5．若x，y是正数，则的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　　　 D．

解：≥2(x+)(y+)≥8=4当且仅当,得x=y=时等号成立,选(C)

4．已知A(3，1)，B(6，1)，C(4，3)，D为线段BC的中点，则向量与的夹角为　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　 B．　　　　　 C．　　　 D．－

解：∵D(5,2),,

∴cos(180°-∠DAC)=,∴∴∠DAC=,即向量与的夹角为,选(C)

3．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．D．(－2，2)

解：∵函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且,∴f(-2)=0, 在上的x的取值范围是,又由对称性,∴在R上fx)<0仰x的取值范围为(-2,2),选(D)

2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．－　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．－

解：∵=-i,∴(-i)²⁰⁰⁵=,选(A)

1．圆关于原点(0，0)对称的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

解：∵圆的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆关于原点对称的圆为(x-2)²+y²=5,选(A).

20．已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

解：解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x_qλ,y_q关于原点的对称点(x,y),

则即∵点Qx_q,y_q)在函数f(x)的图象上,

∴-y=-x²+2x.,故g(x)=-x²+2x

(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x²-|x-1|≤0,当x≥1时,2x²-x+1≤0,此时不等式无解,

当x<1时,2x²+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1,]

(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1

①　　 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1

②　　 当λ≠-1时,对称轴的方程为x=.

(i)　　　　　　　　 当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1.

(ii)　　　　　　　 当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0.

综上,λ≤0

19．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F₁PF₂最大值．

解：(Ⅰ)设椭圆的方程为(a>0,b>0),半焦距为c,则|MA₁|=,|A₁F₁|=a-c 由题意,得∴a=2,b=,c=1.

故椭圆的方程为

(Ⅱ)设P(-4,y₀),y₀≠0,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

设直线PF₁的斜率k₁=,直线PF₂的斜率k₂=,

∵0<∠F₁PF₂<∠PF₁M<,∴∠F₁PF₂为锐角.

∴tan∠F₁PF₂=

当且仅当,即|y₀|=时,tan∠F₁PF₂取到最大值此时∠F₁PF₂最大,∴

∠F₁PF₂的最大值为arctan.

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

　 (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

　 (Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小．

解：解法一

(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA与平面PBC所成角为arcsin

解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).

B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,

∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

∴cos.

设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos()|=.

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.

17．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

　 (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．

　 (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．　

解：(Ⅰ)(i)

(ii)

(iii)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,

由,得p=.

16．已知实数成等差数列，成等比数列，且，求．

解：

由(1)(2)两式,解得b=5,将c=10-a代入(3),整理得a²-13a+22=0,解得a=2或a=11.

故a=2,b=5,c=11或a=11,b=5,c=-1.经验算,上述两组数符合题意.