10.(2010年武汉市中考拟)图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合)。

(1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2);

探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论。

(2)操作:将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3);

请问:经过多少时间,△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于­

(3)操作:图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠AC C′=α(30°<α<90,图4);

探究:在图4中,线段CN·EM的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出CN·EM的值,如果有变化,请你说明理由。

答案:解:(1)BE=AD

证明:∵△ABC与△DCE是等边三角形

∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB,CE=CD

∴∠BCE=∠ACD  ∴△BCE≌△ACD  

∴ BE=AD(也可用旋转方法证明BE=AD)

(2)设经过x秒重叠部分的面积是,如图在△CQT中

∵∠TCQ=30° ∠RQP=60°

∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ  ∴QT=QC=x∴ RT=3-x

∵∠RTS+∠R=90°   ∴∠RST=90°

由已知得×32 -(3-x)2=

x=1,x=5,因为0≤x≤3,所以x=1

答:经过1秒重叠部分的面积是

(3)C′N·E′M的值不变

证明:∵∠ACB=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120°

∵∠CNC′+∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′

∵∠E′=∠C′  ∴△E′MC∽△C′CN

  ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=

 0  48728  48736  48742  48746  48752  48754  48758  48764  48766  48772  48778  48782  48784  48788  48794  48796  48802  48806  48808  48812  48814  48818  48820  48822  48823  48824  48826  48827  48828  48830  48832  48836  48838  48842  48844  48848  48854  48856  48862  48866  48868  48872  48878  48884  48886  48892  48896  48898  48904  48908  48914  48922  447348 

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