8.如图8-54,已知在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.

图8-54

(1)求四边形AQMP的周长;

(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);

(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?说明你的理由.

(1)答案：2a.

提示：根据平行的性质可以得到平行四边形和两个等腰三角形，由对边和腰相等，四边形的周长等于△ABC的两腰之和.

∵PM∥AB，QM∥AC,

∴四边形AQMP为平行四边形，

且∠1=∠C，∠2=∠B.

又∵AB=AC=a,

∴∠B=∠C.

∴∠1=∠B=∠C=∠2.

∴QB=QM，PM=PC.

∴四边形AQMP的周长为

AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a.

(2)答案：△BQM∽△MPC∽△BAC.

(3)答案：当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.

提示：四边形AQMP已是平行四边形，要使之为菱形，则需有一组邻边相等.

理由：∵M为底边BC的中点,

∴BM=CM.

由(1)知∠B=∠C，∠1=∠2,

∴△BQM≌△CMP.

∴PM=QM.

由(1)四边形AQMP为平行四边形,

∴四边形AQMP为菱形.

7.如图8-53,在四边形ABCD中,∠ADC=∠B=90°,DE⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用割补(旋转图形)的方法求四边形ABCD的面积.

图8-53

答案：S=25.

提示：如图,把△ADE绕点D逆时针旋转90°后，得到的图形为边长是5的正方形，面积为25.

6.如图8-52,△ABC是等边三角形,P是△ABC内一点,PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点F,PD∥BC交AC于点D.已知△ABC的周长是12 cm,则PD+PE+PF=______________ cm.

图8-52

答案：4

提示：延长FP，交AC于M，可得到平行四边形AMPE和等边三角形MPD，所以三条线段的和为等边三角形的边长,即PE=AM，PD=MD，PF=CD，所以PD+PE+PF==4.

5.如图8-51,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是________________.

图8-51

答案：7.5

提示：如图，平移对角线形成直角三角形，且AC=12，BD=9，根据勾股定理，求BE=15，即上下底的和为15，又因为中位线长为上下底和的一半，所以为7.5.

4.(2010四川遂宁中考)如图8-50，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_______________.

图8-50

答案：30

提示：利用折叠前后相等线段和勾股定理,AB=DB,又∵∠C=90°,可求出DC=7.

过D作DF⊥AB,垂足为F,利用勾股定理可求AD===30.

3.如图8-49,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于________________.

图8-49

答案：30°

提示：使其面积为矩形面积的一半，由于两个四边形的底相等，所以平行四边形的高为矩形宽的一半，即高为CD的一半，在直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则它所对的锐角为30°.

2.如图8-48,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是________________.

图8-48

答案：2.5

提示：易证四边形AEPF也是菱形，△PEF与△AEP同底等高，所以，S_△PEF=S_△AEP，S_阴影=S_△ABC=菱形面积的一半，菱形面积=对角线乘积的一半==5，所以S_阴影=2.5.

1.如图8-47,在△ABC中,AD⊥BC于D,E、F分别是AB、AC的中点,当△ABC满足条件__________时,AEDF是菱形.

图8-47

答案：AB=AC

提示：如果是等腰三角形，AD⊥BC于D，依据等腰三角形三线合一，则D为中点，又E、F分别是AB、AC的中点，所以DE∥AC，DF∥AB.四边形是平行四边形且有一组邻边相等，所以为菱形，因此添加AB=AC.

11.图7-28是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图,对我方潜艇来说.

图7-28

(1)北偏东40°的方向上约有哪些目标?要确定敌舰B的位置,还需要什么数据?

(2)距我方潜艇图上距离1 cm处的敌舰有哪几艘?

(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?

(4)在图中北偏西30°的方向上,距我方潜艇1.5 cm处有一艘渔船,请在图中找到它的位置.

(5)如果你们分别是我方战舰1、2号上的作战参谋,请确定敌战舰的位置.

答案：(1)2a-8<0,2-a<0,a=3关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反,点P到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，P到y轴的距离是其横坐标的绝对值,北偏东40°的方向上有小岛、敌方战舰B.要确定敌舰B的位置，还需要与我方潜艇的距离;

(2)距我方潜艇图上距离1 cm处的敌舰有敌方战舰B、敌方战舰A;

(3)要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据;

(4)略;

(5)敌方战舰B在我方潜艇北偏东40°方向上距离1 cm，敌方战舰C在我方潜艇南偏东75°方向上距离0.6 cm，敌方战舰A在我方潜艇正南40°方向上距离1 cm.

5.(3,3).

答案：略.