29、(2011•苏州)巳知二次函数y=a(x2﹣6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.

(1)如图①.连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上,求实数a的值;

(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的 右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 (即这四条线段不能构成平行四边形).“若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;

(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标l是大于3的常数,试问:是否存在一个正数阿a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 (即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.

考点:二次函数综合题。

分析:(1)本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴,再根据∠OAC=60°得出AO,从而求出a.

(2)本题需先分两种情况进行讨论,当P是EF上任意一点时,可得PC>PB,从而得出PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.

(3)本题需先得出PA=PB,再由PC=PD,列出关于t与a的方程,从而得出a的值,即可求出答案.

解答:解:(1)令y=0,由a(x2﹣6x+8)=0,

解得x1=2,x2=4;

令x=0,解得y=8a,

∴点 A、B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a),

该抛物线对称轴为直线x=3,

∴OA=2,

如图①,设抛物线对称轴与x轴的交点为M,则AM=1,

由题意得:O′A=OA=2,

∴O′A=2AM,

∴∠O′AM=60°,

∴∠OAC=∠O′AC60°,

,AO=2

即8a=2

∴a=

(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点,结论同样成立,

①如图②,设P是边EF上的任意一点(不与点E重合),连接PM,

∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上,点C在y轴上,

∴PB<4,PC≥4,

∴PC>PB,

又PD>PM>PB,PA>PM>PB,

∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形,

②设P是边FG上的任意一点(不与点G重合),

∵点F的坐标是(4,3),点G的坐标是(5,3),

∴FG=3,GB=

∴3≤PB

∵PC≥4,

∴PC>PB,

又PD>PM>PB,PA>PM>PB,

∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,

∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形;

(3)存在一个正数a,使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形,

如图③,∵点A、B是抛物线与x轴交点,点P在抛物线对称轴上,

∴PA=PB,

∴当PC=PD时,线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形,

∵点C的坐标是(0,8a),点D的坐标是(3,﹣a),

点P的坐标是(3,t),

∴PC2=32+(t﹣8a)2,PD2=(t+a)2

由PC=PD得PC2=PD2

∴32+(t﹣8a)2=(t+a)2

整理得:7a2﹣2ta+1=0有两个不相等的实数根a==

显然a=满足题意

当t是一个大于3的常数时,存在一个正数a=,使得线段PA、旁边、PC、PD能构成一个平行四边形.

点评:本题主要考查了二次函数的综合问题,在解题时要注意运用数形结合和分类讨论,把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键.

 0  49362  49370  49376  49380  49386  49388  49392  49398  49400  49406  49412  49416  49418  49422  49428  49430  49436  49440  49442  49446  49448  49452  49454  49456  49457  49458  49460  49461  49462  49464  49466  49470  49472  49476  49478  49482  49488  49490  49496  49500  49502  49506  49512  49518  49520  49526  49530  49532  49538  49542  49548  49556  447348 

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