第十六讲  圆锥曲线的定义、性质和方程(一)

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.已知AB为过抛物线y2=2px焦点F的弦, 则以AB为直径的圆与抛物线的准线(B)

A.相交      B.相切       C.相离      D.与p的取值有关

2.(江苏理)在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x-2y=0,则它的离心率为     (   A   )

A.6ec8aac122bd4f6e             B.6ec8aac122bd4f6e              C.6ec8aac122bd4f6e            D.6ec8aac122bd4f6e

3.点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点,且P到渐近线距离为6ec8aac122bd4f6e,则a+b=(B )

  A、-6ec8aac122bd4f6e  B、6ec8aac122bd4f6e  C、-2  D、2                 

4.(湖南)设F1 、F2分别是椭圆6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e)的左、右焦点,若在其右准线上存在P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是(  D  )

A.6ec8aac122bd4f6e       B.6ec8aac122bd4f6e       C.6ec8aac122bd4f6e         D.6ec8aac122bd4f6e

5.(湖北理)双曲线6ec8aac122bd4f6e的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1 、F2;抛物线C2的准线为l,焦点为F2;C1与C2的一个交点为M,则6ec8aac122bd4f6e等于 (  A  )

A.6ec8aac122bd4f6e           B.6ec8aac122bd4f6e            C.6ec8aac122bd4f6e             D.6ec8aac122bd4f6e

6.(全国一)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为6ec8aac122bd4f6e的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK^l,垂足为K,则△AKF的面积是(  C)

A.4               B.6ec8aac122bd4f6e              C.6ec8aac122bd4f6e           D.8

7.(福建理)以双曲线6ec8aac122bd4f6e的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆方程是                    (  A  )

A.x2+y2-10x+9=0       B.x2+y2-10x+16=0  C.x2+y2+10x+16=0      D.x2+y2+10x+9=0

8.(辽宁)设椭圆6ec8aac122bd4f6e上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e    2

★★★高考要考什么

【热点透析】

一、圆锥曲线的定义
 1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即:{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
 2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即{P| ||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
 3. 圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
 1.椭圆:6ec8aac122bd4f6e(a>b>0)或6ec8aac122bd4f6e(a>b>0)(其中,a2=b2+c2
 2.双曲线:6ec8aac122bd4f6e(a>0, b>0)或6ec8aac122bd4f6e(a>0, b>0)(其中,c2=a2+b2
 3.抛物线:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)
三、圆锥曲线的性质
知识要点:

1.椭圆:6ec8aac122bd4f6e(a>b>0)
  (1)范围:|x|≤a,|y|≤b      (2)顶点:(±a,0),(0,±b)   (3)焦点:(±c,0)
  (4)离心率:e=6ec8aac122bd4f6e∈(0,1)   (5)准线:6ec8aac122bd4f6e

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2.双曲线:6ec8aac122bd4f6e(a>0, b>0)
 (1)范围:|x|≥a, y∈R        (2)顶点:(±a,0)    (3)焦点:(±c,0)
 (4)离心率:6ec8aac122bd4f6e∈(1,+∞)   (5)准线:6ec8aac122bd4f6e  (6)渐近线:6ec8aac122bd4f6e

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3.抛物线:y2=2px(p>0)
  (1)范围:x≥0, y∈R   (2)顶点:(0,0)   (3)焦点:(6ec8aac122bd4f6e,0)

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 (4)离心率:e=1      (5)准线:x=-6ec8aac122bd4f6e

主要题型:

(1)定义及简单几何性质的灵活运用;

(2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程)。

 

★★★突破重难点

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【例1】若F1F2为双曲线6ec8aac122bd4f6e的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线的左支上,点M在双曲线的右准线上,且满足:

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

则该双曲线的离心率为(    )

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A.6ec8aac122bd4f6e             B.6ec8aac122bd4f6e              C.6ec8aac122bd4f6e               D.3

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解:由6ec8aac122bd4f6e知四边形F1OMP是平行四边形,又6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

OP平分∠F1OM,即F1OMP是菱形,设|OF1|=c,则|PF1|=c.

又|PF2|-|PF1|=2a,    ∴|PF2|=2a+c

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由双曲线的第二定义知6ec8aac122bd4f6e,且e>1,∴e=2,故选C.

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【例2】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为6ec8aac122bd4f6e,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以6ec8aac122bd4f6e轴为对称轴、6ec8aac122bd4f6e 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为6ec8aac122bd4f6e. 观测点6ec8aac122bd4f6e同时跟踪航天器.

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;

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(2)试问:当航天器在6ec8aac122bd4f6e轴上方时,观测点6ec8aac122bd4f6e测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?

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解:(1)设曲线方程为6ec8aac122bd4f6e,   由题意可知,6ec8aac122bd4f6e.   6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e 曲线方程为6ec8aac122bd4f6e.

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(2)设变轨点为6ec8aac122bd4f6e,根据题意可知

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6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e(不合题意,舍去).

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   6ec8aac122bd4f6e.

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   得 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e(不合题意,舍去).  

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e点的坐标为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

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答:当观测点6ec8aac122bd4f6e测得6ec8aac122bd4f6e距离分别为6ec8aac122bd4f6e时,应向航天器发出指令.

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6ec8aac122bd4f6e【例3】如图1,已知ABC是长轴为4的椭圆上三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,且6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;

(2)如果椭圆上两点PQ使直线CPCQx轴围

成底边在x轴上的等腰三角形,是否总存在实数l

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使6ec8aac122bd4f6e?请给出证明。

解:(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如

图直角坐标系,则A(2,0),椭圆方程可设为

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6ec8aac122bd4f6e

O为椭圆中心,由对称性知|OC|=|OB|

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6ec8aac122bd4f6e,所以ACBC

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6ec8aac122bd4f6e,所以|OC|=|AC|

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所以△AOC为等腰直角三角形,所以点C坐标为(1,1)。将(1,1)代入椭圆方程得6ec8aac122bd4f6e,则椭圆方程为6ec8aac122bd4f6e

(2)由直线CP、CQx轴围成底边在x轴上的等腰三角形,设直线CP的斜率为k,则直线CQ的斜率为-k,直线CP的方程为y-1=k(x-1),直线CQ的方程为y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立,消去y

 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0①

因为C(1,1)在椭圆上,所以x=1是方程①的一个根,于是

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6ec8aac122bd4f6e  同理6ec8aac122bd4f6e

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这样,6ec8aac122bd4f6e, 又B(-1,-1),所以6ec8aac122bd4f6e

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kAB=kPQ。所以PQ∥AB,存在实数l使6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e【例4】如图,直线l1l2相交于点Ml1 l2,点Nl1.以AB为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=6ec8aac122bd4f6e,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线C的方程.

解法一:如图建立坐标系,以l1x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.

依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛线段的一段,其中AB分别为C的端点.设曲线段C的方程为

y2=2px (p>0),(xAxxBy>0),其中xAxB分别为AB的横坐标,P=|MN|.

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6ec8aac122bd4f6e所以 M (-6ec8aac122bd4f6e,0),N (6ec8aac122bd4f6e,0).     

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由 |AM|=6ec8aac122bd4f6e,|AN|=3得

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(xA6ec8aac122bd4f6e)2+2PxA=17,    ①

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(xA6ec8aac122bd4f6e)2+2PxA=9.     ②  

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由①、②两式联立解得xA=6ec8aac122bd4f6e,再将其代入①式并由p>0解得

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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因为△AMN是锐角三角形,所以6ec8aac122bd4f6exA,故舍去6ec8aac122bd4f6e

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P=4,xA=1.

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由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-6ec8aac122bd4f6e=4.

综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4,y>0).

解法二:如图建立坐标系,分别以l1l2xy轴,M为坐标原点.

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6ec8aac122bd4f6eAEl1ADl2BFl2,垂足分别为EDF

A (xAyA)、B (xByB)、N (xN,0).

依题意有

xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,

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yA=|DM|=6ec8aac122bd4f6e=26ec8aac122bd4f6e,由于△AMN为锐角三角形,故有

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xN=|AE|+|EN|=4.

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=|ME|+6ec8aac122bd4f6e=4

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XB=|BF|=|BN|=6.   

设点P (xy)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合

{(xy)|(xxN)2+y2=x2xAxxBy>0}.    

故曲线段C的方程

y2=8(x2)(3≤x≤6,y>0).     

第十七讲  圆锥曲线的定义、性质和方程(二)

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【例5】已知椭圆6ec8aac122bd4f6e的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,向量6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e是共线向量。

(1)求椭圆的离心率e;

(2)设Q是椭圆上任意一点, F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围;

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解:(1)∵6ec8aac122bd4f6e,∴6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e是共线向量,∴6ec8aac122bd4f6e,∴b=c,故6ec8aac122bd4f6e

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(2)设6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e

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当且仅当6ec8aac122bd4f6e时,cosθ=0,∴θ6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e【例6】设P是双曲线6ec8aac122bd4f6e右支上任一点.

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   (1)过点P分别作两渐近线的垂线,垂足分别为EF,求6ec8aac122bd4f6e的值;

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   (2)过点P的直线与两渐近线分别交于AB两点,且6ec8aac122bd4f6e的面积.

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    ∵两渐近线方程为6ec8aac122bd4f6e                       

    由点到直线的距离公式得

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    6ec8aac122bd4f6e 

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  (II)设两渐近线的夹角为6ec8aac122bd4f6e

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    6ec8aac122bd4f6e

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    6ec8aac122bd4f6e                                         6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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    6ec8aac122bd4f6e                                       

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    6ec8aac122bd4f6e   

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    【例7】如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E分有向线段6ec8aac122bd4f6e所成的比为6ec8aac122bd4f6e,双曲线过CDE三点,且以AB为焦点.求双曲线的离心率.

解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线ABx轴,建立直角坐标系xOy,则CDy轴.

因为双曲线经过点CD,且以AB为焦点,由双曲线的对称性知CD关于y轴对称. 

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依题意,记A(-c,0),C(6ec8aac122bd4f6eh),B(c,0),其中c为双曲线的半焦距,c=6ec8aac122bd4f6e|AB|,h是梯形的高.

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6ec8aac122bd4f6e由定比分点坐标公式,得点E的坐标为

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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设双曲线的方程为6ec8aac122bd4f6e,则离心率6ec8aac122bd4f6e

由点CE在双曲线上,得

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e           

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由①式得6ec8aac122bd4f6e代入②式得6ec8aac122bd4f6e所以,离心率6ec8aac122bd4f6e 

 

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【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

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解:(I)由题意设椭圆的标准方程为6ec8aac122bd4f6e

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由已知得:6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e椭圆的标准方程为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 

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(Ⅱ)设6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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联立6ec8aac122bd4f6e  得6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e

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因为以6ec8aac122bd4f6e为直径的圆过椭圆的右顶点6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 

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解得:6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,且均满足6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e的方程为6ec8aac122bd4f6e,直线过定点6ec8aac122bd4f6e,与已知矛盾;

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6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e的方程为6ec8aac122bd4f6e,直线过定点6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 

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所以,直线6ec8aac122bd4f6e过定点,定点坐标为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 

★★★自我提升

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1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆6ec8aac122bd4f6e+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是(C )

(A)2            (B)6           (C)4         (D)12

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2.如果双曲线的两个焦点分别为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,一条渐近线方程为6ec8aac122bd4f6e,那么它的两条准线间的距离是(  C  )

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A.6ec8aac122bd4f6e        B.6ec8aac122bd4f6e      C.6ec8aac122bd4f6e          D.6ec8aac122bd4f6e

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3.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( B)

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   ( A ) 6ec8aac122bd4f6e           ( B )  6ec8aac122bd4f6e           ( C ) 6ec8aac122bd4f6e            ( D ) 0

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4.双曲线的虚轴长为4,离心率6ec8aac122bd4f6eF1F2分别是它的左,右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(A).

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A、6ec8aac122bd4f6e      B、6ec8aac122bd4f6e    C、6ec8aac122bd4f6e    D、8

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5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-26ec8aac122bd4f6e,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是   6ec8aac122bd4f6e     .

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6.过椭圆左焦点F,倾斜角为60°的直线交椭圆于AB两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为( B )

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(A) 6ec8aac122bd4f6e     (B) 6ec8aac122bd4f6e         (C) 6ec8aac122bd4f6e      (D)6ec8aac122bd4f6e

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7.椭圆6ec8aac122bd4f6e+6ec8aac122bd4f6e=1的离心率e=6ec8aac122bd4f6e,则m=___________m=8或2。

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8. F1F2是椭圆6ec8aac122bd4f6ea>b>0)的两焦点,过F1的弦ABF2组成等腰直角三角形ABF2,其中∠BAF2=900,则椭圆的离心率是________6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e9.已知椭圆E的离心率为e,左、右焦点为F1F2,抛物线CF2为焦点,F1为其顶点,若P为两曲线的公共点,且e|PF2|=|PF1|,则e=__________。6ec8aac122bd4f6e

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10.如图,已知三点A(-7, 0),B(7,0),C(2,-12).

① 若椭圆过A、B两点,且C为其一焦点,

求另一焦点P的轨迹方程;

② 若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一

焦点,求另一焦点Q的轨迹方程。

解析:①由椭圆定义知,|AP|+|AC|=|BP|+|BC|,

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6ec8aac122bd4f6e

故P的轨迹为A(-7,0)、B(7,0)为焦点实轴长为2的双曲线的一支,

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其方程为6ec8aac122bd4f6e

② 经讨论知,无论A在双曲线的哪一支上, 

总有|QA|+|QB|=|AC|+|BC|=28>|AB|=14

故点Q的轨迹为以A(-7,0)、B(7,0)为焦点长轴长为28的椭圆,

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其方程为6ec8aac122bd4f6e

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11.如图,A为椭圆6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1F2.当AC垂直于x轴 时,恰好|AF1|:|AF2=3:1

(I)求该椭圆的离心率;

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6ec8aac122bd4f6e(II)设6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,试判断l1+l2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.

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解:(I)当6ec8aac122bd4f6eC垂直于x轴时,

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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在Rt△6ec8aac122bd4f6e中,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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解得 6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

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(II)由6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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焦点坐标为6ec8aac122bd4f6e则椭圆方程为6ec8aac122bd4f6e

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化简有6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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①若直线AC的斜率存在,则直线AC方程为6ec8aac122bd4f6e

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代入椭圆方程有6ec8aac122bd4f6e

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由韦达定理得:6ec8aac122bd4f6e,∴6ec8aac122bd4f6e

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所以6ec8aac122bd4f6e,同理可得6ec8aac122bd4f6e

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故l1+l2=6ec8aac122bd4f6e

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②若直线6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e轴,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

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 ∴l1+l2=6.

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综上所述:l1+l2是定值6.

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12.已知椭圆6ec8aac122bd4f6e(a>b>0)上两点A、B,直线6ec8aac122bd4f6e上有两点C、D,且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0,求椭圆方程和直线6ec8aac122bd4f6e的方程。

解:圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O'(0,1),半径r=3。

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  设正方形的边长为p,则6ec8aac122bd4f6e,∴6ec8aac122bd4f6e,又O'是正方形ABCD的中心,∴O'到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即6ec8aac122bd4f6e,由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。

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6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e  (1)设AB:y=x-2     由  y=x-2

         CD:y=x+4         x2+y2-2y-8=0

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  得A(3,1)B(0,-2),又点A、B在椭圆6ec8aac122bd4f6e上,∴a2=12,b2=4,椭圆的方程为6ec8aac122bd4f6e

  (2)设AB:y=x+4,同理可得两交点的坐标分别为(0,4),(-3,1)代入椭圆方程得

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6ec8aac122bd4f6e,此时b2>a2(舍去)。

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综上所述,直线6ec8aac122bd4f6e方程为y=x+4,椭圆方程为6ec8aac122bd4f6e

 

 

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