10、(2011•南充)如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=;②S△ABC+S△CDE≥S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是( )

   A、1个    B、2个

   C、3个    D、4个

考点:锐角三角函数的定义;等腰三角形的判定与性质;等腰直角三角形;梯形中位线定理。

专题:证明题。

分析:①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知,==;然后由直角三角形中的正切函数,得tan∠AEC=,再由等量代换求得tan∠AEC=

②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab(a=b时取等号)解答;

③、④通过作辅助线MN,构建直角梯形的中位线,根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答.

解答:解:∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,

∴AB=BC,CD=DE,

∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°,

∴∠ACE=90°;

∵△ABC∽△CDE

==

①∴tan∠AEC=

∴tan∠AEC=;故本选项正确;

②∵S△ABC=a2,S△CDE=b2,S梯形ABDE=(a+b)2

∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab,

S△ABC+S△CDE=(a2+b2)≥ab(a=b时取等号),

∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE;故本选项正确;

④过点M作MN垂直于BD,垂足为N.

∵点M是AE的中点,

则MN为梯形中位线,

∴N为中点,

∴△BMD为等腰三角形,

∴BM=DM;故本选项正确;

③又MN=(AB+ED)=(BC+CD),

∴∠BMD=90°,

即BM⊥DM;故本选项正确.

故选D.

点评:本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点.在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.

 0  49339  49347  49353  49357  49363  49365  49369  49375  49377  49383  49389  49393  49395  49399  49405  49407  49413  49417  49419  49423  49425  49429  49431  49433  49434  49435  49437  49438  49439  49441  49443  49447  49449  49453  49455  49459  49465  49467  49473  49477  49479  49483  49489  49495  49497  49503  49507  49509  49515  49519  49525  49533  447348 

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