水平方向分速度保持v_x＝v₀，竖直方向，加速度恒为g，速度v_y＝gt，从抛出点看，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示.这一矢量关系有两个特点：

1.任意时刻v的速度水平分量均等于初速度v₀；

2.斜抛运动

(1)将物体斜向上射出，在　重力　作用下，物体做曲线运动，它的运动轨迹是　抛物线　，这种运动叫做“斜抛运动”.

(2)性质：加速度为g的　匀变速曲线　运动.根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是水平方向的　匀速直线　运动和竖直方向的　上抛　运动的合运动来处理.取水平方向和竖直向上的方向为x轴和y轴，则这两个方向的初速度分别是：v_0x＝v₀cos θ，v_0y＝v₀sin θ.

重点难点突破

1.平抛运动

(1)定义：将一物体水平抛出，物体只在　重力　作用下的运动.

(2)性质：加速度为g的匀变速　曲线　运动，运动过程中水平速度　不变　，只是竖直速度不断　增大　，合速度大小、方向时刻　改变　.

(3)研究方法：将平抛运动分解为水平方向的　匀速直线　运动和竖直方向的　自由落体　

运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成.

(4)规律：

设平抛运动的初速度为v₀，建立坐标系如图.

速度、位移：

水平方向：v_x＝v₀，x＝v₀t

竖直方向：v_y＝gt，y＝gt²

合速度大小(t秒末的速度)：

v_t＝

方向：tan φ＝

合位移大小(t秒末的位移)：s＝

方向：tan θ＝

所以tan φ＝2tan θ

运动时间：由y＝gt²得t＝(t由下落高度y决定).

轨迹方程：y＝ (在未知时间情况下应用方便).

可独立研究竖直分运动：

a.连续相等时间内竖直位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)(n＝1,2,3…)

b.连续相等时间内竖直位移之差为Δy＝gt²

一个有用的推论：

平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半.

3.绳(杆)连物体模型

[例3]如图所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动.在某一时刻卡车的速度为v，绳AO段与水平面夹角为θ，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？

[错解]将绳的速度按右图所示的方法分解，则v₁即为船的水平速度

v₁＝v•cos θ

[错因]上述错误的原因是没有弄清船的运动情况.船的实际运动是水平向左运动，每一时刻船上各点都有相同的水平速度，而AO绳上各点的运动比较复杂.以连接船上的A点来说，它有沿绳的速度v，也有与v垂直的法向速度v_n，即转动分速度，A点的合速度v_A即为两个分速度的矢量和v_A＝

[正解]小船的运动为平动，而绳AO上各点的运动是平动加转动.以连接船上的A点为研究对象，如图所示，A的平动速度为v，转动速度为v_n，合速度v_A即与船的平动速度相同.则由图可以看出v_A＝

[思维提升]本题中不易理解绳上各点的运动，关键是要弄清合运动就是船的实际运动，只有实际位移、实际加速度、实际速度才可分解，即实际位移、实际加速度、实际速度在平行四边形的对角线上.

第 2 课时　抛体运动的规律及其应用

基础知识归纳

2.小船过河模型

[例2]小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v₁＝2.5 m/s.

(1)若船在静水中的速度为v₂＝5 m/s，求：

①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(2)若船在静水中的速度v₂＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

[解析](1)若v₂＝5 m/s

①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向.

当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v₂＝5 m/s

t＝s＝36 s

v_合＝= m/s

s＝v_合t＝90 m

②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一角度α.

垂直河岸过河这就要求v_∥＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，由v₂sin α＝v₁得α＝30°

所以当船头向上游偏30°时航程最短.

s＝d＝180 m

t＝s

(2)若v₂＝1.5 m/s

与(1)中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程s＝，欲使航程最短，需α最大，如图所示，由出发点A作出v₁矢量，以v₁矢量末端为圆心，v₂大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v_合与水平方向夹角最大，应使v_合与圆相切，即v_合⊥v₂.

sin α＝

解得α＝37°

t＝ s＝150 s

v_合＝v₁cos 37°＝2 m/s

s＝v_合•t＝300 m

[思维提升](1)解决这类问题的关键是：首先要弄清楚合速度与分速度，然后正确画出速度的合成与分解的平行四边形图示，最后依据不同类型的极值对应的情景和条件进行求解.

(2)运动分解的基本方法：按实际运动效果分解.

[拓展2]在民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定目标.假设运动员骑马奔驰的速度为v₁，运动员静止时射出的弓箭速度为v₂，跑道离固定目标的最近距离为d，则( BC )

A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为

B.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为

C.箭射到靶的最短时间为

D.只要击中侧向的固定目标，箭在空中运动的合速度的大小为v＝

　易错门诊

1.曲线运动的动力学问题

[例1]光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角(如图所示)，与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力F_x和沿y轴正方向的恒力F_y，则(　)

A.因为有F_x，质点一定做曲线运动

B.如果F_y＞F_x，质点向y轴一侧做曲线运动

C.质点不可能做直线运动

D.如果F_x＞F_ycot α，质点向x轴一侧做曲线运动

[解析]当F_x与F_y的合力F与v共线时质点做直线运动，F与v不共线时做曲线运动，所以A、C错；因α大小未知，故B错，当F_x＞F_ycot α时，F指向v与x之间，因此D对.

[答案]D

[思维提升](1)物体做直线还是曲线运动看合外力F与速度v是否共线.

(2)物体做曲线运动时必偏向合外力F一方，即合外力必指向曲线的内侧.

[拓展1]如图所示，一物体在水平恒力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的动能将( C )

A.不断增大 　　　　　　　　　　B.不断减小

C.先减小后增大　 　　　　　　　D.先增大后减小

[解析]水平恒力方向必介于v_M与v_N之间且指向曲线的内侧，因此恒力先做负功后做正功，动能先减小后增大，C对.

2.由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相同求解.　　　　　　　　　

典例精析

1.一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个速度，若与实际情况不符，则所得分速度毫无物理意义，所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解.通常先虚拟合运动(即实际运动)的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到两个分速度的方向，最后利用平行四边形画出合速度和分速度的关系图，由几何关系得出它们的关系.

2.对船过河的分析与讨论.

设河宽为d，船在静水中速度为v_船，水的流速为v_水.

(1)船过河的最短时间

如图所示，设船头斜向上游与河岸成任意夹角θ，这时船速在垂直河岸方向的速度分量为v₁＝v_船sin θ，则过河时间为t＝，可以看出，d、v_船一定时，t随sin θ增大而减小.当θ＝90°时，即船头与河岸垂直时，过河时间最短t_min＝，到达对岸时船沿水流方向的位移x＝v_水t_min＝d.

(2)船过河的最短位移

①v_船>v_水

如上图所示，设船头斜指向上游，与河岸夹角为θ.当船的合速度垂直于河岸时，此情形下过河位移最短，且最短位移为河宽d.此时有v_船cos θ＝v_水，即θ＝arccos.

②v_船<v_水

如图所示，无论船向哪一个方向开，船不可能垂直于河岸过河.设船头与河岸成θ角，合速度v_合与河岸成α角.可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v_水的矢尖为圆心，v_船为半径画圆，当v_合与圆相切时，α角最大，根据cos θ＝，船头与河岸的夹角应为θ＝arccos，船沿河漂下的最短距离为

x_min＝(cos θ) .此情形下船过河的最短位移x＝.

1.处理方法：船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中船的运动)，船的实际运动是这两种运动的合运动.