3、垂线的性质

(1)过一点有且只有　　 条直线与已知直线垂直。

(2)直线外一点到直线上的点的距离中，　　 线段最短。

2、相交线与平行线

(1)同一平面内两条直线的位置关系：　　　 、　　　 。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的　　　　　　 的长度。

(2)对顶角的性质：对顶角　　　　 。

　 如右图，　　 与　　 是对顶角

(3)过直线外一点，有且仅有　　 条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相　　　 。

即a∥b, a∥c,则　　　　　

(4)　　 平行线的性质(特征)

两直线　　　　 ，同位角　　　　 。

两直线　　　　 ，内错角　　　　 。

两直线　　　　 ，同旁内角　　　 。

(5)平行线的判定(识别)

同位角　　　　 ，两直线　　　　 。

内错角　　　　 ，两直线　　　　 。

同旁内角　　　 ，两直线　　　　 。

1、线段与角

(1)右图，线段有　　　　　　

直线有　　　　　　　　　　　　　

射线有　　　　　　　　　　　　　 　(写两条)

(2)直线公理：经过　　 点有且仅有一条直线。

(3)线段公理：两点之间　　　　 最短。

(4)余角：∠1和∠2互余，则∠1+∠2=　　　

余角的性质：　　 角或　　 角的余角相等。

，则　　　 =　　　

(5)补角：∠1和∠2互补，则∠1+∠2=　　　

补角的性质： 　　　角或　　 角的补角相等。

，则　　　 =　　　

(6)直角等于　　　 度，平角等于　　　 度，周角等于　　 度。

12、(2007甘肃白银等)如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC(或其延长线)的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．

在图(1)中， 点P是边BC的中点，此时h₃=0，可得结论：．

在图(2)--(5)中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．

(1)请探究：图(2)--(5)中， h₁、h₂、h₃、h之间的关系；(直接写出结论)

(2)证明图(2)所得结论；

(3)证明图(4)所得结论．

(4) (附加题2分)在图(6)中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60^o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：　　　　　　　　　 ；图(4)与图(6)中的等式有何关系？

解：(1)图②-⑤ 中的关系依次是：

h₁+h₂+h₃=h； h₁-h₂+h₃=h； h₁+h₂+h₃=h； h₁+h₂-h₃=h．　　

(2)图②中，h₁+h₂+h₃=h．

证法一： ∵ h₁=BPsin60^o，h₂=PCsin60^o，h₃=0， 　　　　

∴ h₁+h₂+h₃=BPsin60^o+PCsin60^o

=BCsin60^o=ACsin60^o=h．　

证法二：连结AP， 则S_ΔAPB+S_ΔAPC=S_ΔABC．　　

∴ ．　

又 h₃=0，AB=AC=BC， ∴ h₁+h₂+h₃==h．　

　 (3)证明：图④中，h₁+h₂+h₃=h．

过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．

　　　　 在△ARS中，由图②中结论知：h₁+h₂+0=h-h₃．

∴ h₁+h₂+h₃=h．

说明：(2)与(3)问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分．

　 (4)h₁+h₃+h₄= ． 　

让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．　

11、(2007山东青岛)已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移

动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两

点停止运动．设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

(2)设四边形APQC的面积为y(cm²)，求y与t的

关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

(3)设PQ的长为x(cm)，试确定y与x之间的关系式．

解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．

△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，

∴BP＝(3－t ) cm．

△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，

若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．

当∠BQP＝90°时，BQ＝BP．

即t＝(3－t )，t＝1 (秒)．

当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ．3－t＝t，t＝2 (秒)．

答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． 　

⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝，

∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t )．∴S_△PBQ＝BQ·PM＝· t ·(3－t )．

∴y＝S_△ABC－S_△PBQ＝×3²×－· t ·(3－t )＝．

∴y与t的关系式为： y＝． 　

假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，

则S_{四边形APQC}＝S_△ABC ．∴＝××3²×．

∴t ²－3 t+3＝0．∵(－3) ²－4×1×3＜0，∴方程无解．

∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8′

⑶ 在Rt△PQM中，MQ＝＝．

MQ ²+PM ²＝PQ ²．∴x²＝[(1－t ) ]²+[(3－t ) ]²

＝＝＝3t²－9t+9．　　　　

∴t²－3t＝．∵y＝，

∴y＝＝＝．

∴y与x的关系式为：y＝．　

10、(2007四川乐山)如图(13)，在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时(点与不重合)，一直角边经过点，另一直角边交于点．我们知道，结论“”成立．

(1)当时，求的长；

(2)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

我选做的是_____________________．

解(1)在中，由，

得

， 由知

，．

(2)假设存在满足条件的点，设，则

由知，，解得，

此时，符合题意．

9、(2007重庆)已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90⁰，AB＝10，D为△ABC外一点，边结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E。

(1)若△ABD是等边三角形，求DE的长；

(2)若BD＝AB，且，求DE的长。

解：(1)∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60⁰，AD＝AB＝10

　 ∵DH⊥AB　 ∴AH＝AB＝5，　　 ∴DH＝

　　 　∵△ABC是等腰直角三角形　　 ∴∠CAB＝45⁰

∴∠AEH＝45⁰　 ∴EH＝AH＝5，∴DE＝DH－EH＝

(2)∵DH⊥AB且，　　 ∴可设BH＝，则DH＝，DB＝

　　 ∵BD＝AB＝10　　 ∴　 解得：

　　 ∴DH＝8，BH＝6，AH＝4

　 又∵EH＝AH＝4，　　 ∴DE＝DH－EH＝4

8、(2007四川乐山)如图(11)，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．

(1)求证：；

(2)求的度数．

(1)证明：是等边三角形，

，

又

，················································································· 4分

．······································································································· 5分

(2)解由(1)，

得······························································································· 6分

······················································································ 9分

7、(2007浙江杭州)如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面4个结论：

①射线是的角平分线；

②是等腰三角形；

③∽；

④≌。

(1)判断其中正确的结论是哪几个？

(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明。

(1)正确的结论是①、②、③；(2)证明略。

6、(2007南充)如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

解：AD是△ABC的中线．　　　　 理由如下：在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∵　BE＝CF，∠BDE＝∠CDF， ∴　Rt△BDE≌Rt△CDF．　　　　 ∴　BD＝CD．　　　　　　 故AD是△ABC的中线．