1.在直角三角形中，斜边和一直角边的比是5∶3，最小角为α，则sinα=_______________,cosα=_________________,tanα=__________________.

答案：　 　

提示：假如两边长分别为5、3,则另一边为4,且3所对的角最小,由此可得答案.

12.(1)如图7-37(1),则∠O、∠1、∠2、∠P满足怎样的关系?说明你的结论.

图7-37

(2)如果将图中的点O拉向远离P的方向,如图7-37(2),此时∠O、∠1、∠2、∠P的关系是否仍满足(1)的结论?若不满足,请写出你认为正确的结论,并加以说明.

答案：(1)∠O=∠1+∠2+∠P.如图,延长AO交PB于M,则∠AMB=∠P+∠1(外角定义).

∵∠AOB=∠AMB+∠2(外角定义),

∴∠AOB=∠1+∠2+∠P(等式性质).

(2)不满足上题结论,此时∠1+∠2=∠APB+∠D.

证明：连结OP.

∵∠1=∠APO+∠AOP,∠2=∠BPO+∠BOP(外角定义),

∴∠1+∠2=∠APB+∠AOB(等式性质).

11.我们知道“在三角形每一顶点处各取一个外角,它们的和就是这个三角形的外角和”.如图7-36,完成下列问题.

图7-36

(1)你能求出三角形的外角和等于多少吗?证明你的结论.

(2)如果将三角形三条边都向两边延长,并在每两条延长线上任取两点连结起来,那么在原三角形外又得到三个新三角形,如图所示,猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少?

(3)请用(1)的结论证明(2)的猜想.

(4)对于(2)的证明你还有其他的方法吗?请写出来与同伴交流.

答案：(1)三角形外角和等于360°.

已知：如图△ABC，∠4，∠5，∠6是外角.

求证：∠4+∠5+∠6=360°.

证明：∵∠4是外角,∴∠2+∠3=∠4.

同理，∠1+∠3=∠5，∠2+∠1=∠6,

∴∠4+∠5+∠6=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠2+∠1)=2(∠1+∠2+∠3).

∵∠1+∠2+∠3=180°,

∴∠4+∠5+∠6=2×180°=360°.

(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

(3)∵∠4是△ABN的外角(已知),

∴∠A+∠B=∠4(三角形任一外角等于与其不相邻的两内角和).

同理，∠C+∠D=∠5，∠E+∠F=∠6,

∴∠4+∠5+∠6=(∠A+∠B)+(∠C+∠D)+(∠E+∠F).

由(1)得∠4+∠5+∠6=360°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°(等量代换).

(4)∵∠A+∠B+∠ANB=180°,∠C+∠D+∠CHD=180°,∠E+∠F+∠EMF=180°,

∴∠A+∠B+∠ANB+∠C+∠D+∠CHD+∠E+∠F+∠EMF=180°×3=540°.

∵∠ANB=∠HNM,∠CHD=∠MHN,∠EMF=∠HMN,∠HNM+∠MHN+∠HMN=180°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

10.如图7-35,

图7-35

(1)∠ACD=110°,∠A=35°,求∠1的度数.

(2)求证:∠1>∠AEF.

(3)请添加一个条件(至少写出三种以上,图中不再添加辅助线和字母),可使得∠1=∠AED,并选择其中一种加以证明.

答案：(1)∠1=105°.

(2)∵在△FBE中，∠1是外角，

∴∠1>∠BFE.在△AFE中，∠BFE是外角,

∴∠BFE>∠AEF.∴∠1>∠AEF.

(3)可添加∠AEF=∠ABC(∠AFD=∠ECD或∠BFD=∠ACB等).

∵∠AED+∠AEF=180°，∠1+∠ABC=180°，

∴∠AED=180°-∠AEF，∠1=180°-∠ABC.

∵∠AEF=∠ABC，∴∠1=∠AED(答案不唯一).

9.如图7-34,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED内部时,则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变,这一规律是

图7-34

A.∠A=∠1+∠2　　　　　　　　　　　 　　B.2∠A=∠1+∠2

C.3∠A=2∠1+∠2　　　　　　　　　　　　 D.3∠A=2(∠1+∠2)

答案：B

8.如图7-33,将一长方形纸片一角斜折,使点A落在A′处,折痕为EF,EH平分∠A′EB,则∠FEH的度数为

A.60°　　　　　　　 B.75°　　　　　　　 C.90°　　　　　　　 D.95°

图7-33

答案：C

提示：EF、EH是角平分线.

7.已知∠α=80°,∠β的两边与∠α的两边分别垂直,则∠β为

A.80°　　　　　　　 B.10°　　　　　　　 C.100°　　　　　　　 D.80°或100°

答案：D

提示：相等或互补.

6.三角形两外角平分线的夹角为45°,此三角形一定为(　　 )三角形.

A.锐角　　　　　　　 B.直角　　　　　　　 C.钝角　　　　　　　 D.无法确定

答案：B

5.如图7-32,一台起重机在工作时,前后两次吊杆与线绳的夹角分别为30°和75°,则吊杆前后两次的夹角为___________________.

图7-32

答案：45°

提示：两直线平行，同位角相等.

4.如图7-31,∠BAD=∠CBE=∠ACF,∠FDE=64°,∠DEF=48°,则△ABC的各内角的度数分别是________________.

图7-31

答案：∠ABC=64°,∠ACB=48°,∠BAC=68°

提示：三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和.