例3. 图2中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离l1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止，滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为l2，重力加速度为g，求A从P出发时的初速度v0。

图2

解析：令A、B质量皆为m，A刚接触B时速度为v1(碰前)

由功能关系，有

A、B碰撞过程中动量守恒，令碰后A、B共同运动的速度为v2

有

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为v3，在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有

此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有

由以上各式，解得

例2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图1所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失)，已知A、B、C三球的质量均为m。

图1

(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：(1)设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒得当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒得，由以上两式求得A的速度。

(2)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒，有撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D的动能，设D的速度为v3，则有

以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v4，由动量守恒得

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP”，由能量守恒，有解以上各式得。

说明：对弹簧模型来说“系统具有共同速度之时，恰为系统弹性势能最多”。

例1. 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于(　 )

A. B. C. D.

解析：设碰前A球的速度为v0，两球压缩最紧时的速度为v，根据动量守恒定律得出，由能量守恒定律得，联立解得，所以正确选项为C。

与松弛的绳子相连接的物体，在突然被绳子紧拉一下时，其机械能会发生突变，转变为其他形式的能，解这类题目要特别注意，否则将发生一系列连锁错误。

例3. 在光滑水平面上，有一质量的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一质量的拖车连接，一质量的物体放在拖车的平板上，物体与平板间的动摩擦因数，开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图3所示，小车以的速度前进，求：

(1)以同一速度前进时，其速度的大小；

(2)物体在拖车平板上移动的距离。

图3

分析与解答：整个运动过程可分成两个阶段：①绳子被拉紧时，m₁与m₂获得共同速度，m₁、m₂系统的动量守恒，由于绳子由未绷紧到绷紧，会有机械能的损失(在这个问题上很容易被忽视)，此时m₃的速度还为零；②绳子拉紧后，在摩擦力作用下m₃加速，m₁与m₂减速，m₃与m₂间有相对滑动，直至三者速度相等，一起运动。此阶段系统动量守恒，机械能不守恒，但可由动能定理求解。

绳刚被拉紧时，设m₁与m₂的共同速度为v₁，m₁与m₂系统动量守恒，有：

解得：

再对m₁、m₂、m₃系统，由动量守恒得：

解得：

绳拉紧后，物体在拖车上相对滑动，设拖车位移为s₁，物体位移为s₂，分别对两车、物体用动能定理有：

小车和拖车：

物块：

可解得物体在拖车上移动的距离：

与绳子相连接的物体，由于某些时候绳子的形变发生突变，它的速度会随着发生突变，对这类问题若不加仔细分析，引起注意，接下来其他量的求解就会随着出错，因此必须引起高度重视。

例2. 如图2所示，质量为m的小球用长为L的细绳系于O点，把小球拿到O点正上方且使细绳拉直的位置A后，以的速度水平向右弹出(空气阻力不计)

(1)小球从弹出至下落到与O点等高的位置这一过程中，小球做什么运动，请说明理由；

(2)求小球到达最低点时细绳上的拉力大小。

图2

分析与解答：(1)设球在最高点只受重力且做圆周运动，则有：

因为，所以小球做平抛运动。

(2)设小球下落到与O点等高的位置时，在水平方向的位移为x，有，，得：

水平方向速度：

竖直方向的速度：

在此，小球在水平方向的速度突变为0，消失了，只剩下竖直向下的速度，此后，小球以为初速向下做圆周运动(同学们往往在此发生错误)。设小球下落到最低点时速度为，绳子拉力为，由机械能守恒：

又由牛顿第二定律有：

解得：

由于绳子的特点，它的弹力可发生突变，它与弹簧不同，弹簧的弹力不能发生突变，同学们一定要注意区别，不能混淆。

例1. 如图1所示，一条轻弹簧OB和一根细绳OA共同拉住一个质量为m的小球，平衡时细绳OA是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是，若突然剪断细绳OA，则在刚剪断的瞬间，弹簧拉力的大小是_________，小球加速度的方向与竖直方向的夹角等于_________，若将弹簧改为一根细绳，则在OA线剪断瞬间，绳OB的弹力大小是________，小球加速度方向与竖直方向夹角等于__________。

图1

分析与解答：这是一道典型的要区分细绳与弹簧有什么不同的题，只要我们认清细绳可发生突变，而弹簧不能发生突变的情况，则这就不是一道难题。

细绳未剪断前，小球所受重力，弹簧的拉力和细绳的拉力是平衡的，即重力与弹簧的拉力的合力是沿水平方向向右，大小，细绳剪断后，弹簧的形变不能马上改变，弹力仍保持原值，因重力、弹簧弹力不变，所以此时小球加速度方向是沿水平向右，即与竖直方向夹角是，若弹簧改用细绳，则OA线剪断瞬间，细绳OB的形变发生突变，小球有沿圆弧切线方向的加速度，故重力与绳OB的拉力的合力必沿切线方向，由此求得，夹角为。

5．(2008年高考全国卷Ⅱ)如图6－3－12所示，一质量为M的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h.一质量为m的子弹以水平速度v₀射入物块后，以水平速度v₀/2射出．重力加速度为g.求：

(1)此过程中系统损失的机械能；

(2)此后物块落地点离桌面边缘的水平距离．

解析：(1)设子弹穿过物块后物块的速度为v，由动量守恒得mv₀＝m+Mv①　 www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

解得v＝v₀②

系统的机械能损失为

ΔE＝mv₀²－[m()²+Mv²]③

由②③式得ΔE＝(3－)mv₀².④

(2)设物块下落到地面所需时间为t，落地点距桌面边缘的水平距离为s，则h＝gt²⑤

s＝vt⑥

由②⑤⑥式得s＝.

答案：(1)(3－)mv₀²　(2)

4．如图6－3－11所示，在光滑水平面上有质量分别为3m和m的a、b两物体，a与轻弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在墙上．开始弹簧处于原长，b以速度v与a发生正碰，碰后两物体以相同速度压缩弹簧，当弹簧被压缩到最短时，它具有的弹性势能为(　)

A．mv²/2　 　　　　　　　　　　B．mv²/8

C．mv²/4　 　　　　　　　　　　D．mv²/16

解析：选B.a、b发生正碰，获得共速v_共，由动量守恒：mv＝(m+3m)v_共，然后以v_共去压缩弹簧，由机械能守恒：E_p＝(m+3m)v_共²/2，联立解得E_p＝mv²/8

3．如图6－3－10所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上后在木板上最多能滑行的距离为(　)

A．L　 　　　　　　　　　　　　B．3L/4

C．L/4 　　　　　　　　　　　　D．L/2

解析：选D.固定时，由动能定理得：μMgL＝Mv₀²，后来木板不固定有Mv₀＝2Mv，μMgs＝Mv₀²－·2Mv²，故得s＝L/2.

2．(2009年宜昌模拟)如图6－3－9所示，小车M由光滑的弧形段AB和粗糙的水平段BC组成，静止在光滑水平面上．当小车固定时，从A点由静止滑下的物块m到C点恰好停止．如果小车不固定，物块m仍从A点静止滑下，(　)

A．还是滑到C点停住　　　B．滑到BC间某处停住

C．会冲出C点落到车外 　　　　D．上述三种情况都有可能

解析：选A.小车固定时恰能滑到C点，机械能会全部转化为内能．当小车不固定时，由动量守恒知，小车与物体的最终速度都为零，故机械能全部转化为内能，因此两次滑过的路程相等，所以A对．