程式为（不必配平）：                                                    。

（4）高铁酸盐是比高锰酸盐更强的氧化剂，研究证明它是一种“绿色环保高效”净水剂，比目前国内外广泛使用的含氯饮用水消毒剂（均为含氯的物质：如漂白粉、氯气和二氧化氯等，它们具有很好的杀菌效果，但不能将水中的悬浮杂质除去，为了除去水中的细微悬浮物，还需另外添加絮凝剂，如聚合铝的氯化物。）的性能更为优良，为什么说它作为净水剂是“绿色环保高效”的？

5、茚是一种碳氢化合物，其结构为，茚有一种同分异构体A，A分子中的碳原子不完全在同一平面上，且A分子中含有一个苯环，A有如下变化关系：
      
已知：①R-XR-OH+HX
         ②一个碳原子上同时连两个羟基不稳定，会失水形成羰基
         ③B、C、D、E、F的分子结构中均有一个苯环
       根据变化关系和已知条件，试回答
（1） A是                 ，B是                   （均填结构简式）
（2）写出E经缩聚生成高聚物的化学方程式
                                                                
（3）写出F经加聚生成高聚物的化学方程式
：                                                        
（4）E®F的反应类型是            反应
（5）茚与硫酚  反应生成的反应类型是               反应。

6、关于“电解氯化铜溶液时的PH值变化”问题，化学界有以下两种不同的观点：
观点一是：“理论派”认为电解氯化铜溶液后溶液的PH值升高。
观点二是：“实验派”经过反复、多次、精确的实验测定，证明电解氯化铜溶液时PH值的变化有如下图曲线关系：
             
请回答下列问题：
（1）电解前氯化铜溶液的PH值处于A点位置的原因是（用离子方程式说明）            

（2）“理论派”所持观点的理论依据是                                     

（3）“实验派”的实验结论是                        ，他们所述“精确的实验”是通过

          来准确测定溶液的PH值的。该观点的理由是（从化学原理上加以简述）

7、关于二氧化氮与水反应的练习题很多，如：用一大量筒收集满二氧化氮气体，到扣在水槽中，量筒里水面上升的高度是多少？相信多数同学都很快作出回答：上升到量筒容积的2/3！某学校的化学兴趣小组对此答案提出质疑，认为水面上升的高度应间于1/3和2/3之间，他们的理由是：                                                  ；但是实验证明，水面上升的高度达到量筒容积的十之八、九甚至更多？你认为可能的原因是什么？                                                              （可结合化学方程式说明）

3、（1）把杯倾斜，使鸡蛋顺杯壁慢慢滑下。（2分）

（2）C（1分）  Ａ不可能，原因是食醋的密度大于１g/cm³鸡蛋应上浮，又因为鸡蛋较粗的一头有气室，故Ｂ、Ｄ也不对。（2分）(3) CO₂，（1分） CaCO₃＋2CH₃COOH==(CH₃COO)₂Ca＋CO₂↑＋H₂O。（1分）

4、（1）④：在三氯化铁溶液中加入过量的铁粉，充分反应后，过滤，滤液在氯化氢的蒸气中蒸干，可得氯化亚铁固体。（4分，其余正确方案同样给分）

（2）3ClO^－+ 2Fe(OH)₃+4OH^－  = 2FeO₄^2－+ 3Cl^－+5H₂O（2分）

（3）2K₂FeO₄  + 3Zn + 6H₂O == 2Fe(OH)₃ + 3Zn (OH)₂  + 4 KOH（2分）

（4）该净水剂在杀菌消毒的过程中被还原为+3价的铁，+3价的铁发生水解形成具有强吸附性的氢氧化铁，通过吸附与水中的细微悬浮物共同聚沉，对环境和生命体都不会构成危害。（4分）

5、（1） A是【答： 】，B是【答： 】（均填结构简式）
（2）写出E经缩聚生成高聚物的化学方程式
【答】：
      
（3）写出F经加聚生成高聚物的化学方程式
【答】：
      
（4）E®F的反应类型是【答：消去】反应
（5）茚与硫酚  反应生成的反应类型是【答：加成】反应。

6、（1）Cu²⁺的水解：Cu²⁺+2H₂O Cu(OH)₂+2H⁺，使溶液呈酸性
（2）电解时，Cu²⁺可在阴极析出，随着[Cu²⁺]的降低，Cu²⁺的水解平衡向左移，导致溶液中的[H⁺]下降，溶液的PH值会升高（但不会超过7）
（3）答：溶液的PH值下降，

【答：PH计】。

【答：因电解产生的氯气有一部分溶解在溶液中，使溶液中的气离子浓度增大，而且这种影响是实验过程中溶液PH值变化的主要因素，所以，随着电解过程的进行，溶液的PH值降低。】

7、二氧化氮气体中含有四氧化二氮：3N₂O₄+2H₂O=4HNO₃+2NO

NO₂  +NO+ H₂O = 2HNO₂

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洛阳一高2008―2009学年下期高三年级2月月考

化 学 试 卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

注意事项：

1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，将第II卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1、Li 7、C 12、N 14、O 16、Na 23、Mg 24、Al 27、Si 28、Cl 35.5、Fe 56、Cu 64

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2009届高考数学快速提升成绩题型训练――轨迹问题

1. 已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（   ）

A. 一个圆                   B. 两条平行直线

C. 四个点                   D. 两个点

2 在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（   ）

A. 圆                    B. 不完整的圆

C. 抛物线            D. 抛物线的一部分

3. 如图,定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（    ）

A. 一条线段，但要去掉两个点

B. 一个圆，但要去掉两个点

C. 一个椭圆，但要去掉两个点

D. 半圆，但要去掉两个点

4. 如图3，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（   ）

A. 直线                B. 圆                   C. 双曲线                 D. 抛物线

图3

5. 已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（    ）

A. 抛物线                   B. 双曲线                  C. 椭圆                     D. 直线

6. 已知异面直线a,b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a,b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程。

7. 已知圆E的方程为 (x-1)² + y² = 1, 四边形PABQ为该圆的内接梯形，底AB为圆的直径且在x 轴上，以A、B为焦点的椭圆C过P、Q两点．

(1) 若直线QP与椭圆C的右准线相交于点M，求点M的轨迹；

(2) 当梯形PABQ周长最大时，求椭圆C的方程．

8. 已知双曲线的两个焦点分别为F₁、F₂，其中F₁又是抛物线 y² = 4 x的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．

(1)求点F₂的轨迹;

(2)是否存在直线y = x+m与点F₂的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．

9. 已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O，以c +λi为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E , F，使得 | PE| + | PF | 为定值，若存在，求出E, F的坐标，若不存在，说明理由．

10. 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

11. 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

12. 已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

   （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

   （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

   （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

         使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂

              的正切值；若不存在，请说明理由.

13. 过抛物线y²=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程.

14. 已知圆和点，动点到圆的切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

15. 如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

16. 已知椭圆C：和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。

17. 已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。

18. （经典问题，值得一做，很能训练学生的思维能力）

三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形，按规定，挖出的土方必须沿道路或送到点处。已知，能否在池中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路送土方较近，而另一侧的点沿道路送土方较近？如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出轨迹方程。

19. 设点A和B为抛物线 y²=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 

20. 某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

答案：

1. 如图1，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4。在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选C。

2. 因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且。

又，

可得，

即得

在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）。设点P（x,y），则有

，

整理得

由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。

3. 因为，且PC在内的射影为BC，所以，即。所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B。

4. 因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，故选D。

5. 以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作于E、于F，连结EF，易知

又作于N，则。

依题意，

即，

化简得

故动点P的轨迹为双曲线，选B。

6. 如图，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，则，且P也为的中点。

由已知MN=2，AB=4，易知得。

则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹。现以的角平分线为x轴，O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。

设，，

则

消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为。

7. 解 (1) 设椭圆C：b²(x-1)² + a²y² = a² b² (a >b >0)，由题意知 2c = 2, 故 c = 1,

如图9-9，从而可得 右准线的方程  x = a² +1, …………………………………………………………… ①

设 M(x, y)，P(x₀, y₀)，连PB，则有 | PA| ² + |PB| ² = |AB| ²,

∴ ( | PA| + | PB| )²- 2| PA|?|PB| = 4，由此可得  (2a)²- 2?2 | y_P | = 4，即 y_P = ±(a²-1)，………………②

于是，由①②得  y =±(x- 2)．

又∵ 点P(x₀, y₀)是圆E上的点，且不与AB重合，

∴ 0 < |y₀| < 1，故有 0 < a²- 1< 1 , 即 1 < a² < 2…………………………………………………………… ③

由①③得  2 < x < 3，∴ 点M的轨迹是两条线段，其方程为 y =±(x-2) (2 < x < 3)．

(2) 设∠ABQ =θ，∵点Q在P点左侧，∴θ∈(45^o, 90^o)，

又|AB| = 2, 于是，由图9-9可得 | PA| = |BQ| = 2cosθ, |PQ| = |AB|-2|BQ|cosθ= 2- 4cos²θ,

∴ 周长 L= (2-4cos²θ) + 4cosθ+ 2．

当时，周长L取最大值5．

此时 |BQ| = 1, |AQ| =，2a = |BQ| +|AQ| =1+,

∴, ，

图9-9   8. 解 (1) 由题意知F1(1, 0)，设F2(x , y)，则 | |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = 2a > 0．……………………………① ∵ A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知双曲线上，且 |AF1| = | BF1| =．于是 (?) 当 | AF1|-|AF2| = |BF1|-|BF2|时，有 |AF2| = |BF2| , 再代入①得： F2的轨迹为直线 x = 1除去两个点F1(1, 0),  D(1, 4)． (?) ∵ 当 | AF1|-|AF2| = - ( |BF1|-|BF2| ) 时，有 | AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| => 4 = |AB| , ∴ 点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1(1, 0)，D(1, 4)两点， 故所求的轨迹方程为 l：x = 1与Q：( y≠0，y≠ 4 )． (2) 设存在直线L：y = x+ m满足条件．(?) 若L过点F1或点D， ∵ F1、D两点既在直线l：x = 1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上， ∴ L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意． (?) )若L不过点F1和D两点，(m≠-1, m≠3)，则L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上， ∴ 要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点． 由 得 3x2 - (10 - 4m) x +2m2- 8m +1= 0, 从而，有 △= (10 - 4m) 2- 12(2m2- 8m+1) = - 8 ( m2-2m-11) , 当△= 0时，有．即存在符合条件的直线 y = x+．   9. 解  ∵ c +λi = (λ, a)，i - 2λc = (1, - 2λa) , 由向量平行关系得 OP与AP的方程分别为λy = ax，y- a = - 2λax．…………………………………… ① 由此消去参数λ，得 点P(x ,y)满足方程为, …………………………………………… ② ∵ a > 0 , 从而，有(1) 当时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点 E，F ； (2) 当0<时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：； (3) 当时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：．   10. 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直， 所以直线的斜率为．   又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为即． （II）由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为． 所以为矩形外接圆的圆心． 又    （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；     （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°             2  如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点. （1）求证：AB­1⊥平面CED； （2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1―AC―B的平面角.                 3. 如图a―l―是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB= （I）    求三棱锥D―ABC的体积； （2）求二面角D―AC―B的大小；      （3）求异面直线AB、CD所成的角.       4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．                         图①                        图②     5. 已知三棱锥P―ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．     （1）求证：AP⊥平面BDE；                 （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥 P―ABC所成两部分的体积比．               6. 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点. （1）求证：FD∥平面ABC； （2）求证：AF⊥BD；  (3) 求二面角B―FC―G的正切值.             7. 如图，正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且 D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.   (1) 求证PQ∥平面CDD1C1； (2) 求证PQ⊥AD；      (3) 求线段PQ的长.             8. 如图4，在长方体 中，AD==1，AB=2，点E在棱AB 上移动。   （Ⅰ）证明：；   （Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面 的距离；   （Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。           9. 如图，在正三棱柱ABC―A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1―DE―B1的大小。     10．如图：已知直三棱柱ABC―A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。 　　（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1； 　　（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论                   11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。     （I）求二面角P―CD―A的正切值；     （II）求点A到平面PBC的距离。         12.在直三棱柱ABC―A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG. （Ⅰ）确定点G的位置； （Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.             13. 点E为AB中点，点F为PD中点.    （1）证明平面PED⊥平面PAB；    （2）求二面角P―AB―F的平面角的余弦值                       14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP. (Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP； (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.                 15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。 　　(I)证明 平面； 　　(II)证明平面EFD； 　　(III)求二面角的大小。       16.如图，在棱长为1的正方体ABCD―A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱 CD上的动点. （I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F； （II）当D­1E⊥平面AB1F时，求二面角C1―EF―A的大小（结果用反三角函数值表示）.             　　     17.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是 梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线 AD1的距离为 ⑴求证：AC∥平面BPQ ⑵求二面角B-PQ-D的大小                 18.已知长方体ABCD―A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。     （Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1； （Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；                                19. 图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：        （1）求MN和PQ所成角的大小；        （2）求四面体M―NPQ的体积与正方体的体积之比；        （3）求二面角M―NQ―P的大小。       20. 如图，已知四棱锥P―ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。        （1）求点P到平面ABCD的距离；        （2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。             答案： 1. （1）正方形ABCD是四棱锥P―ABCD的底面, 其面积 为从而只要算出四棱锥的高就行了. 面ABCD,     ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，     ∴PA⊥DA，     ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，       ∠PAB=60°.                       而PB是四棱锥P―ABCD的高，PB=AB?tg60°=a,      .                                （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.       作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，       是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.           设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，                                          在      故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.   2. （1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE  ∴DE⊥AB1 ∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=，AC=1 , ∴CD= ∴； （3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1, ∴∠B1AC=600 ∴，  ∴, ∴  , ∴.   3. (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. 为二面角a―l―的平面角.. 是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO= （2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO  为二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且   （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.  为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高, 异面直线AB,CD所成的角为arctg     4. 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,                         .     当且仅当 . 故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为   5. (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．   （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP． 由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF． 又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．   （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则            h1∶h2=EP∶AP=2∶3,          故截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 6. ∵F、G分别为EB、AB的中点， ∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，     ∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，     ∴FD∥面ABC. （2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ② 由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.     （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF. 过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC. ∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角. 易求.   7. （1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作 QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.     ∵ ,     ∴PP1QQ1 .? 由四边形PQQ1P1为平行四边形,   知PQ∥P1Q1? ? 而P1Q1平面CDD1C1，  所以PQ∥平面CDD1C1? （2）AD⊥平面D1DCC1，    ∴AD⊥P1Q1，? 又∵PQ∥P1Q1，   ∴AD⊥PQ.? （3）由（1）知P1Q1 PQ, ，而棱长CD=1.     ∴DQ1=.  同理可求得 P1D=. 在Rt△P1DQ1中，应用勾股定理, 立得 P1Q1=.?   8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，， ，。   （Ⅰ）证明：由，， ，有，于是。   （Ⅱ）E是AB的中点，得。 ，，。   设平面的法向量为，单位法向量为， 由，解得。   于是，有。 设点E到平面的距离为，则 。   所以点E到平面的距离为。   （Ⅲ）平面的法向量，设平面的法向量。 又，。  由，得 ，解得，于是。   设所求的二面角为，则。   有，得。 解得， 所以，当AE=时，二面角的大小为。     9. （1）取A1C1中点F，连结B1F，DF，∵D1E分别为AC1和BB1的中点，DF∥AA1， DF=（1/2）AA1，B1E∥AA1，B1E=（1/2）AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，∴DEB1F为平行四边形，∴DE∥B1F，又B1F在平面A1B1C1内，DE不在平面A1B1C1，∴DE∥平面A1B1C1 （2）连结A1D，A1E，在正棱柱ABC―A1B1C1中，因为平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线，又因为B1F在平面A1B1C1内，且B1F⊥A1C1，，所以B1F⊥平面ACC1A1，又DE∥B1F，所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1为二面角A1―DE―B1的平面角。并且∠FDA1=（1/2）∠A1DC1，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA1C1=900，D是AC1的中点，所以即为所求的二面角的度数。 10．（I）连结DF，DC 　∵三棱柱ABC―A1B1C1是直三棱柱， 　　∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC 　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C                                             3＇ 试题详情 2009届高考数学快速提升成绩题型训练――数列求和 1. 求数列,的前项和.       2 已知，求的前n项和.             3. 求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。             4. 求证：         5. 求数列，，，…，，…的前n项和S           6. 数列{an}：，求S2002.             7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n项和Sn           8. 已知数列 是等差数列，且，求的值.               9. 已知数列的通项公式为  求它的前n项的和.             10. 在数列中， 证明数列是等差数列，并求出Sn的表达式.             11. 数列为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54. 求其首项a1及公比q.             12. 已知数列  求.               13. 设 为等差数列，Sn 为数列的前n 项和，已知S7 = 7, S15 = 75. 记Tn 为数列的前n 项和，求Tn .                 14. 求数列的前项和         15. 已知：.求.                 16. 求和.     17. ，求。           18. 设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式。           19. 已知数列：，求的值。               20. 求和:           21. 求数列的前项和：           22. 求数列的前项和。 23. 求证：               24. 求的值。               25. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.             26. 已知数列的通项公式求它的前n项和.               27. 求和：             28. 已知数列         29. 求和             30. 解答下列问题： （I）设 （1）求的反函数 （2）若 （3）若           31. 设函数 求和：             32. 已知数列的各项为正数，其前n项和， （I）求之间的关系式，并求的通项公式； （II）求证               33.已知数列{}的各项分别为的前n项和.             34．已知数列{}满足：的前n项和     .             35．设数列{}中， 中5的倍数的项依次记为     ，        （I）求的值.        （II）用k表示，并说明理由.        （III）求和：         36．数列{}的前n项和为，且满足        （I）求与的关系式，并求{}的通项公式；        （II）求和                     37．将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0，        （I）求数列{}的通项公式；           （II）求数列{Tn}的通项公式；        （III）设数列{ Tn }的前n项和为Sn，求S8的值.               38. 设数列是公差为，且首项为的等差数列， 求和：               39. （1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当时，求的数值； （ii）求的所有可能值． （2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．                 40. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？    （取）               答案： 1. 设则 两式相减得 ∴. 2. 解：由     由等比数列求和公式得      ＝＝＝1－   3. 解：若a=0, 则Sn=0若a=1, 则Sn=1+2+3+…+n=           若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1 ∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1=    ∴Sn=   当a=0时，此式也成立。 ∴Sn=   解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。   4. 证明： 设………………………….. ①        把①式右边倒转过来得                          （反序）        又由可得        …………..…….. ②    ①+②得         （反序相加）         ∴     5. 解：∵=）     Sn=       =       =   6. 解：设S2002＝ 由可得 …… ∵                   （找特殊性质项） ∴　S2002＝                                    （合并求和）      ＝ ＝ ＝ ＝5   7. n n         =       =       = 解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。 另外：Sn= 可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+()     8. ∵为等差数列，且1+17=5+13， ∴. 由题设易知 =117. 又为与的等差中项，∴.   9.    (裂项)         于是有                    方程组两边相加，即得                        10. 【证明】∵∴. 化简，得       Sn-1－Sn= 2 Sn Sn-1 两边同除以. Sn Sn-1，得    ∴数列是以为首项，2为公差的等差数列. ∴        ∴   11. ∵    ∴此数列为递增等比数列. 故q ≠ 1.       依题设，有                                        ②÷①，得               ④      ④代入①，得                          ⑤      ⑤代入③，得                     ⑥      ④代入⑥，得  , 再代入③，得a1 =2, 再代入⑤，得  q = 3.   12. 令，，恒有f()=f()+f(), 试判断f(x)的奇偶性。         2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围       3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。           4. 设函数f（x）对任意都有f（=f（，                              已知f（1）=2，求f（           5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+ f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。           6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0. （1）求证f（0）=1； （2）求证：y=f（x）为偶函数.     7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？             8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0 （1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小； （2）.若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。           9.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。           10．已知函数当时，恒有. (1)求证: 是奇函数; (2)若.               11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: . (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,,求数列{}的前项和.           12.已知定义域为R的函数满足. (1)若 (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.             13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0. (1)求; (2)求和; (3)判断函数的单调性,并证明.             14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数; (3)若且,求证:.                   15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:; (2)证明: 在R上单调递减; (3)设A=,B={},若=,试确定的取值范围.                   16.已知函数是定义在R上的增函数,设F. (1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数; (2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形. 17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值; (2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.             18．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：； （2）若成立，求x的取值范围。                 19．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有． （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．         20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。             21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。               22. 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求： （1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。             23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。                   24. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）?g（b）是否正确，试说明理由。             25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： ①当是定义域中的数时，有； ②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。                 答案： 1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。 2. 分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。 解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m<。 3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。 4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（≥0，x          ，         f（1）=2，          同理可得 5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）≠1，故 f（x+2）=f（x+4）=.     所以f（x+8）=.       所以f（x）是以8为周期的周期函数，       从而f（2001）=f（1）=1997 说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。   6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。      （2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y）， 且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数. 说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。   7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。令u=2-x，则当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。   8. 解：（1）.因为a＞b，所以a-b＞0，由题意得 ＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）=－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b） （2）.由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜ 令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1   9.解：等价于   10.（1）证明：令，得       令，则 ∴    ∴是奇函数。 （2）∵      又∵ 11.（1）解：令，则 令，则   （2）证明：令，则，∵，∴        令，则        ∴是奇函数。 （3）当时，，令，则    故，所以 ∴ ∵ ∴，故 ∴ 12.解：(1)∵对任意，函数满足，且   ∴ ∵，∴=f(a)=a (2) ∵对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得 ∴对任意，有 上式中，令 试题详情 2009届高考数学快速提升成绩题型训练――圆锥曲线 1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R． (1) 求点P的轨迹E；　 (2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．             2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F1、F2，直线过F2且与直线F1F2的夹角为，且，与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.               3. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.    （1）求曲线C的方程；    （2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；    （3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明       4. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。 （1）    求双曲线C的标准方程； （2）    若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。           5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。               6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积               7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值               8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。                       9. 已知圆：x2+y2=c2(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。 ⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数； ⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。               10. 已知点（x,y）在椭圆C：（a＞b＞0）上运动 ⑴求点的轨迹C′方程； ⑵若把轨迹C′的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。             11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。 （1）    求椭圆的离心率与; （2）    对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成立.                 12. 已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？ (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？             13. 如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD|| (1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值.   14. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.    （1）求双曲线C的方程；    （2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.             15. 设分别是椭圆的左，右焦点。 （Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且， 求点的坐标。 （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。             16. 抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足    （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；    （2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；    （3）当时，若点P的坐标为（1，―1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取 值范围.     17. 如图，已知点F（1，0），直线为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若    （1）求动点P的轨迹C的方程；    （2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。 （Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k1,k2，求k1+k2 的值； （Ⅱ）若线段AB上点R满足求证： RF⊥MF。           18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直 线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使    （1）求椭圆C的方程；    （2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且内切圆面积最大时实数的值.             19. 已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.    （1）求椭圆的方程；    （2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分 所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.             20. 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；       （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.             答案： 1. 解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为；…………………………① 又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP方程为；…………………………② 由①、②消去λ得 ，即 ． 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4； 当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆： 当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆． (2)　假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ; 椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且． 由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2- 5kx + 20k- 30 = 0, 设M(x1, y1), N(x2, y2),  则有， ………………………………………………③ △=25k2- 4×2(20k- 30)， 又 |MF| =, |NF| =, 而； ∴ +, 由此可得　，……………………………………………………………………④ 由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．   2. 解  以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又， ∴，，∴双曲线方程为.   3. （1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M1的坐标为（0，），       ，于是点N的坐标为，N1的坐标       为，所以       由       由此得       由       即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分    （2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C       无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为       由方程组       依题意       当时，设交点PQ的中点为，       则             又             而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分    （3）由题意有，则有方程组         由（1）得  （5）       将（2），（5）代入（3）有       整理并将（4）代入得，       易知       因为B（1，0），S，故，所以                4. 解： （1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得 ∵且的面积为1 ∴, ∴ ∴ ∴双曲线C的标准方程为。 （2）设，联立得 显然否则直线与双曲线C只有一个交点。 即 则 又 ∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0) ∴即 ∴ ∴ 化简整理得 ∴ ，且均满足 当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！ 当时，直线的方程为，直线过定点（，0） ∴直线定点，定点坐标为（，0）。   5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。 解：设双曲线的方程为 在双曲线上  得 所以双曲线方程为   6、已知分别是双曲线＞0   (1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式  f(x+)＜f()； (3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围                2 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围                  3. 解关于x的不等式＞1(a≠1)  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m             4. 设函数f(x)=ax满足条件  当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围          5. ，求关于不等式的解集。             6. 解关于。         7.已知 求证：（1）；（2）。                     8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。 （1）    若时的值； （2）    若 ，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。           9.已知函数在R上是增函数，。 （1）    求证：如果； （2）    判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论； （3）    解不等式。                 10.奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。                 11. 设数列满足      （Ⅰ） 证明：对一切正整数成立； （Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由.             12. 设使,，求证： (Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.                   13. 已知函数,数列{}满足: 证明:（Ⅰ）;(Ⅱ).                     14. 已知函数,数列满足:, (1)证明:数列是单调递减数列. （2）证明：             15. 若关于的不等式的解集是，求不等式的解集                 16.设都是正实数,求证:                 17、设，解关于的不等式                        18.过点作直线交正半轴于两点. (1)若取到最小值,求直线的方程 (2)若的面积取到最小值,求直线的方程       19.设函数正实数满足，且 （1）求证：;         （2）求证：             20.已知函数,数列满足:, (1)设证明:   （2）证明：           21. （1）设a>0，b>0且，试比较aabb与abba的大小。 （2）已知函数，，试比较与的大小．             22. 已知实数a,b,c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax2+bx+c (1)如果，证明： (2)如果，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。             23. 已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有           和，其中是大于0的常数. 设实数a0，a，b满足         和 (Ⅰ)证明，并且不存在，使得； (Ⅱ)证明； (Ⅲ)证明.               24. 己知， （1） （2），证明：对任意，的充要条件是； （3）讨论：对任意，的充要条件。                 25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？                   答案： 1. (1)证明  任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=?(x1－x2) ∵－1≤x1＜x2≤1， ∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数  (2)解  ∵f(x)在［－1，1］上为增函数， ∴  解得  {x|－≤x＜－1，x∈R} (3)解  由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1， 故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1， 所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立， 故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0， 只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0， 解得，t≤－2或t=0或t≥2  ∴t的取值范围是  {t|t≤－2或t=0或t≥2}    2. 解  M［1，4］有两种情况  其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围  设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］ (2)当Δ=0时，a=－1或2  当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］  (3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2  设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2， 那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4 即，解得  2＜a＜， ∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)    3. 解  原不等式可化为  ＞0， ①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解  由于 ∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)  ②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解  由于, 若a＜0，,解集为(，2)； 若a=0时，，解集为； 若0＜a＜1，,解集为(2，) 综上所述  当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2）    4. 解  由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1恒成立  在x∈(0，1恒成立  整理，当x∈(0，1)时，恒成立， 即当x∈(0，1时，恒成立， 且x=1时，恒成立， ∵在x∈(0，1上为减函数，∴＜－1， ∴m＜恒成立m＜0  又∵，在x∈(0，1上是减函数，∴＜－1  ∴m＞恒成立m＞－1 当x∈(0，1)时，恒成立m∈(－1，0)        ① 当x=1时，，即是∴m＜0             &nb 试题详情 2009届高考数学快速提升成绩题型训练――三角函数   1. 右图为 的图象的一段，求其解析式。                   2  设函数图像的一条对称轴是直线。 （Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅲ）画出函数在区间上的图像。               3. 已知函数， （1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。               4. 已知向量= (，2)，=(，（。 （1）若，且的最小正周期为，求的最大值，并求取得最大值时的集合； （2）在（1）的条件下，沿向量平移可得到函数求向量。         5. 设函数的图象经过两点（0，1），（），且在，求实数a的的取值范围.             6. 若函数的最大值为，试确定常数a的值.             7. 已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．                 8. 试判断方程sinx=实数解的个数.             9. 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当 时，函数，其图象如图.   （1）求函数在的表达式； （2）求方程的解.                   10. 已知函数的图象在轴上的截距为1，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为和.         (1)试求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数的图象.写出函数的解析式.                 11. 已知函数 （Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程 （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 12. （ω＞0） （1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值 （2）f (x)在（0，）上是增函数，求ω最大值。                 13. 已知且a∥b. 求的值.                   14. 已知△ABC三内角A、B、C所对的边a，b，c，且   （1）求∠B的大小；   （2）若△ABC的面积为，求b取最小值时的三角形形状.               15. 求函数y=的值域.               16. 求函数y=的单调区间.               17. 已知 ①化简f(x);②若，且，求f(x)的值；                 18. 已知ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且A<B<C，tgA?tgC,①求角A、B、C的大小；②如果BC边的长等于，求ΔABC的边AC的长及三角形的面积.             19. 已知，求tg(a-2b).   20. 已知函数 （I）求函数的最小正周期； （II）求函数的值域.             21. 已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]． （1）求 （2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。                 22. 已知函数的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.                 23. 在ㄓABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 （1）求tanC的值;              （2）若ㄓABC最长的边为1，求b。       24. 如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。             25. 在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且。 （1）求角B的大小； （2）若，求a的值。           答案： 1. 解析  法1以M为第一个零点，则A=， 所求解析式为 点M（在图象上，由此求得   所求解析式为 法2. 由题意A=，，则 图像过点         即 取 所求解析式为   2. 解析（Ⅰ）的图像的对称轴，    （Ⅱ）由（Ⅰ）知 由题意得     所以函数 （Ⅲ）由 x 0 y －1 0 1 0                                 3. 解析 （1）由题意得sinx-cosx＞0即， 从而得， ∴函数的定义域为， ∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函数f(x)的值域是。 （2）单调递增区间是 单调递减区间是， （3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。 （4）∵      ∴函数f(x)的最小正周期T=2π。 4. 解析=，T=， =，，这时的集合为 （2）的图象向左平移，再向上平移1个单位可得的图象，所以向量=。   5. 解析  由图象过两点得1=a+b，1=a+c， 当a＜1时，， 只须解得 当 要使解得， 故所求a的范围是   6. 解析  因为的最大值为的最大值为1，则 所以   7. 解析  设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，） 因为，，所以， 由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， 若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数． ∵　，，，，， ， ∴　当时， ，． ∵　的不等式：(1) x2－(a＋1)x＋a＜0，(2) ．       2 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．       3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．         4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0．       5．若不等式的解集为，求实数p与q的值．           6. 设，若，，, 试证明：对于任意，有.   7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数，方程的两个根满足.  当时，证明.           8. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.           9. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R). (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.           10.已知实数t满足关系式 (a>0且a≠1) (1)令t=ax,求y=f(x)的表达式； (2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.           11.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.             12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证： (1)pf()<0; (2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.             13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元. (1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？             14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1； 　　(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；               15. 设二次函数，方程的两个根满足.  且函数的图像关于直线对称，证明：.             16. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：； （2）如果，，求的取值范围.             17. 设,，,求证： (Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1； (Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.             18. 已知二次函数 的图象如图所示： （1）试判断 及 的符号； （2）若|OA|＝|OB|，试证明 。     19. 为何值时，关于 的方程 的两根： （1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。         20. 证明关于 的不等式 与 ，当 为任意实数时，至少有一个桓成立。             21. 已知关于 的方程 两根为 ，试求 的极值。             22. 若不等式 对一切x恒成立，求实数m的范围.         23. 设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx2+bx+a<0的解集.           答案： 1.解：(1)原不等式可化为：若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时， 解为a＜x＜1，若a=1时，解为 (2)△=．   ①当，△＞0． 方程有二实数根： ∴原不等式的解集为 ①当=±4 时，△=0，两根为 若则其根为－1，∴原不等式的解集为． 若则其根为1，∴原不等式的解集为． ②当－4＜时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．   2．解：，比较 因为 (1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}. (2)当k=1时，x. (3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=. B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式， (1)当k=0时，. (2)当k＞0时，△＜0，x. (3)当k＜0时，. 故：当时，由B=R，显然有A， 当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，. 综上所述，k的取值范围是：   3..解： (１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时， ①若m＝3，原不等式解集为R ②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0 ∴原不等式解集为｛x｜x＜＝，不合题设条件. (２)若m2－2m－3≠0，依题意有   即 ∴－＜m＜3? 综上，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R. 4..解： 由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根， ∴－p=－＋   q=－× ∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0 即－x2＋x＋1＞0 ∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3. 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.   5.．解：由不等式的解集为，得 2和4是方程的两个实数根，且．(如图)                          解得   6. 解：∵ , ∴ , ∴ .∴ 当时， 当时，   7. 证明：由题意可知. ,∴ , ∴  当时，. 又,     ∴  , 综上可知，所给问题获证.   8. 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 ∴. (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 (这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)   9. (1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］ ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=. |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－) ∵的对称轴方程是. ∈(－2,－)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().   10. .解：(1）由loga得logat－3=logty－3logta 由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,? ∴logay=x2－3x+3，即y=a (x≠0). (2)令u=x2－3x+3=(x－)2+ (x≠0),则y=au ①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8， 则u=(x－)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值. ②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+,x∈(0,2应有最小值 ∴当x=时，umin=,ymin= 由=8得a=16.∴所求a=16,x=.   11.解：∵f(0)=1>0 (1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意. (2）当m>0时，则解得0＜m≤1 综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.   12.证明：(1) ,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0. (2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当p＜0时，由(1）知f()＜0 若r>0,则f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解; 若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0, 又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解. ②当p＜0时同理可证.   13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得? y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500 由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300 ∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+1612.5 ∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.   14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])． 　　 　　 　　 　　所以当－1≤x≤1时， 　　 　　 　　   15. 解：由题意 违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com 精英家教网 关 闭 试题分类 高中 数学英语物理化学生物地理 初中 数学英语物理化学生物地理 小学 数学英语 其他 阅读理解答案已回答习题未回答习题题目汇总试卷汇总练习册解析答案