2.圆周运动的临界问题

[例2](2009•安徽)过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R₁＝2.0 m、R₂＝1.4 m.一个质量为m＝1.0 kg的小球(可视为质点)，从轨道的左侧A点以v₀＝12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L₁＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠.重力加速度取g＝10 m/s²，计算结果保留小数点后一位数字.试求：

(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；

(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R₃应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离.

[解析](1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁，根据动能定理

－μmgL₁－2mgR₁＝　　　　　　　　　 ①

小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律

F+mg＝m　　　　　　　　　　 ②

由①②式解得F＝10.0 N　　　　　　　　　　 ③

(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v₁，由题意知mg＝m　　　　　　　 ④

－μmg(L₁+L)－2mgR₂＝　　　　　　　　　 ⑤

由④⑤式解得L＝12.5 m　　　　　　　　　　 ⑥

(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

Ⅰ.轨道半径较小时，小球恰好能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v₃，应满足

mg＝m　　　　　　　　　 ⑦

－μmg(L₁+2L)－2mgR₃＝　　　　　　　　 ⑧

由⑥⑦⑧式解得R₃＝0.4 m

Ⅱ.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₃，根据动能定理有

－μmg(L₁+2L)－2mgR₃＝0－

解得R₃＝1.0 m

为了保证圆轨道不重叠，R₃最大值应满足

(R₂+R₃)²＝L²+(R₃－R₂)²

解得R₃＝27.9 m

综合Ⅰ、Ⅱ，要使球不脱离轨道，则第三个圆轨道半径需满足0<R₃≤0.4 m

或1.0 m≤R₃≤27.9 m

当0<R₃≤0.4 m时，小球最终停留点与起始点A距离为L′，则－μmgL′＝0－

解得L′＝36.0 m

当1.0 m≤R₃≤27.9 m时，小球最终停留点与起始点A的距离为L″，则L″＝L′－2(L′－L₁－2L)＝26.0 m

[思维提升]本题侧重考查圆周运动临界条件的应用.物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常出现一种特殊的转变状态，即临界状态.通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决问题的关键.

[拓展2]如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( BC )

A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零

B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零

C.若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力可能为零

D.若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力

[解析]本题考查竖直面内的圆周运动，束缚物是细绳，物体在最高点的最小速度为，此时细绳拉力为零，A错，C对；束缚物是细杆时，如果最高点的速度为，细杆拉力为零，如果v>，细杆为拉力，如果v<，细杆为推力，B对，D错.

[例3]如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长l＝2 m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取g＝10 m/s²)？

[解析]设两细绳都被拉直时，A、B绳的拉力分别为T_A、T_B，小球的质量为m，A绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，B绳与竖直方向的夹角为α＝45°，经受力分析，由牛顿第二定律得：

当B绳中恰无拉力时

F_Asin θ＝mωlsin θ　　　　　　　　　　 ①

F_Acos θ＝mg　　　　　　　　 　　　　　　　 ②

由①②式解得ω₁＝rad/s

当A绳中恰无拉力时，F_Bsin α＝mωl_Bsin θ　　　　　　　　　 ③

F_Bcos α＝mg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由③④式解得ω₂＝rad/s

所以，两绳始终有张力，角速度的范围是

rad/s<ω< rad/s

[思维提升]此类问题中，往往是两根绳子恰无拉力时为角速度出现极大值和极小值的临界条件，抓住临界条件、分析小球在临界位置的受力情况是解决此类问题的关键.

[拓展3]如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ＝30°，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球(可视为质点)，小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动.试分析讨论v从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况.

[解析](1)临界条件：小球刚好对锥面没有压力时的速率为v₀，小球受重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则有F_向＝mgtan 30° ＝m，解得v₀＝

(2)当v<v₀时，小球除受到重力和绳子的拉力外，还受到圆锥面的支持力，如图所示，则有

F_向＝F_Tsin 30°－F_Ncos 30°＝m

F_Tcos 30°+F_Nsin 30°＝mg

速度越大，支持力越小.

(3)当v>v₀时，小球离开锥面飘起来，设绳与轴线夹角为φ，则F_Tsins φ＝m

速度越大，绳与轴线夹角φ越大.

易错门诊

[例4]一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点).A球的质量为m₁，B球的质量为m₂.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v₀.设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R与v₀应满足的关系式是　　.

[错解]依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N₁为向心力，则有

N₁＝m₁ ①

B球在最高点时，圆管对它的作用力N₂为m₂的向心力，方向向下，则有

N₂＝m₂ ②

因为m₂由最高点到最低点机械能守恒，则有

m₂g2R+　　　　　　 ③

N₁＝N₂

由①②③式解得v₀＝

[错因]错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程.没有作受力分析，导致漏掉重力，表面上分析出了N₁＝N₂，但实际并没有真正明白为什么圆管给m₂向下的力.总之从根本上看还是解决力学问题的基本功--受力分析不过关.

[正解]首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示.A球在圆管最低点必受向上的弹力N₁，此时两球对圆管的合力为零，m₂必受圆管向下的弹力N₂，且N₁＝N₂

据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有

N₁－m₁g＝m₁ ①

同理B球在最高点有m₂g+N₂＝m₂ ②

B球由最高点到最低点机械能守恒

2m₂gR+　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

又N₁＝N₂

由①②③式解得v₀＝

[思维提升]比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题.找出其中的联系就能很好地解决问题.

第 5 课时　万有引力定律及其应用

基础知识归纳

1.圆周运动的动力学问题

[例1]质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时(　)

A.向心加速度为　　　　　　 　B.向心力为m(g+)

C.对球壳的压力为　　　　　 D.受到的摩擦力为μm(g+)

[解析]物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位置的向心力，由牛顿第二定律有F_N－mg＝，物体的向心加速度为，向心力为，物体对球壳的压力为m(g+)，在沿速度方向，物体受滑动摩擦力，有F＝μF_N＝μm(g+)，综上所述，选项A、D正确.

[答案]AD

[思维提升]匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力提供向心力，即F_合＝F_向，或

F_合＝m＝mω²r＝m.这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律.

[拓展1]铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.

(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值.

(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v.(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α)

[解析](1)分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数C＝660×50×10^－3 m＝33 m²，因此h•r＝33(或h＝)

当r＝440 m时，有h＝m＝0.075 m＝75 mm

(2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图所示.

由牛顿第二定律得mgtan α＝m　　　　　　　　　　 ①

因为α很小，有tan α＝sin α＝　　　　　　　　 ②

由①②可得v＝

代入数据解得v＝15 m/s＝54 km/h

2.当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题.

典例精析

圆周运动中临界问题的分析，首先应考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题.

1.在竖直面内做圆周运动的物体

竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件：v_临＝.绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力.

竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：v_临＝0.杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.

解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解.

2.竖直平面内的圆周运动中的临界问题

(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg＝m，这时的速度是做圆周运动的最小速度v_min＝.

(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度　v≥0　.

①当v＝0时，杆对小球的支持力等于小球的重力；

②当0<v<时，杆对小球的支持力　小　于小球的重力；

③当v＝时，杆对小球的支持力　等　于零；

④当v>时，杆对小球提供　拉　力.

重点难点突破

1.圆周运动的动力学问题

做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，即F_合＝F_向，或F_合＝＝　mω²r　＝.

3.圆周运动的向心力问题

[例3]如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.

[错解]当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力F_m′指向圆心，则

F_m′＝mr　　　　　　　　　 ①

由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即

F_m′＝μF_N＝μmg　　　　　　　　　 ②

由①②式解得ω_m＝

要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足0<ω<

[错因]A物随盘一起做匀速圆周运动的向心力是绳的拉力和A物所受的摩擦力的合力提供，而拉力的大小始终等于B物的重力.

[正解]由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.

当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即

F+F_m′＝mr　　　　　　　　　 ①

由于B静止，故

F＝mg　　　　　　　　　 ②

由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即

F_m′＝μF_N＝μmg　　　　　　　　　 ③

由①②③式解得ω₁＝

当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为

F－F_m′＝mr　　　　　　　　　 ④

由②③④式解得ω₂＝要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足

≤ω≤

[思维提升]根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力.

第 4 课时　匀速圆周运动动力学问题及实例分析

基础知识归纳

2.离心运动问题

[例2]物体做离心运动时，运动轨迹(　)

A.一定是直线　　　　　　　 　　 B.一定是曲线

C.可能是直线，也可能是曲线　　　　 D.可能是圆

[解析]一个做匀速圆周运动的物体，当它所受的向心力突然消失时，物体将沿切线方向做直线运动，当它所受向心力逐渐减小时，则提供的向心力比所需要的向心力小，物体做圆周运动的轨道半径会越来越大，物体的运动轨迹是曲线.

[答案]C

[思维提升]理解离心运动的特点是解决本题的前提.

[拓展2]质量为M＝1 000 kg的汽车，在半径为R＝25 m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯的向心力，静摩擦力的最大值为重力的0.4倍.为了避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围.(取g＝10 m/s²)

[解析]汽车所受的静摩擦力提供向心力，为了保证汽车行驶安全，根据牛顿第二定律，依题意有kMg≥M，代入数据可求得v≤10 m/s

　易错门诊

向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力.它是按力的作用效果来命名的.分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源.需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和).

典例精析

1.圆周运动各量之间的关系

[例1](2009•上海)小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度.他的设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车的骑行速度.经过骑行，他得到如下的数据：在时间t内踏脚板转动的圈数为N，那么踏脚板转动的角速度ω＝　　　　；要推算自行车的骑行速度，还需要测量的物理量有　　　　　　　；自行车骑行速度的计算公式v＝　　　　.

[解析]根据角速度的定义式得ω＝；要求自行车的骑行速度，还要知道自行车后轮的半径R，牙盘的半径r₁、飞轮的半径r₂、自行车后轮的半径R；由v₁＝ωr₁＝v₂＝ω₂r₂，又ω₂＝ω_后，而v＝ω_后R，以上各式联立解得v＝

[答案]；牙盘的齿轮数m、飞轮的齿轮数n、自行车后轮的半径R(牙盘的半径r₁、飞轮的半径r₂、自行车后轮的半径R)；Rω或2πR(2πR或Rω)

[思维提升]在分析传动问题时，要抓住不等量和相等量的关系.同一个转轮上的角速度相同，而线速度跟该点到转轴的距离成正比.

[拓展1]如图所示，O₁为皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r₁；O₂为从动轮的轴心，轮的半径为r₂；r₃为与从动轮固定在一起的大轮的半径.已知r₂＝1.5r₁，r₃＝2r₁.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是　3∶3∶4　，角速度之比是　3∶2∶2　，向心加速度之比是　9∶6∶8　，周期之比是　2∶3∶3　.

[解析]由于A、B轮由不打滑的皮带相连，故v_A＝v_B

又由于v＝ωr，则

由于B、C两轮固定在一起

所以ω_B＝ω_C

由v＝ωr知

所以有ω_A∶ω_B∶ω_C＝3∶2∶2

v_A∶v_B∶v_C＝3∶3∶4

由于v_A＝v_B，依a＝得

由于ω_B＝ω_C，依a＝ω²r得

a_A∶a_B∶a_C＝9∶6∶8

再由T＝知T_A∶T_B∶T_C＝∶∶＝2∶3∶3