22．如图.设抛物线的焦点为F.动点P在直线上运动.过P作抛物线C的两条切线PA.PB.且与抛物线C分别相切于A.B两点. (1)求△APB的重心G的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.——青夏教育精英家教网—

22．(本小题满分14分)

如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(1)求△APB的重心G的轨迹方程.

(2)证明∠PFA=∠PFB.

[思路点拨]本题涉及解析几何中直线与抛物线的若干知识.

[正确解答](1)设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

　切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

　 (2)方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.

[解后反思]解析几何主要的是点和曲线的位置关系、对称性，标准方程当中系数对位置的影响.圆锥曲线的定义和几何性质,解析几何的解答题往往是高档题，常常涉及的内容是求轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置关系、对称、最值、范围.做这类题目一定要认真细心,提高自己的运算能力和思维能力.

21．(本小题满分12分)

已知数列

(1)证明

(2)求数列的通项公式a_n.

[思路点拨]本题考查数列的基础知识，考查运算能力和推理能力.第(1)问是证明递推关系，联想到用数学归纳法，第(2)问是计算题，也必须通过递推关系进行分析求解.

[正确解答](1)方法一用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

　 ∴，命题正确.

2°假设n=k时有

　则

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

　　 1°当n=1时，∴；

　　 2°假设n=k时有成立，

　　　令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时　成立，所以对一切

　 (2)下面来求数列的通项：所以

又b_n=－1，所以.

[解后反思]数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,考纲规定学生必须理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.当然数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的最后压轴大题,解决此类问题,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用数学归纳法也是比较好的选择,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法的步骤.

20．(本小题满分12分)

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

　 (1)证明：D₁E⊥A₁D；

　 (2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

　 (3)AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为.

[思路点拨]本题涉及立体几何线面关系的有关知识,

[正确解答]解法(一)

(1)证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

(2)设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

(3)过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

　 ∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法(二)：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)C(0，2，0)

(1)

(2)因为E为AB的中点，则E(1，1，0)，从而，

，设平面ACD₁的法向量为，则

也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

(3)设平面D₁EC的法向量

，∴

由　令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为.

[解后反思]立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.

19．(本小题满分12分)

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

(1)求的取值范围；

(2)求的数学期望E.

[思路点拨]本题考查涉及概率等若干知识，理解的含义是解决本题的关键.

[正确解答](1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，

可得：

(2)

[解后反思]要想做对此类问题,要具备两个条件,首先要理解题目所涉及的知识,本题有一定的抽象性,如果你不理解题目,你就无从下手,第二要记牢这一类题目的做题步骤,做此类型题目,有时候步骤很重要的,严格按照书中例题的步骤完成是得到正确答案的保证.

18．(本小题满分12分)

已知向量.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

[思路点拨]本题主要考查向量与三角,导数的综合题,正确化简f(x)是解该题的关健.

[正确解答]

[解后反思]本题是一道简单三角函数题,不过我们仍然在本题的解决过程中,发现这样一个问题,化简在解决数学过程中的重要地位,本题只要化简到位,那么在解决的过程会大大缩短,一切都变的简单起来,所以在解三角函数问题或其他的数学问题,能化简的,要尽量先化简.

17．(本小题满分12分)

已知函数(a，b为常数)且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x₁=3, x₂=4.

　 (1)求函数f(x)的解析式；

　 (2)设k>1，解关于x的不等式；

[思路点拨]本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法.

[正确解答](1)将得

(2)不等式即为

即

①当

②当

③.

[解后反思]解不等式的过程实质上就是转化的过程,分式不等式转化成整式不等式,解分式不等式一般情况下是移项,通分,然后转化成整式不等式,对于高次不等式,借助数轴法,则简单,快捷,另外,

16．以下同个关于圆锥曲线的命题中

　　　 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

　　　 ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

　　　 ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

　　　 ④双曲线有相同的焦点.

　　　其中真命题的序号为　　　　　　　　 (写出所有真命题的序号)

[思路点拨]本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e的关系求得

[正确解答]双曲线的第一定义是:平面上的动点P到两定点是A,B之间的距离的差的绝对值为常数2a,且,那么P点的轨迹为双曲线,故①错，

由,得P为弦AB的中点,故②错，

设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对，

的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.

[解后反思]要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e的相互关系.

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

AB=BC=，BB₁=2，，

E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，沿棱柱的表面从E

到F两点的最短路径的长度为　　　　　　　 .

[思路点拨]本题主要考查空间距离转化为平面距离.

[正确解答]分别延将E、F展开到同一平面内，则易得：，,或

比较可得，最小值为.

[解后反思]将平面图形空间化也是立体几何的另一种问题形式,在做立体几何中,许多问题都是空间图形进行平面化,努力将一个个空间图形,通过所学的几何知识,转化成平面图形,最后使用平面几何的若干知识解决,而本题却反其道而行之,所以在做法上就不能和上述的方法相同,但在本质上有许多相通之处,在这类题目中,尽量找出两者图形过程中的联系之处,哪些量变啦,哪些量没有变,然后解决起来,就会顺手多啦.

14．设实数x, y满足　　　　　　　　.