物体做离心运动的轨迹可能为直线或曲线.半径不变时物体做圆周运动所需的向心力是与角速度的平方(或线速度的平方)成正比的.若物体的角速度增加了，而向心力没有相应地增大，物体到圆心的距离就不能维持不变，而要逐渐增大使物体沿螺线远离圆心.若物体所受的向心力突然消失，将沿着切线方向远离圆心而去.

共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等.

3.离心运动

(1)定义：做匀速圆周运动的物体，当其所受向心力突然　消失　或　力不足以　提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动.

(2)特点：

①当＝mrω²的情况，即物体所受合外力等于所需向心力时，物体做圆周运动.

②当<mrω²的情况，即物体所受合外力小于所需向心力时，物体沿曲线逐渐远离圆心做离心运动.了解离心现象的特点，不要以为离心运动就是沿半径方向远离圆心的运动.

③当>mrω²的情况，即物体所受合外力大于所需向心力时，表现为向心运动的趋势.

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2.匀速圆周运动

(1)定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都　相等　.在相同的时间内物体与圆心的连线转过的角度都　相等　.

(2)特点：在匀速圆周运动中，线速度的大小　不变　，线速度的方向时刻　改变　.所以匀速圆周运动是一种　变速　运动.做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的　合外力　提供的.

1.描述圆周运动的物理量

(1)线速度：是描述质点绕圆周　运动快慢　的物理量，某点线速度的方向即为该点　切线　方向，其大小的定义式为.

(2)角速度：是描述质点绕圆心　运动快慢　的物理量，其定义式为ω＝，国际单位为　rad/s　.

(3)周期和频率：周期和频率都是描述圆周　运动快慢　的物理量，用周期和频率计算线速度的公式为，用周期和频率计算角速度的公式为.

(4)向心加速度：是描述质点线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度的方向指向圆心，其大小的定义式为或　a＝rω²　.

(5)向心力：向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度(由此而得名)，其效果只改变线速度的　方向　，而不改变线速度的　大小　，其大小可表示为　或　F＝mω²r　，方向时刻与运动的方向　垂直　，它是根据效果命名的力.

说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力.如果物体做匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力.

3.类平抛运动

[例3]如图所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L为10 m，一小球从斜面顶端以10 m/s的速度沿水平方向抛出，求：

(1)小球沿斜面滑到底端时的水平位移x；

(2)小球到达斜面底端时的速度大小(g取10 m/s²).

[解析](1)在斜面上小球沿v₀方向做匀速运动，垂直v₀方向做初速度为零的匀加速运动，加速度a＝gsin 30°

x＝v₀t　　　　　　　　　 ①

L＝gsin 30°t² ②

由②式解得t＝　　　　　　　　 ③

由①③式解得x＝v₀＝10 m＝20 m

(2)设小球运动到斜面底端时的速度为v，由动能定理得

mgLsin 30°＝mv²－

v＝m/s≈14.1 m/s

[思维提升]物体做类平抛运动，其受力特点和运动特点类似于平抛运动，因此解决的方法可类比平抛运动--采用运动的合成与分解.关键的问题要注意：

(1)满足条件：受恒力作用且与初速度的方向垂直.

(2)确定两个分运动的速度方向和位移方向，分别列式求解.

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[例4]如图所示，一高度为h＝0.2 m的水平面在A点处与一倾角为θ＝30°的斜面连接，一小球以v₀＝5 m/s的速度在水平面上向右运动.求小球从A点运动到地面所需的时间(平面与斜面均光滑，取g＝10 m/s²).

[错解]小球沿斜面运动，则＝v₀t+gsin θ•t²，可求得落地的时间t.

[错因]小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑.

[正解]落地点与A点的水平距离x＝v₀t＝v₀ m＝1 m

斜面底宽l＝hcot θ＝0.2×m＝0.35 m

因为x>l，所以小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间.

所以t＝s＝0.2 s

[思维提升]正确解答本题的前提是熟知平抛运动的条件与平抛运动的规律.

第 3 课时　描述圆周运动的物理量　匀速圆周运动

基础知识归纳

2.平抛运动与斜面结合的问题

[例2]如图所示，在倾角为θ的斜面上A点以水平速度v₀抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为(　)

A.　　 　B. 　　C. 　　D.

[解析]设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x＝v₀t，y＝gt²

如图所示，由几何关系可知

tan θ＝

所以小球的运动时间t＝

[答案]B

[思维提升]上面是从常规的分运动方法来研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究.

如图所示，把初速度v₀、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v_0y为初速度、g_y为加速度的竖直上抛运动.小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得

t＝

采用这种观点，还可以很容易算出小球从斜面上抛出后的运动过程中离斜面的最大距离、从抛出到离斜面最大的时间、斜面上的射程等问题.

[拓展2]一固定的斜面倾角为θ，一物体从斜面上的A点平抛并落到斜面上的B点，试证明物体落在B点的速度与斜面的夹角为定值.

[证明]作图，设初速度为v₀，到B点竖直方向速度为v_y，设合速度与竖直方向的夹角为α，物体经时间t落到斜面上，则tan α＝

α为定值，所以β＝(－θ)－α也为定值，即速度方向与斜面的夹角与平抛初速度无关，只与斜面的倾角有关.

平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动.物体在任意时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和.

解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到两个分运动具有独立性和等时性的特点，并且注意与其他知识的结合.

典例精析

1.平抛运动规律的应用

[例1](2009•广东)为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破.飞机在河道上空高H处以速度v₀水平匀速飞行，投掷炸弹并击中目标.求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小(不计空气阻力).

[解析]设飞行的水平距离为s，在竖直方向上H＝gt²

解得飞行时间为t＝

则飞行的水平距离为s＝v₀t＝v₀

设击中目标时的速度为v，飞行过程中，由机械能守恒得

mgH+＝mv²

解得击中目标时的速度为v＝

[思维提升]解平抛运动问题一定要抓住水平与竖直两个方向分运动的独立性与等时性，有时还要灵活运用机械能守恒定律、动能定理、动量定理等方法求解.

[拓展1]用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置(见图).若已知闪光时间间隔为t＝0.1 s，则小球运动中初速度大小为多少？小球经B点时的竖直分速度大小多大？(g取10 m/s²，每小格边长均为L＝5 cm).

[解析]由于小球在水平方向做匀速直线运动，可以根据小球位置的水平位移和闪光时间算出水平速度，即抛出的初速度.小球在竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动规律即可算出竖直分速度.

因A、B(或B、C)两位置的水平间距和时间间隔分别为

x_AB＝2L＝(2×5) cm＝10 cm＝0.1 m

t_AB＝Δt＝0.1 s

所以，小球抛出的初速度为v₀＝＝1 m/s

设小球运动至B点时的竖直分速度为v_By、运动至C点时的竖直分速度为v_Cy，B、C间竖直位移为y_BC，B、C间运动时间为t_BC.根据竖直方向上自由落体运动的公式得

即(v_By+gt_BC)²－

v_By＝

式中y_BC＝5L＝0.25 m

t_BC＝Δt＝0.1 s

代入上式得B点的竖直分速度大小为v_By＝2 m/s

平抛运动的规律虽然是在地球表面的重力场中得到的，但同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛运动.也适用于物体以初速度v₀运动时，同时受到垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力F作用的情况.例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等等.解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系.

2.任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δv_y＝gΔt.