2.临界、极值问题的求解方法

(1)极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理此类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的.

(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答此类题目，一般采用假设法.

此外，我们还可以应用图象法等进行求解.

1.临界问题的分析思路

解决临界问题的关键是：认真分析题中的物理情景，将各个过程划分阶段，找出各阶段中物理量发生突变或转折的“临界点”，然后分析出这些“临界点”应符合的临界条件，并将其转化为物理条件.

两类基本问题中，受力分析是关键，求解加速度是桥梁和枢纽，思维过程如下：

3.力和运动的关系

[例3]如图所示，弹簧左端固定，右端自由伸长到O点并系住物体m，现将弹簧压缩到A点，然后释放，物体一直可以运动到B点，如果物体受到的摩擦力恒定，则(　)

A.物体从A到O加速，从O到B减速

B.物体从A到O速度越来越小，从O到B加速度不变

C.物体从A到O间先加速后减速，从O到B一直减速运动

D.物体运动到O点时所受合力为零

[错解]A；物体在O点附近来回运动，因此物体在O点的速度最大，则A选项正确.

[错因]犯以上错误的客观原因是思维定势，好像是弹簧振子的平衡位置O具有最大速度，这是盲目的模仿，主要是没有好的解题习惯，没有弄清楚力和运动的关系，另外有些同学是忽略了摩擦力.

[正解]在A点，弹簧弹力F大于摩擦力μmg，合外力向右，物体加速运动；在O点，弹簧弹力减小到零，只受摩擦力μmg，方向向左，物体在A到O之间一定存在某点弹力等于摩擦力，此时物体所受到的合外力为零，速度最大.故从A到O，物体先加速后减速，加速度先减小后增大.从O到B，合外力向左，物体一直减速运动，加速度一直增大，故C选项正确.

[答案]C

[思维提升]要正确理解力和运动的关系，物体运动方向和合外力方向相同时物体做加速运动，当弹力减小到等于摩擦力，即合外力为零时，物体的速度最大，小球的加速度决定于小球受到的合外力.

第 3 课时　牛顿运动定律的应用

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2.应用牛顿第二定律解题的基本方法

[例2]一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于加速上升的电梯中，加速度为a，如图所示，在物体始终相对于斜面静止的条件下，下列说法正确的是(　)

A.当θ一定时，a越大，斜面对物体的正压力越小

B.当θ一定时，a越大，斜面对物体的摩擦力越大

C.当a一定时，θ越大，斜面对物体的正压力越小

D.当a一定时，θ越大，斜面对物体的摩擦力越小

[解析]解法一：用合成法，根据平行四边形定则求解.对物体作受力分析，如图所示.(设物体质量为m，斜面对物体的正压力为F_N，斜面对物体的摩擦力为F_f)物体具有向上的加速度a，由牛顿第二定律及力的合成有

－mg＝ma

－mg＝ma

当θ一定时，a越大，F_N越大，A不正确；当θ一定时，a越大，F_f越大，B正确；当a一定时，θ越大，F_N越小，C正确；当a一定时，θ越大，F_f越大，D不正确.

解法二：应用正交分解法求解.

物体受重力、支持力、摩擦力的作用.由于支持力、摩擦力相互垂直，所以把加速度a在沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，如图所示.

沿斜面方向，由牛顿第二定律得：

F_f－mgsin θ＝masin θ　　　　　　　　 ①

垂直于斜面方向，由牛顿第二定律得：

F_N－mgcos θ＝macos θ　　　　　　　 ②

当θ一定时，由①得，a越大，F_f越大，B正确.

由②得，a越大，F_N越大，A错误.

当a一定时，由①得，θ越大，F_f越大，D错误.

由②得，θ越大，F_N越小，C正确.

[答案]BC

[思维提升]解题方法要根据题设条件灵活选择.本题的解法二中，要分析的支持力和摩擦力相互垂直，所以分解加速度比较简单，但是当多数力沿加速度方向时，分解力比较简单.

[拓展2]风洞实验中可产生水平方向的、大小可以调节的风力，先将一套有小球的细杆放入风洞实验室，小球孔径略大于细杆直径，如图所示.

(1)当杆在水平方向上固定时，调节风力的大小，使小球在杆上匀速运动，这时所受风力为小球所受重力的0.5倍，求小球与杆的动摩擦因数；

(2)保持小球所受风力不变，使杆与水平方向间夹角为37°并固定，则小球从静止出发在细杆上滑下距离x的时间为多少.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

[解析](1)设小球所受的风力为F，支持力为F_N、摩擦力为F_f、小球质量为m，作小球受力图，如图所示，当杆水平固定，即θ＝0时，由题意得F＝μmg

所以μ＝F/mg＝0.5mg/mg＝0.5

(2)沿杆方向，由牛顿第二定律得

Fcos θ+mgsin θ－F_f＝ma　　　　　　　　　 ①

在垂直于杆的方向，由共点力平衡条件得

F_N+Fsin θ－mgcos θ＝0　　　　　　　　　 ②

又F_f＝μF_N ③

联立①②③式解得

a=＝

将F＝0.5mg代入上式得a＝g　　　　　　　　 ④

由运动学公式得x＝at² ⑤

由④⑤式解得t＝

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1.瞬时性问题分析

[例1]如图甲所示，一质量为m的物体系于长度分别为L₁、L₂的两根细线上，L₁的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L₂水平拉直，物体处于平衡状态.

(1)现将L₂线剪断，求剪断瞬间物体的加速度；

(2)若将图甲中的细线L₁改为质量不计的轻弹簧而其余情况不变，如图乙所示，求剪断L₂线瞬间物体的加速度.

[解析](1)对图甲的情况，L₂剪断的瞬间，绳L₁不可伸缩，物体的加速度只能沿切线方向，则mgsin θ＝ma₁

所以a₁＝gsin θ，方向为垂直L₁斜向下.

(2)对图乙的情况，设弹簧上拉力为F_T1，L₂线上拉力为F_T2.重力为mg，物体在三力作用下保持平衡，有

F_T1cos θ＝mg，F_T1sin θ＝F_T2，F_T2＝mgtan θ

剪断线的瞬间，F_T2突然消失，物体即在F_T2反方向获得加速度.因为mgtan θ＝ma₂，所以加速度a₂＝gtan θ，方向与F_T2反向，即水平向右.

[思维提升](1)力和加速度的瞬时对应性是高考的重点.物体的受力情况应符合物体的运动状态，当外界因素发生变化(如撤力、变力、断绳等)时，需重新进行运动分析和受力分析，切忌想当然；

(2)求解此类瞬时性问题，要注意以下四种理想模型的区别：

[拓展1]如图所示，弹簧S₁的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与球B之间用线相连.球B与球C之间用弹簧S₂相连.A、B、C的质量分别为m_A、m_B、m_C，弹簧与线的质量均不计.开始时它们都处于静止状态.现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度.

[解析]剪断A、B间的细线前，对A、B、C三球整体分析，弹簧S₁中的弹力：

F₁＝(m_A+m_B+m_C)g　　　　　　　　　 ①

方向向上.

对C分析，S₂中的弹力：F₂＝m_Cg　　　　　　　　　　 ②

方向向上.

剪断A、B间的细线时，弹簧中的弹力没变.

对A分析：F₁－m_Ag＝m_Aa_A ③

对B分析：F₂′+m_Bg＝m_Ba_B ④

对C分析：F₂－m_Cg＝m_Ca_C ⑤

F₂′＝F₂

由①③式解得a_A＝g，方向向上.

由②④式解得a_B＝g，方向向下.

由②⑤式解得a_C＝0

3.物体的运动情况取决于物体受的力和物体的初始条件(即初速度)，尤其是初始条件是很多同学最容易忽视的，从而导致不能正确地分析物体的运动过程.

典例精析

2.合力与速度同向时，物体加速，反之则减速.

分析力和运动关系问题时要注意以下几点：

1.物体所受合力的方向决定了其加速度的方向，合力与加速度的大小关系是F_合＝ma，只要有合力，不管速度是大还是小，或是零，都有加速度，只有合力为零时，加速度才能为零，一般情况下，合力与速度无必然的联系，只有速度变化才与合力有必然的联系.

2.当物体受多个力作用时，通常采用正交分解法.

为减少矢量的分解，建立坐标系，确定x轴正方向有两种方法：

(1)分解力不分解加速度，此时一般规定a方向为x轴正方向.

(2)分解加速度不分解力，此种方法以某种力的方向为x轴正方向，把加速度分解在x轴和y轴上.