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已知过点
的动直线
与抛物线
相交于
两点．当直线的斜率是
时，
．
（１）求抛物线
的方程；
（２）设线段
的中垂线在
轴上的截距为
，求的取值范围．
【解析】（1）B
,C
，当直线的斜率是时，
的方程为
，即
（1’）
联立
得
，
（3’）
由已知 
,
（4’）
由韦达定理可得
G方程为
（5’）
（2）设：
，BC中点坐标为
（6’）
得
由
得
（8’）
BC中垂线为
（10’）
（11’）
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过抛物线
的对称轴上的定点
，作直线
与抛物线相交于
两点．
（I）试证明两点的纵坐标之积为定值；
（II）若点
是定直线
上的任一点，试探索三条直线
的斜率之间的关系，并给出证明.
【解析】本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．
（1）中证明：设
下证之：设直线AB的方程为: x=ty+m与y2=2px联立得消去x得y2=2pty-2pm=0，由韦达定理得
(2)中：因为三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列，下证之
设点N（-m,n），则直线AN的斜率KAN=
，直线BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．
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已知中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线
的焦点为F1.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到
，又因为
，这样可知得到
。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到
，再利用
可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。
解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为
①………………………………1分
②………………２分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以椭圆E的方程为…………………………4分
(Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分
代入椭圆E方程，得…………………………6分
………………………7分
、
………………8分
………………………9分
……………………………10分
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x1 +x2=4，圆心为（2，1），半径为2，
圆P的方程为（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分
同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，
圆P的方程为（x+2）2+(y+1)2=4
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如图，已知直线
（
）与抛物线
：
和圆
：
都相切，
是的焦点．
（Ⅰ）求
与
的值；
（Ⅱ）设
是上的一动点，以为切点作抛物线的切线
，直线交
轴于点
，以
、
为邻边作平行四边形
，证明：点
在一条定直线上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点所在的定直线为
， 直线与轴交点为
，连接
交抛物线于
、
两点，求△
的面积
的取值范围．
【解析】第一问中利用圆：
的圆心为
，半径
．由题设圆心到直线的距离
．
即
，解得
（
舍去）
设
与抛物线的相切点为
，又
，得
，
．
代入直线方程得：
，∴
所以，
第二问中，由（Ⅰ）知抛物线方程为
，焦点
． ………………（2分）
设
，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为
．
令
，得切线交轴的点坐标为
所以
，
， ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形
∴
因为是定点，所以点在定直线
第三问中，设直线
，代入
得
结合韦达定理得到。
解：（Ⅰ）由已知，圆：
的圆心为，半径．由题设圆心到直线的距离．
即，解得（舍去）． …………………（2分）
设与抛物线的相切点为，又，得，．
代入直线方程得：，∴
所以，．
……（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，焦点． ………………（2分）
设，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为．
令，得切线交轴的点坐标为
所以，， ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形，
∴ 因为是定点，所以点在定直线上．…（2分）
（Ⅲ）设直线，代入得， ……）得
，
…………………………… （2分）
，
．
△的面积范围是
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