凯里一中2009届高校自主招生模拟考试

化学试题（二）

1.1.不能被人体消化吸收的高分子化合物是    (    )

    A．油脂    B．淀粉    C．纤维素    D．蛋白质

1.2．下列取代基或微粒中，碳原子都满足最外层为8电子结构的是    (    )

    A．乙基( -CH₂CH₂)    B．碳正离子[(CH₃)₃C⁺]

    C．碳化钙(CaC₂)    D．碳烯(∶CH₂)

1.3．用惰性电极电解50 mL锰酸钾溶液得到高锰酸钾和氢气，当生成112 mL氢气(标准状况)时停止通电。下列判断正确的是    (    )

    A．K⁺浓度减小               B．KMnO₄在阳极区生成

    C．阴极周围溶液的pH减小    D．反应过程中共转移0.005 mol电子

1.4. 常温离子液体(IoniC Liquid)也称常温熔融盐。硝酸乙基铵[(C₂H₅NH₃)NO₃]是人

类发现的第一种常温离子液体，其熔点为12~C。已知C₂H₅NH₂结合质子的能力比NH₃略

强，下列有关硝酸乙基铵的说法正确的是    (    )

    A．可用作电池的电解质    B．水溶液呈碱性

C．是共价化合物    D．结构和性质类似于硝酸乙酯

1．5英国泰晤士河曾是世界上最脏臭的河流之一。由于执行了严格的污水排放制度、重建了水道体系和用专门船只向河水里输送某种气体等措施，河水水质已得到显著的改善。这里的“某种气体”是指                                                           （  ）

  A．氢气         B．氯气        C．氧气          D．二氧化碳

2、下图是部分短周期元素的单质和化合物之间的相互转化关系，部分反应中

的生成物没有全部列出。A为两性化合物，B、C是常见的非金属单质，D是由两种元素组成

的新型陶瓷，F、I、K、w的焰色反应均为黄色，且I是厨房中常用的调味品。x是人类最早合成的有机物。反应③是工业生产重要化工原料w的主要反应。，

回答下列问题：

(1)写出x的分子式                          。

(2)写出下列反应的离子方程式：

反应④_                                    ；

反应⑤                                       _。

(3)反应①是工业合成D的方法之一，反应①的化学方程式为                            

(4)工业生产中反应③的具体操作是：在I的饱和溶液中先通人H，再通人E。不先通人E的原因是_________                                                                    

3、把一个洗净的鸡蛋完整地放入玻璃杯中。

（１）如果因杯口较窄，拿着鸡蛋的手无法伸进杯中，则放入鸡蛋的正确方法是                  

                                                。

（２）再向杯中倒入足够多的食醋（足以没过鸡蛋，并且放入的鸡蛋的平均密度是１g/cm³），鸡蛋静止后的状态可能是图中的   种情况，原因是                                                 

（３）约半分钟后观察到鸡蛋表面聚集了很多小气泡，并不断增多变大。小气泡中的气体是    ，写出发生反应的化学方程式                         ?  。

4、铁合金是金属材料王国的霸主，亚铁盐、铁盐、高铁酸盐等铁的重要化合物也在不同领域中个扮演着重要的角色。这些化合物之间可以相互转化，利用转化过程中发生的特征变化，不仅能够实现物质或能量的转化，还用于化学的定性或定量研究。

         +2                  +3                   +6

         Fe                  Fe                   Fe

已知FeO₄^2－只能在强碱性介质中稳定存在，在酸性介质或水中不稳定：

4FeO₄^2－+20 H⁺ ==4Fe³⁺ + 3O₂ +10 H₂O；

4FeO₄^2－+10 H₂O== 4Fe(OH)₃ +3O₂ +8 OH^－

请利用下列用品：FeCl₂溶液（浅绿色）、FeCl₃溶液（黄色）、Na₂FeO₄溶液（紫红色）、铁粉、KSCN溶液、NaOH溶液、NaClO溶液、盐酸、金属锌片、惰性电极（或放电物质做电极）材料、蒸馏水及必要的实验仪器。完成下列任务：

（1）设计一个实现上述转化①或者④的实验方案（要求产物纯净），写出简要的实验步骤。

（2）在浓碱中，用NaClO可以实现转化②，这一反应的离子方程式为（不必配平）：                                            。

（3）一种新型高能碱性电池利用了转化③将化学能转化为电能，该电池由电解质（KOH水溶液）、K₂FeO₄、金属锌及必要的填充材料构成。该电池放电时发生反应的化学方程式为（不必配平）：                                                    。

（4）高铁酸盐是比高锰酸盐更强的氧化剂，研究证明它是一种“绿色环保高效”净水剂，比目前国内外广泛使用的含氯饮用水消毒剂（均为含氯的物质：如漂白粉、氯气和二氧化氯等，它们具有很好的杀菌效果，但不能将水中的悬浮杂质除去，为了除去水中的细微悬浮物，还需另外添加絮凝剂，如聚合铝的氯化物。）的性能更为优良，为什么说它作为净水剂是“绿色环保高效”的？

5、茚是一种碳氢化合物，其结构为，茚有一种同分异构体A，A分子中的碳原子不完全在同一平面上，且A分子中含有一个苯环，A有如下变化关系：
      
已知：①R-XR-OH+HX
         ②一个碳原子上同时连两个羟基不稳定，会失水形成羰基
         ③B、C、D、E、F的分子结构中均有一个苯环
       根据变化关系和已知条件，试回答
（1） A是                 ，B是                   （均填结构简式）
（2）写出E经缩聚生成高聚物的化学方程式
                                                                
（3）写出F经加聚生成高聚物的化学方程式
：                                                        
（4）E®F的反应类型是            反应
（5）茚与硫酚  反应生成的反应类型是               反应。

6、关于“电解氯化铜溶液时的PH值变化”问题，化学界有以下两种不同的观点：
观点一是：“理论派”认为电解氯化铜溶液后溶液的PH值升高。
观点二是：“实验派”经过反复、多次、精确的实验测定，证明电解氯化铜溶液时PH值的变化有如下图曲线关系：
             
请回答下列问题：
（1）电解前氯化铜溶液的PH值处于A点位置的原因是（用离子方程式说明）            

（2）“理论派”所持观点的理论依据是                                     

（3）“实验派”的实验结论是                        ，他们所述“精确的实验”是通过

          来准确测定溶液的PH值的。该观点的理由是（从化学原理上加以简述）

7、关于二氧化氮与水反应的练习题很多，如：用一大量筒收集满二氧化氮气体，到扣在水槽中，量筒里水面上升的高度是多少？相信多数同学都很快作出回答：上升到量筒容积的2/3！某学校的化学兴趣小组对此答案提出质疑，认为水面上升的高度应间于1/3和2/3之间，他们的理由是：                                                  ；但是实验证明，水面上升的高度达到量筒容积的十之八、九甚至更多？你认为可能的原因是什么？                                                              （可结合化学方程式说明）

3、（1）把杯倾斜，使鸡蛋顺杯壁慢慢滑下。（2分）

（2）C（1分）  Ａ不可能，原因是食醋的密度大于１g/cm³鸡蛋应上浮，又因为鸡蛋较粗的一头有气室，故Ｂ、Ｄ也不对。（2分）(3) CO₂，（1分） CaCO₃＋2CH₃COOH==(CH₃COO)₂Ca＋CO₂↑＋H₂O。（1分）

4、（1）④：在三氯化铁溶液中加入过量的铁粉，充分反应后，过滤，滤液在氯化氢的蒸气中蒸干，可得氯化亚铁固体。（4分，其余正确方案同样给分）

（2）3ClO^－+ 2Fe(OH)₃+4OH^－  = 2FeO₄^2－+ 3Cl^－+5H₂O（2分）

（3）2K₂FeO₄  + 3Zn + 6H₂O == 2Fe(OH)₃ + 3Zn (OH)₂  + 4 KOH（2分）

（4）该净水剂在杀菌消毒的过程中被还原为+3价的铁，+3价的铁发生水解形成具有强吸附性的氢氧化铁，通过吸附与水中的细微悬浮物共同聚沉，对环境和生命体都不会构成危害。（4分）

5、（1） A是【答： 】，B是【答： 】（均填结构简式）
（2）写出E经缩聚生成高聚物的化学方程式
【答】：
      
（3）写出F经加聚生成高聚物的化学方程式
【答】：
      
（4）E®F的反应类型是【答：消去】反应
（5）茚与硫酚  反应生成的反应类型是【答：加成】反应。

6、（1）Cu²⁺的水解：Cu²⁺+2H₂O Cu(OH)₂+2H⁺，使溶液呈酸性
（2）电解时，Cu²⁺可在阴极析出，随着[Cu²⁺]的降低，Cu²⁺的水解平衡向左移，导致溶液中的[H⁺]下降，溶液的PH值会升高（但不会超过7）
（3）答：溶液的PH值下降，

【答：PH计】。

【答：因电解产生的氯气有一部分溶解在溶液中，使溶液中的气离子浓度增大，而且这种影响是实验过程中溶液PH值变化的主要因素，所以，随着电解过程的进行，溶液的PH值降低。】

7、二氧化氮气体中含有四氧化二氮：3N₂O₄+2H₂O=4HNO₃+2NO

NO₂  +NO+ H₂O = 2HNO₂

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洛阳一高2008―2009学年下期高三年级2月月考

化 学 试 卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

注意事项：

1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，将第II卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1、Li 7、C 12、N 14、O 16、Na 23、Mg 24、Al 27、Si 28、Cl 35.5、Fe 56、Cu 64

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2009届高考数学快速提升成绩题型训练――轨迹问题

1. 已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（   ）

A. 一个圆                   B. 两条平行直线

C. 四个点                   D. 两个点

2 在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（   ）

A. 圆                    B. 不完整的圆

C. 抛物线            D. 抛物线的一部分

3. 如图,定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（    ）

A. 一条线段，但要去掉两个点

B. 一个圆，但要去掉两个点

C. 一个椭圆，但要去掉两个点

D. 半圆，但要去掉两个点

4. 如图3，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（   ）

A. 直线                B. 圆                   C. 双曲线                 D. 抛物线

图3

5. 已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（    ）

A. 抛物线                   B. 双曲线                  C. 椭圆                     D. 直线

6. 已知异面直线a,b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a,b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程。

7. 已知圆E的方程为 (x-1)² + y² = 1, 四边形PABQ为该圆的内接梯形，底AB为圆的直径且在x 轴上，以A、B为焦点的椭圆C过P、Q两点．

(1) 若直线QP与椭圆C的右准线相交于点M，求点M的轨迹；

(2) 当梯形PABQ周长最大时，求椭圆C的方程．

8. 已知双曲线的两个焦点分别为F₁、F₂，其中F₁又是抛物线 y² = 4 x的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．

(1)求点F₂的轨迹;

(2)是否存在直线y = x+m与点F₂的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．

9. 已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O，以c +λi为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E , F，使得 | PE| + | PF | 为定值，若存在，求出E, F的坐标，若不存在，说明理由．

10. 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

11. 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

12. 已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

   （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

   （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

   （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

         使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂

              的正切值；若不存在，请说明理由.

13. 过抛物线y²=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程.

14. 已知圆和点，动点到圆的切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

15. 如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

16. 已知椭圆C：和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。

17. 已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。

18. （经典问题，值得一做，很能训练学生的思维能力）

三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形，按规定，挖出的土方必须沿道路或送到点处。已知，能否在池中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路送土方较近，而另一侧的点沿道路送土方较近？如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出轨迹方程。

19. 设点A和B为抛物线 y²=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 

20. 某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

答案：

1. 如图1，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4。在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选C。

2. 因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且。

又，

可得，

即得

在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0）。设点P（x,y），则有

，

整理得

由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。

3. 因为，且PC在内的射影为BC，所以，即。所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B。

4. 因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，故选D。

5. 以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作于E、于F，连结EF，易知

又作于N，则。

依题意，

即，

化简得

故动点P的轨迹为双曲线，选B。

6. 如图，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，则，且P也为的中点。

由已知MN=2，AB=4，易知得。

则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹。现以的角平分线为x轴，O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。

设，，

则

消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为。

7. 解 (1) 设椭圆C：b²(x-1)² + a²y² = a² b² (a >b >0)，由题意知 2c = 2, 故 c = 1,

如图9-9，从而可得 右准线的方程  x = a² +1, …………………………………………………………… ①

设 M(x, y)，P(x₀, y₀)，连PB，则有 | PA| ² + |PB| ² = |AB| ²,

∴ ( | PA| + | PB| )²- 2| PA|?|PB| = 4，由此可得  (2a)²- 2?2 | y_P | = 4，即 y_P = ±(a²-1)，………………②

于是，由①②得  y =±(x- 2)．

又∵ 点P(x₀, y₀)是圆E上的点，且不与AB重合，

∴ 0 < |y₀| < 1，故有 0 < a²- 1< 1 , 即 1 < a² < 2…………………………………………………………… ③

由①③得  2 < x < 3，∴ 点M的轨迹是两条线段，其方程为 y =±(x-2) (2 < x < 3)．

(2) 设∠ABQ =θ，∵点Q在P点左侧，∴θ∈(45^o, 90^o)，

又|AB| = 2, 于是，由图9-9可得 | PA| = |BQ| = 2cosθ, |PQ| = |AB|-2|BQ|cosθ= 2- 4cos²θ,

∴ 周长 L= (2-4cos²θ) + 4cosθ+ 2．

当时，周长L取最大值5．

此时 |BQ| = 1, |AQ| =，2a = |BQ| +|AQ| =1+,

∴, ，

图9-9   8. 解 (1) 由题意知F1(1, 0)，设F2(x , y)，则 | |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = 2a > 0．……………………………① ∵ A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知双曲线上，且 |AF1| = | BF1| =．于是 (?) 当 | AF1|-|AF2| = |BF1|-|BF2|时，有 |AF2| = |BF2| , 再代入①得： F2的轨迹为直线 x = 1除去两个点F1(1, 0),  D(1, 4)． (?) ∵ 当 | AF1|-|AF2| = - ( |BF1|-|BF2| ) 时，有 | AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| => 4 = |AB| , ∴ 点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1(1, 0)，D(1, 4)两点， 故所求的轨迹方程为 l：x = 1与Q：( y≠0，y≠ 4 )． (2) 设存在直线L：y = x+ m满足条件．(?) 若L过点F1或点D， ∵ F1、D两点既在直线l：x = 1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上， ∴ L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意． (?) )若L不过点F1和D两点，(m≠-1, m≠3)，则L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上， ∴ 要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点，则L必与Q有且只有一个公共点． 由 得 3x2 - (10 - 4m) x +2m2- 8m +1= 0, 从而，有 △= (10 - 4m) 2- 12(2m2- 8m+1) = - 8 ( m2-2m-11) , 当△= 0时，有．即存在符合条件的直线 y = x+．   9. 解  ∵ c +λi = (λ, a)，i - 2λc = (1, - 2λa) , 由向量平行关系得 OP与AP的方程分别为λy = ax，y- a = - 2λax．…………………………………… ① 由此消去参数λ，得 点P(x ,y)满足方程为, …………………………………………… ② ∵ a > 0 , 从而，有(1) 当时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点 E，F ； (2) 当0<时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：； (3) 当时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：．   10. 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直， 所以直线的斜率为．   又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为即． （II）由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为． 所以为矩形外接圆的圆心． 又    （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；     （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°             2  如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点. （1）求证：AB­1⊥平面CED； （2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1―AC―B的平面角.                 3. 如图a―l―是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB= （I）    求三棱锥D―ABC的体积； （2）求二面角D―AC―B的大小；      （3）求异面直线AB、CD所成的角.       4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．                         图①                        图②     5. 已知三棱锥P―ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．     （1）求证：AP⊥平面BDE；                 （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥 P―ABC所成两部分的体积比．               6. 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点. （1）求证：FD∥平面ABC； （2）求证：AF⊥BD；  (3) 求二面角B―FC―G的正切值.             7. 如图，正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且 D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.   (1) 求证PQ∥平面CDD1C1； (2) 求证PQ⊥AD；      (3) 求线段PQ的长.             8. 如图4，在长方体 中，AD==1，AB=2，点E在棱AB 上移动。   （Ⅰ）证明：；   （Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面 的距离；   （Ⅲ）AE等于何值时，二面角的大小为。           9. 如图，在正三棱柱ABC―A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1―DE―B1的大小。     10．如图：已知直三棱柱ABC―A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。 　　（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1； 　　（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论                   11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。     （I）求二面角P―CD―A的正切值；     （II）求点A到平面PBC的距离。         12.在直三棱柱ABC―A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG. （Ⅰ）确定点G的位置； （Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小.             13. 点E为AB中点，点F为PD中点.    （1）证明平面PED⊥平面PAB；    （2）求二面角P―AB―F的平面角的余弦值                       14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP. (Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP； (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.                 15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。 　　(I)证明 平面； 　　(II)证明平面EFD； 　　(III)求二面角的大小。       16.如图，在棱长为1的正方体ABCD―A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱 CD上的动点. （I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F； （II）当D­1E⊥平面AB1F时，求二面角C1―EF―A的大小（结果用反三角函数值表示）.             　　     17.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是 梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线 AD1的距离为 ⑴求证：AC∥平面BPQ ⑵求二面角B-PQ-D的大小                 18.已知长方体ABCD―A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。     （Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1； （Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；                                19. 图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：        （1）求MN和PQ所成角的大小；        （2）求四面体M―NPQ的体积与正方体的体积之比；        （3）求二面角M―NQ―P的大小。       20. 如图，已知四棱锥P―ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。        （1）求点P到平面ABCD的距离；        （2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。             答案： 1. （1）正方形ABCD是四棱锥P―ABCD的底面, 其面积 为从而只要算出四棱锥的高就行了. 面ABCD,     ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，     ∴PA⊥DA，     ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，       ∠PAB=60°.                       而PB是四棱锥P―ABCD的高，PB=AB?tg60°=a,      .                                （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.       作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，       是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.           设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，                                          在      故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.   2. （1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE  ∴DE⊥AB1 ∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=，AC=1 , ∴CD= ∴； （3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1, ∴∠B1AC=600 ∴，  ∴, ∴  , ∴.   3. (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. 为二面角a―l―的平面角.. 是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO= （2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO  为二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且   （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.  为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高, 异面直线AB,CD所成的角为arctg     4. 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,                         .     当且仅当 . 故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为   5. (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．   （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP． 由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF． 又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．   （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则            h1∶h2=EP∶AP=2∶3,          故截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 6. ∵F、G分别为EB、AB的中点， ∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，     ∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，     ∴FD∥面ABC. （2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ② 由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.     （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF. 过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC. ∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角. 易求.   7. （1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作 QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.     ∵ ,     ∴PP1QQ1 .? 由四边形PQQ1P1为平行四边形,   知PQ∥P1Q1? ? 而P1Q1平面CDD1C1，  所以PQ∥平面CDD1C1? （2）AD⊥平面D1DCC1，    ∴AD⊥P1Q1，? 又∵PQ∥P1Q1，   ∴AD⊥PQ.? （3）由（1）知P1Q1 PQ, ，而棱长CD=1.     ∴DQ1=.  同理可求得 P1D=. 在Rt△P1DQ1中，应用勾股定理, 立得 P1Q1=.?   8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，， ，。   （Ⅰ）证明：由，， ，有，于是。   （Ⅱ）E是AB的中点，得。 ，，。   设平面的法向量为，单位法向量为， 由，解得。   于是，有。 设点E到平面的距离为，则 。   所以点E到平面的距离为。   （Ⅲ）平面的法向量，设平面的法向量。 又，。  由，得 ，解得，于是。   设所求的二面角为，则。   有，得。 解得， 所以，当AE=时，二面角的大小为。     9. （1）取A1C1中点F，连结B1F，DF，∵D1E分别为AC1和BB1的中点，DF∥AA1， DF=（1/2）AA1，B1E∥AA1，B1E=（1/2）AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，∴DEB1F为平行四边形，∴DE∥B1F，又B1F在平面A1B1C1内，DE不在平面A1B1C1，∴DE∥平面A1B1C1 （2）连结A1D，A1E，在正棱柱ABC―A1B1C1中，因为平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线，又因为B1F在平面A1B1C1内，且B1F⊥A1C1，，所以B1F⊥平面ACC1A1，又DE∥B1F，所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1为二面角A1―DE―B1的平面角。并且∠FDA1=（1/2）∠A1DC1，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA1C1=900，D是AC1的中点，所以即为所求的二面角的度数。 10．（I）连结DF，DC 　∵三棱柱ABC―A1B1C1是直三棱柱， 　　∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC 　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C                                             3＇ 试题详情 2009届高考数学快速提升成绩题型训练――数列求和 1. 求数列,的前项和.       2 已知，求的前n项和.             3. 求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。             4. 求证：         5. 求数列，，，…，，…的前n项和S           6. 数列{an}：，求S2002.             7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n项和Sn           8. 已知数列 是等差数列，且，求的值.               9. 已知数列的通项公式为  求它的前n项的和.             10. 在数列中， 证明数列是等差数列，并求出Sn的表达式.             11. 数列为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54. 求其首项a1及公比q.             12. 已知数列  求.               13. 设 为等差数列，Sn 为数列的前n 项和，已知S7 = 7, S15 = 75. 记Tn 为数列的前n 项和，求Tn .                 14. 求数列的前项和         15. 已知：.求.                 16. 求和.     17. ，求。           18. 设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式。           19. 已知数列：，求的值。               20. 求和:           21. 求数列的前项和：           22. 求数列的前项和。 23. 求证：               24. 求的值。               25. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.             26. 已知数列的通项公式求它的前n项和.               27. 求和：             28. 已知数列         29. 求和             30. 解答下列问题： （I）设 （1）求的反函数 （2）若 （3）若           31. 设函数 求和：             32. 已知数列的各项为正数，其前n项和， （I）求之间的关系式，并求的通项公式； （II）求证               33.已知数列{}的各项分别为的前n项和.             34．已知数列{}满足：的前n项和     .             35．设数列{}中， 中5的倍数的项依次记为     ，        （I）求的值.        （II）用k表示，并说明理由.        （III）求和：         36．数列{}的前n项和为，且满足        （I）求与的关系式，并求{}的通项公式；        （II）求和                     37．将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0，        （I）求数列{}的通项公式；           （II）求数列{Tn}的通项公式；        （III）设数列{ Tn }的前n项和为Sn，求S8的值.               38. 设数列是公差为，且首项为的等差数列， 求和：               39. （1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当时，求的数值； （ii）求的所有可能值． （2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．                 40. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？    （取）               答案： 1. 设则 两式相减得 ∴. 2. 解：由     由等比数列求和公式得      ＝＝＝1－   3. 解：若a=0, 则Sn=0若a=1, 则Sn=1+2+3+…+n=           若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1 ∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1=    ∴Sn=   当a=0时，此式也成立。 ∴Sn=   解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。   4. 证明： 设………………………….. ①        把①式右边倒转过来得                          （反序）        又由可得        …………..…….. ②    ①+②得         （反序相加）         ∴     5. 解：∵=）     Sn=       =       =   6. 解：设S2002＝ 由可得 …… ∵                   （找特殊性质项） ∴　S2002＝                                    （合并求和）      ＝ ＝ ＝ ＝5   7. n n         =       =       = 解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。 另外：Sn= 可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+()     8. ∵为等差数列，且1+17=5+13， ∴. 由题设易知 =117. 又为与的等差中项，∴.   9.    (裂项)         于是有                    方程组两边相加，即得                        10. 【证明】∵∴. 化简，得       Sn-1－Sn= 2 Sn Sn-1 两边同除以. Sn Sn-1，得    ∴数列是以为首项，2为公差的等差数列. ∴        ∴   11. ∵    ∴此数列为递增等比数列. 故q ≠ 1.       依题设，有                                        ②÷①，得               ④      ④代入①，得                          ⑤      ⑤代入③，得                     ⑥      ④代入⑥，得  , 再代入③，得a1 =2, 再代入⑤，得  q = 3.   12. 令，，恒有f()=f()+f(), 试判断f(x)的奇偶性。         2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围       3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。           4. 设函数f（x）对任意都有f（=f（，                              已知f（1）=2，求f（           5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+ f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。           6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0. （1）求证f（0）=1； （2）求证：y=f（x）为偶函数.     7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？             8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0 （1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小； （2）.若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。           9.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。           10．已知函数当时，恒有. (1)求证: 是奇函数; (2)若.               11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: . (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,,求数列{}的前项和.           12.已知定义域为R的函数满足. (1)若 (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.             13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0. (1)求; (2)求和; (3)判断函数的单调性,并证明.             14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数; (3)若且,求证:.                   15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:; (2)证明: 在R上单调递减; (3)设A=,B={},若=,试确定的取值范围.                   16.已知函数是定义在R上的增函数,设F. (1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数; (2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形. 17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值; (2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.             18．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：； （2）若成立，求x的取值范围。                 19．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有． （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．         20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。             21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。               22. 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求： （1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。             23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。                   24. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）?g（b）是否正确，试说明理由。             25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： ①当是定义域中的数时，有； ②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。                 答案： 1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。 2. 分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。 解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m<。 3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。 4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（≥0，x          ，         f（1）=2，          同理可得 5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）≠1，故 f（x+2）=f（x+4）=.     所以f（x+8）=.       所以f（x）是以8为周期的周期函数，       从而f（2001）=f（1）=1997 说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。   6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。      （2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y）， 且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数. 说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。   7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。令u=2-x，则当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。   8. 解：（1）.因为a＞b，所以a-b＞0，由题意得 ＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）=－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b） （2）.由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜ 令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1   9.解：等价于   10.（1）证明：令，得       令，则 ∴    ∴是奇函数。 （2）∵      又∵ 11.（1）解：令，则 令，则   （2）证明：令，则，∵，∴        令，则        ∴是奇函数。 （3）当时，，令，则    故，所以 ∴ ∵ ∴，故 ∴ 12.解：(1)∵对任意，函数满足，且   ∴ ∵，∴=f(a)=a (2) ∵对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得 ∴对任意，有 上式中，令 试题详情 2009届高考数学快速提升成绩题型训练――圆锥曲线 1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R． (1) 求点P的轨迹E；　 (2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．             2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F1、F2，直线过F2且与直线F1F2的夹角为，且，与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.               3. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.    （1）求曲线C的方程；    （2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；    （3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明       4. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。 （1）    求双曲线C的标准方程； （2）    若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。           5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。               6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积               7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值               8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。                       9. 已知圆：x2+y2=c2(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。 ⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数； ⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。               10. 已知点（x,y）在椭圆C：（a＞b＞0）上运动 ⑴求点的轨迹C′方程； ⑵若把轨迹C′的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。             11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。 （1）    求椭圆的离心率与; （2）    对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成立.                 12. 已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？ (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？             13. 如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD|| (1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值.   14. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.    （1）求双曲线C的方程；    （2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.             15. 设分别是椭圆的左，右焦点。 （Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且， 求点的坐标。 （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。             16. 抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足    （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；    （2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；    （3）当时，若点P的坐标为（1，―1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取 值范围.     17. 如图，已知点F（1，0），直线为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若    （1）求动点P的轨迹C的方程；    （2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。 （Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k1,k2，求k1+k2 的值； （Ⅱ）若线段AB上点R满足求证： RF⊥MF。           18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直 线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使    （1）求椭圆C的方程；    （2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且内切圆面积最大时实数的值.             19. 已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.    （1）求椭圆的方程；    （2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分 所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.             20. 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；       （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.             答案： 1. 解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为；…………………………① 又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP方程为；…………………………② 由①、②消去λ得 ，即 ． 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4； 当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆： 当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆． (2)　假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ; 椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且． 由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2- 5kx + 20k- 30 = 0, 设M(x1, y1), N(x2, y2),  则有， ………………………………………………③ △=25k2- 4×2(20k- 30)， 又 |MF| =, |NF| =, 而； ∴ +, 由此可得　，……………………………………………………………………④ 由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．   2. 解  以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又， ∴，，∴双曲线方程为.   3. （1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M1的坐标为（0，），       ，于是点N的坐标为，N1的坐标       为，所以       由       由此得       由       即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分    （2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C       无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为       由方程组       依题意       当时，设交点PQ的中点为，       则             又             而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分    （3）由题意有，则有方程组         由（1）得  （5）       将（2），（5）代入（3）有       整理并将（4）代入得，       易知       因为B（1，0），S，故，所以                4. 解： （1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得 ∵且的面积为1 ∴, ∴ ∴ ∴双曲线C的标准方程为。 （2）设，联立得 显然否则直线与双曲线C只有一个交点。 即 则 又 ∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0) ∴即 ∴ ∴ 化简整理得 ∴ ，且均满足 当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！ 当时，直线的方程为，直线过定点（，0） ∴直线定点，定点坐标为（，0）。   5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。 解：设双曲线的方程为 在双曲线上  得 所以双曲线方程为   6、已知分别是双曲线＞0   (1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式  f(x+)＜f()； (3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围                2 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围                  3. 解关于x的不等式＞1(a≠1)  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m             4. 设函数f(x)=ax满足条件  当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围          5. ，求关于不等式的解集。             6. 解关于。         7.已知 求证：（1）；（2）。                     8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。 （1）    若时的值； （2）    若 ，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。           9.已知函数在R上是增函数，。 （1）    求证：如果； （2）    判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论； （3）    解不等式。                 10.奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。                 11. 设数列满足      （Ⅰ） 证明：对一切正整数成立； （Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由.             12. 设使,，求证： (Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.                   13. 已知函数,数列{}满足: 证明:（Ⅰ）;(Ⅱ).                     14. 已知函数,数列满足:, (1)证明:数列是单调递减数列. （2）证明：             15. 若关于的不等式的解集是，求不等式的解集                 16.设都是正实数,求证:                 17、设，解关于的不等式                        18.过点作直线交正半轴于两点. (1)若取到最小值,求直线的方程 (2)若的面积取到最小值,求直线的方程       19.设函数正实数满足，且 （1）求证：;         （2）求证：             20.已知函数,数列满足:, (1)设证明:   （2）证明：           21. （1）设a>0，b>0且，试比较aabb与abba的大小。 （2）已知函数，，试比较与的大小．             22. 已知实数a,b,c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax2+bx+c (1)如果，证明： (2)如果，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。             23. 已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有           和，其中是大于0的常数. 设实数a0，a，b满足         和 (Ⅰ)证明，并且不存在，使得； (Ⅱ)证明； (Ⅲ)证明.               24. 己知， （1） （2），证明：对任意，的充要条件是； （3）讨论：对任意，的充要条件。                 25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？                   答案： 1. (1)证明  任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=?(x1－x2) ∵－1≤x1＜x2≤1， ∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数  (2)解  ∵f(x)在［－1，1］上为增函数， ∴  解得  {x|－≤x＜－1，x∈R} (3)解  由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1， 故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1， 所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立， 故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0， 只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0， 解得，t≤－2或t=0或t≥2  ∴t的取值范围是  {t|t≤－2或t=0或t≥2}    2. 解  M［1，4］有两种情况  其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围  设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］ (2)当Δ=0时，a=－1或2  当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］  (3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2  设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2， 那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4 即，解得  2＜a＜， ∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)    3. 解  原不等式可化为  ＞0， ①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解  由于 ∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)  ②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解  由于, 若a＜0，,解集为(，2)； 若a=0时，，解集为； 若0＜a＜1，,解集为(2，) 综上所述  当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2）    4. 解  由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1恒成立  在x∈(0，1恒成立  整理，当x∈(0，1)时，恒成立， 即当x∈(0，1时，恒成立， 且x=1时，恒成立， ∵在x∈(0，1上为减函数，∴＜－1， ∴m＜恒成立m＜0  又∵，在x∈(0，1上是减函数，∴＜－1  ∴m＞恒成立m＞－1 当x∈(0，1)时，恒成立m∈(－1，0)        ① 当x=1时，，即是∴m＜0             &nb 试题详情 2009届高考数学快速提升成绩题型训练――三角函数   1. 右图为 的图象的一段，求其解析式。                   2  设函数图像的一条对称轴是直线。 （Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅲ）画出函数在区间上的图像。               3. 已知函数， （1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。               4. 已知向量= (，2)，=(，（。 （1）若，且的最小正周期为，求的最大值，并求取得最大值时的集合； （2）在（1）的条件下，沿向量平移可得到函数求向量。         5. 设函数的图象经过两点（0，1），（），且在，求实数a的的取值范围.             6. 若函数的最大值为，试确定常数a的值.             7. 已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．                 8. 试判断方程sinx=实数解的个数.             9. 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当 时，函数，其图象如图.   （1）求函数在的表达式； （2）求方程的解.                   10. 已知函数的图象在轴上的截距为1，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为和.         (1)试求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数的图象.写出函数的解析式.                 11. 已知函数 （Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程 （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 12. （ω＞0） （1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值 （2）f (x)在（0，）上是增函数，求ω最大值。                 13. 已知且a∥b. 求的值.                   14. 已知△ABC三内角A、B、C所对的边a，b，c，且   （1）求∠B的大小；   （2）若△ABC的面积为，求b取最小值时的三角形形状.               15. 求函数y=的值域.               16. 求函数y=的单调区间.               17. 已知 ①化简f(x);②若，且，求f(x)的值；                 18. 已知ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且A<B<C，tgA?tgC,①求角A、B、C的大小；②如果BC边的长等于，求ΔABC的边AC的长及三角形的面积.             19. 已知，求tg(a-2b).   20. 已知函数 （I）求函数的最小正周期； （II）求函数的值域.             21. 已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]． （1）求 （2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。                 22. 已知函数的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.                 23. 在ㄓABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 （1）求tanC的值;              （2）若ㄓABC最长的边为1，求b。       24. 如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。             25. 在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且。 （1）求角B的大小； （2）若，求a的值。           答案： 1. 解析  法1以M为第一个零点，则A=， 所求解析式为 点M（在图象上，由此求得   所求解析式为 法2. 由题意A=，，则 图像过点         即 取 所求解析式为   2. 解析（Ⅰ）的图像的对称轴，    （Ⅱ）由（Ⅰ）知 由题意得     所以函数 （Ⅲ）由 x 0 y －1 0 1 0                                 3. 解析 （1）由题意得sinx-cosx＞0即， 从而得， ∴函数的定义域为， ∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函数f(x)的值域是。 （2）单调递增区间是 单调递减区间是， （3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。 （4）∵      ∴函数f(x)的最小正周期T=2π。 4. 解析=，T=， =，，这时的集合为 （2）的图象向左平移，再向上平移1个单位可得的图象，所以向量=。   5. 解析  由图象过两点得1=a+b，1=a+c， 当a＜1时，， 只须解得 当 要使解得， 故所求a的范围是   6. 解析  因为的最大值为的最大值为1，则 所以   7. 解析  设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，） 因为，，所以， 由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， 若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数． ∵　，，，，， ， ∴　当时， ，． ∵　的不等式：(1) x2－(a＋1)x＋a＜0，(2) ．       2 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．       3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．         4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0．       5．若不等式的解集为，求实数p与q的值．           6. 设，若，，, 试证明：对于任意，有.   7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数，方程的两个根满足.  当时，证明.           8. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.           9. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R). (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.           10.已知实数t满足关系式 (a>0且a≠1) (1)令t=ax,求y=f(x)的表达式； (2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.           11.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.             12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证： (1)pf()<0; (2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.             13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元. (1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？             14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1； 　　(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；               15. 设二次函数，方程的两个根满足.  且函数的图像关于直线对称，证明：.             16. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：； （2）如果，，求的取值范围.             17. 设,，,求证： (Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1； (Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.             18. 已知二次函数 的图象如图所示： （1）试判断 及 的符号； （2）若|OA|＝|OB|，试证明 。     19. 为何值时，关于 的方程 的两根： （1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。         20. 证明关于 的不等式 与 ，当 为任意实数时，至少有一个桓成立。             21. 已知关于 的方程 两根为 ，试求 的极值。             22. 若不等式 对一切x恒成立，求实数m的范围.         23. 设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx2+bx+a<0的解集.           答案： 1.解：(1)原不等式可化为：若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时， 解为a＜x＜1，若a=1时，解为 (2)△=．   ①当，△＞0． 方程有二实数根： ∴原不等式的解集为 ①当=±4 时，△=0，两根为 若则其根为－1，∴原不等式的解集为． 若则其根为1，∴原不等式的解集为． ②当－4＜时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．   2．解：，比较 因为 (1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}. (2)当k=1时，x. (3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=. B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式， (1)当k=0时，. (2)当k＞0时，△＜0，x. (3)当k＜0时，. 故：当时，由B=R，显然有A， 当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，. 综上所述，k的取值范围是：   3..解： (１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时， ①若m＝3，原不等式解集为R ②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0 ∴原不等式解集为｛x｜x＜＝，不合题设条件. (２)若m2－2m－3≠0，依题意有   即 ∴－＜m＜3? 综上，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R. 4..解： 由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根， ∴－p=－＋   q=－× ∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0 即－x2＋x＋1＞0 ∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3. 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.   5.．解：由不等式的解集为，得 2和4是方程的两个实数根，且．(如图)                          解得   6. 解：∵ , ∴ , ∴ .∴ 当时， 当时，   7. 证明：由题意可知. ,∴ , ∴  当时，. 又,     ∴  , 综上可知，所给问题获证.   8. 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 ∴. (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 (这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)   9. (1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］ ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=. |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－) ∵的对称轴方程是. ∈(－2,－)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().   10. .解：(1）由loga得logat－3=logty－3logta 由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,? ∴logay=x2－3x+3，即y=a (x≠0). (2)令u=x2－3x+3=(x－)2+ (x≠0),则y=au ①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8， 则u=(x－)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值. ②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+,x∈(0,2应有最小值 ∴当x=时，umin=,ymin= 由=8得a=16.∴所求a=16,x=.   11.解：∵f(0)=1>0 (1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意. (2）当m>0时，则解得0＜m≤1 综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.   12.证明：(1) ,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0. (2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当p＜0时，由(1）知f()＜0 若r>0,则f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解; 若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0, 又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解. ②当p＜0时同理可证.   13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得? y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500 由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300 ∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+1612.5 ∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.   14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])． 　　 　　 　　 　　所以当－1≤x≤1时， 　　 　　 　　   15. 解：由题意 违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com 精英家教网 关 闭 试题分类 高中 数学英语物理化学生物地理 初中 数学英语物理化学生物地理 小学 数学英语 其他 阅读理解答案已回答习题未回答习题题目汇总试卷汇总