9、如图，抛物线(a0)与反比例函数的图像相交于点A，B. 已知点A的坐标为(1，4)，点B(t，q)在第三象限内，且△AOB的面积为3(O为坐标原点).

(1)求反比例函数的解析式

(2)用含t的代数式表示直线AB的解析式；

(3)求抛物线的解析式；

(4)过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，把△AOB绕点O逆时针旋转90º，请在图②中画出旋转后的三角形，并直接写出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

解：(1)因为点A(1，4)在双曲线上，

所以k=4. 故双曲线的函数表达式为. 　……………………………………… 1分

(2)设点B(t，)，，AB所在直线的函数表达式为，则有

　　 解得，.

直线AB的解析式为y= - x+　　 　………………………………………… 3分

(3)直线AB与y轴的交点坐标为，故

，整理得，

解得，或t＝(舍去)．所以点B的坐标为(，)．

因为点A，B都在抛物线(a0)上，所以 解得　 　　　　　　　　　　　

所以抛物线的解析式为y=x²+3x　 　……………… 4分

(4)画出图形………………………………………………2分

点的坐标是(8，)，或(2，)……………… 2分

8、如图1，在中，，，，另有一等腰梯形()的底边与重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．

(1)直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；

(2)操作：固定，将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止．设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为(如图2)．

①探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．

②探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．

解：(1)△AGF与△ABC的面积比是1：4．　 (3分)

(2)①能为菱形．　 (1分)

由于FC∥，CE∥，

四边形是平行四边形．　 　(1分)

当时，四边形为菱形，( 1分)

此时可求得．

当秒时，四边形为　 　(1分)

②分两种情况：

①当时，

如图3过点作于．

，，，为中点，

．

又分别为的中点，

．　 ( 1分)

等腰梯形的面积为6．

，．

重叠部分的面积为：．　　 ( 1分)

当时，与的函数关系式为． 　( 1分)

②当时，

设与交于点，则．，_，

作于，则． ( 1分)

重叠部分的面积为：

．

综上，当时，与的函数关系式为_；当时， 　( 1分)

7、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．

(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

(2)设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；

(3)在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

(4)将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

解：(1)设抛物线解析式为，

把代入得．……………1分

，顶点……………2分

(2)G(4,8),　 G(8,8), 　G(4,4) ……………3分

(3)假设满足条件的点存在，依题意设，

由求得直线的解析式为…………1分

它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．

则，点到的距离为．

又．．

平方并整理得：，．……………1分

存在满足条件的点，的坐标为．……………1分

(4)由上求得．

抛物线向上平移，可设解析式为．

当时，．

当时，．或．……………1分

．

∴向上最多可平移72个单位长。……………2分

6、如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒.

(1)当点P在线段AO上运动时.

①请用含x的代数式表示OP的长度；

②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.

解：(1)①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD

　　 ∵AB=2　 ∴OB=OD=1，OA=OC=

　　 ∴OP= 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………2分

　　 ②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线

　　 ∴　 ∵DQ=x 　　　 ∴BQ=2-x

　　 ∴　　　　　　　　 …………………………1分

　　　 　　　　　　　　　　　…………………………1分

∴　　　 …………………………2分

(2)能成为梯形，分三种情况：

　　 当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°

　　　　 ∴

　　　　 即　 ∴x=

此时PB不平行QE，

∴x=时，四边形PBEQ为梯形.　　 　　　　　　 ………………………2分

当PE∥BQ时，P为OC中点

　　　　 ∴AP=，即

　　　　 ∴

此时，BQ=2-x=≠PE，

∴x=时，四边形PEQB为梯形.　　　　　 　　　　　　　　　…………………2分

当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO

　　 ∴　　 ∴

　　 ∴x=1(x=0舍去)

　　 此时，BQ不平行于PE，

∴x=1时，四边形PEQB为梯形.　　 　　　　　　　 ………………………………2分

综上所述，当x=或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.　

5、如图，抛物线交轴于A、B两点(A点在B点左侧)，交轴于点C，已知B(8，0)，，△ABC的面积为8.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若动直线EF(EF∥轴)从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿轴负方向平移，且交轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动。连结FP，设运动时间秒。当为何值时，的值最大，并求出最大值；

(3)在满足(2)的条件下，是否存在的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。

解：(1)由题意知 ∠COB = 90°B(8，0)　 OB=8 在Rt△OBC中tan∠ABC = 　

OC= OB×tan∠ABC = 8×=4 ∴C(0,4)　

　　 　　∴AB = 4　 A(4,0)

把A、B、C三点的坐标带入得 解得 　

所以抛物线的解析式为。

(2)C ( 0, 4 )　 B ( 8, 0 )　 E ( 0, 4-t ) ( t > 0)

　OC = 4　 OB = 8　 CE = t　 BP=2t　 OP =8-2t　

∵EF // OB ∴△CEF -△COB

∴　 则有 　　得 EF = 2t

　=

　 当t=2时 有最大值2.

(3)存在符合条件的t值，使△PBF与△ABC相似。

C ( 0, 4 )　 B ( 8, 0 )　 E ( 0, 4-t )　 F(2t , 4 - t ) 　P ( 8-2t , 0 )

　( t > 0)

　 　AB = 4　 　BP=2t　 BF =

　∵ OC = 4　 OB = 8 　∴BC = 　

①当点P与A、F与C对应　 则，代入得 　　解得 　

②当点P与C、F与A对应　 则，代入得　 解得 (不合题意，舍去)

综上所述：符合条件的和。

4、如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为,。直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：

(1)分别写出A、C、D、P的坐标；

(2)当t为何值时，△ANO与△DMR相似？

(3)△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的

四边形是梯形时t的值及S的最大值。

解：解：(1) C(4，1)、D(3，4)、P(2，2)

…………………………………3分

(2)当∠MDR＝45⁰时，t＝2,点H(2，0)　 ……………2分

当∠DRM＝45⁰时，t＝3,点H(3，0)　 ……………2分

(3)S＝－t²+2t(0＜t≤4) ………　 1分

S＝t²－2t(t＞4) ………　 1分

当CR∥AB时，t＝，　 S＝　　 ………　 1分

当AR∥BC时，t＝，　 S＝　　 ………　 1分

当BR∥AC时，t＝，　 S＝　 　………　 1分

3、如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q。

　 (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

　 (2)判断⊿BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；

　 (3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由。

解：(1)B(-1,0) E(0,4) C(4，0)　 设解析式是

可得 　　解得　 (2分)　 ∴(1分)

(2)⊿BDC是直角三角形　　　　 (1分)

∵BD²=BO²+DO²=5 , DC²=DO²+CO²=20 ,BC²=(BO+CO)²=25

∴BD²+ DC²= BC²　　　　　　　　　 (1分)

　∴⊿BDC是Rt⊿

点A坐标是(-2,0)，点D坐标是(0,2)直线AD的解析式是 (1分)

设点P坐标是(x，x+2)

当OP=OC时 x²+(x+2)²=16 解得 (不符合，舍去)此时点P()

当PC=OC时 方程无解

当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，∴点P横坐标是2， 得点P坐标是(2,4)

∴当⊿POC是等腰三角形时，点P坐标是()或(2,4) (2分)

(1)　　　 点M坐标是()N坐标是()∴MN=

设点P 为(x，x+2)Q(x,-x²+3x+4),则PQ=

①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x₁=0.5 x₂=1.5

当x₂=1.5时，点P与点M重合；当x₁=0.5时，可求得PM=，所以菱形不存在(2分)

②能成为等腰梯形，此时点P的坐标是(2.5,4.5)(2分)

2、如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=，直线y=经过点C，交y轴于点G。

(1)点C、D的坐标分别是C(　　　　 )，D(　　　　 )；

(2)求顶点在直线y=上且经过点C、D的抛物

线的解析式；

(3)将(2)中的抛物线沿直线y=平移，平移后　　

的抛物线交y轴于点F，顶点为点E(顶点在y轴右侧)。

平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG为等腰三角形？

若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说

明理由。

解：(1)　

　　　 ∴设抛物线解析式为，把点代入得，

　　 (3)设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则

　　　　 ①当FG=EG时，FG=EG=2m，代入解析式得：

，得m=0(舍去)，，

　　　　　 ②当GE=EF时，FG=4m，代入解析式得：

，得m=0(舍去)，，

③当FG=FE时，不存在；

1、如图，抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；　　　　　　

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交　　　　

抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，

　使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是

平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F

点坐标；如果不存在，请说明理由．

解：(1)令y=0，解得或

∴A(-1，0)B(3，0)；　　　　 (2分)

将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C(2，-3)(1分)

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 　　　　(1分)

(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)(注：x的范围不写不扣分)

则P、E的坐标分别为：P(x，-x-1)，

　 E(

∵P点在E点的上方，PE=　　 (2分)

=－(x－1/2)²+9/4　　　　 (1分)

∴当时，PE的最大值=　　　　 (1分)

(3) 存在4个这样的点F，分别是

F₁(1，0)　 F₂(-3，0)　 F₃(+4 ，0)　 F₄(-+4 ，0)(共4分，对1个得1分)

3、如图，已知⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F。

(1)求证：BC是⊙P的切线；

(2)若CD＝2，CB＝，求EF的长；

(3)若设＝PE∶CE，是否存在实数，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。