摘要：已知:如图.△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P.Q同时从A.B两点出发.分别沿AB.BC方向匀速移 动.它们的速度都是1cm/s.当点P到达点B时.P.Q两 点停止运动．设点P的运动时间为t(s).解答下列问题: (1)当t为何值时.△PBQ是直角三角形? (2)设四边形APQC的面积为y(cm2).求y与t的 关系式,是否存在某一时刻t.使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在.求出相应的t值,不存在.说明理由, .试确定y与x之间的关系式． 解:⑴ 根据题意:AP＝t cm.BQ＝t cm． △ABC中.AB＝BC＝3cm.∠B＝60°. ∴BP＝ cm． △PBQ中.BP＝3-t.BQ＝t. 若△PBQ是直角三角形.则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 当∠BQP＝90°时.BQ＝BP． 即t＝． 当∠BPQ＝90°时.BP＝BQ．3-t＝t.t＝2 (秒)． 答:当t＝1秒或t＝2秒时.△PBQ是直角三角形． ⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中.sin∠B＝. ∴PM＝PB·sin∠B＝．∴S△PBQ＝BQ·PM＝· t ·． ∴y＝S△ABC-S△PBQ＝×32×-· t ·＝． ∴y与t的关系式为: y＝． 假设存在某一时刻t.使得四边形APQC的面积是△ABC面积的. 则S四边形APQC＝S△ABC ．∴＝××32×． ∴t 2-3 t+3＝0．∵(-3) 2-4×1×3＜0.∴方程无解． ∴无论t取何值.四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．--8′ ⑶ 在Rt△PQM中.MQ＝＝． MQ 2+PM 2＝PQ 2．∴x2＝[ ]2+[ ]2 ＝＝＝3t2-9t+9． ∴t2-3t＝．∵y＝. ∴y＝＝＝． ∴y与x的关系式为:y＝．

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