辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈2:
解析几何
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体,综合函数、不等式、三角、数列等知识,所涉及到的知识点较多,对解题能力考查的层次要求较高,考生在解答时,常常表现为无从下手,或者半途而废。据此笔者认为:解决这一类问题的关键在于:通观全局,局部入手,整体思维. 即在掌握通性通法的同时,不应只形成一个一个的解题套路,解题时不加分析,跟着感觉走,做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握,从微观上去突破,在审题和解题思路的整体设计上下功夫,不断克服解题征途中的道道运算难关.
1 判别式----解题时时显神功
案例1 已知双曲线,直线过点,斜率为,当时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为,试求的值及此时点B的坐标。
分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B作与平行的直线,必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发,可设计如下解题思路:
解题过程略.
分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
简解:设点为双曲线C上支上任一点,则点M到直线的距离为:
于是,问题即可转化为如上关于的方程.
由于,所以,从而有
于是关于的方程
由可知:
方程的二根同正,故恒成立,于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解,得其判别式,就可解得 .
点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效
案例2 已知椭圆C:和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率作为参数,如何将与联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件:来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到,要建立与的关系,只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.
通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数.
在得到之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关于的方程(不含k),则可由解得,直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解:设,则由可得:,
解之得: (1)
设直线AB的方程为:,代入椭圆C的方程,消去得出关于 x的一元二次方程:
(2)
∴
代入(1),化简得: (3)
与联立,消去得:
在(2)中,由,解得 ,结合(3)可求得
故知点Q的轨迹方程为: ().
点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
3 求根公式-----呼之欲出亦显灵
案例3 设直线过点P(0,3),和椭圆顺次交于A、B两点,试求的取值范围.
分析:本题中,绝大多数同学不难得到:=,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手,=已经是一个关系式,但由于有两个变量,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量――直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
简解1:当直线垂直于x轴时,可求得;
当与x轴不垂直时,设,直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得
解之得
因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑的情形.
当时,,,
所以 ===.
由 , 解得 ,
所以 ,
综上 .
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于的对称关系式.
简解2:设直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得
(*)
则
令,则,
在(*)中,由判别式可得 ,
从而有 ,
所以 ,
解得 .
结合得.
综上,.
点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.
解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.
辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈1:
二次函数
.二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数,可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系,使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出现,也就不足为奇了.
学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.代数推理
由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以,在解决二次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质.
1.1 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数.
例1 已知,满足1且,求的取值范围.
分析:本题中,所给条件并不足以确定参数的值,但应该注意到:所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以把1和当成两个独立条件,先用和来表示.
解:由,可解得:
(*)
将以上二式代入,并整理得
,
∴ .
又∵,,
∴ .
例2 设,若,,, 试证明:对于任意,有.
分析:同上题,可以用来表示.
解:∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时,
当时,
综上,问题获证.
1.2 利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式
例3 设二次函数,方程的两个根满足. 当时,证明.
分析:在已知方程两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数的表达式,从而得到函数的表达式.
证明:由题意可知.
,
∴ ,
∴ 当时,.
又,
∴ ,
综上可知,所给问题获证.
1.3 紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力
例4 已知函数。
(1)将的图象向右平移两个单位,得到函数,求函数的解析式;
(2)函数与函数的图象关于直线对称,求函数的解析式;
(3)设,已知的最小值是且,求实数的取值范围。
解:(1)
(2)设的图像上一点,点关于的对称点为,由点Q在的图像上,所以
,
于是
即
(3).
设,则.
问题转化为:对恒成立. 即
对恒成立. (*)
故必有.(否则,若,则关于的二次函数开口向下,当充分大时,必有;而当时,显然不能保证(*)成立.),此时,由于二次函数的对称轴,所以,问题等价于,即,
解之得:.
此时,,故在取得最小值满足条件.
2 数形结合
二次函数的图像为抛物线,具有许多优美的性质,如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题,可以化难为易.,形象直观.
2.1 二次函数的图像关于直线对称, 特别关系也反映了二次函数的一种对称性.
例5 设二次函数,方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称,证明:.
解:由题意 .
由方程的两个根满足, 可得
且,
∴ ,
即 ,故 .
2.2 二次函数的图像具有连续性,且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数使得且在区间上,必存在的唯一的实数根.
例6 已知二次函数,设方程的两个实数根为和.
(1)如果,设函数的对称轴为,求证:;
(2)如果,,求的取值范围.
分析:条件实际上给出了的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解:设,则的二根为和.
(1)由及,可得 ,即,即
两式相加得,所以,;
(2)由, 可得 .
又,所以同号.
∴ ,等价于或,
即 或
解之得 或.
2.3 因为二次函数在区间和区间上分别单调,所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得;函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
例7 已知二次函数,当时,有,求证:当时,有.
分析:研究的性质,最好能够得出其解析式,从这个意义上说,应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数,只需三个独立条件,本题可以考虑,,,这样做的好处有两个:一是的表达较为简洁,二是由于正好是所给条件的区间端点和中点,这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.
要考虑在区间上函数值的取值范围,只需考虑其最大值,也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.
解:由题意知:,
∴ ,
∴ .
由时,有,可得 .
∴ ,
.
(1)若,则在上单调,故当时,
∴ 此时问题获证.
(2)若,则当时,
又,
∴ 此时问题获证.
综上可知:当时,有.
高三物理二轮复习查漏补缺(二)
班次 姓名 学号
1. 如图所示是迈克尔逊用转动八面镜法测光速的实验示意图,图中S为发光点,T是望远镜,平面镜O与凹面镜B构成了反射系统。八面镜距反射系统的距离为AB=L(L可长达几
A. c=4Lf0 B. c=8Lf0
C. c=16Lf0 D. c=32Lf0
2.对一定质量的气体,若用N表示单位时间内与器壁单位面积碰撞的分子数,则( )
A.当体积减小时,N必定增加
B.当温度升高时,N必定增加
C.当压强不变而体积和温度变化时,N必定变化
D.当压强不变而体积和温度变化时,N可能不变
3.设有一固定的S极磁单极子,其磁场分布与负点电荷电场分布相似,周围磁感线呈均匀辐射状分布,如图所示。距离它对r处磁感应强度大小为B=k/r2,k 为常数,现有一带正电的小球在S极附近做匀速圆周运动,则关于小球做匀速圆周运动的判断正确的是( )
A.小球的运动轨迹平面在S的正上方,如图甲所示
B.小球的运动轨迹平面在S的正下方,如图乙所示
C.从S极看去小球的运动方向是顺时针的
D.从S极看去小球的运动方向是逆时针的
4.某同学在学习了法拉第电磁感应定律之后,自己制作了一
个手动手电筒,如图是手电筒的简单结构示意图,左右两端是两块完全相同的条形磁铁,中
间是一根绝缘直杆,由绝缘细铜丝绕制的多匝环形线圈只可在直杆上自由滑动,线圈两端接
一灯泡,晃动手电筒时线圈也来回滑动,灯泡就会发光,其中O点是两磁极连线的中点,a、
b两点关于O点对称,则下列说法中正确的是( )
A.线圈经过O点时穿过的磁通量最小
B.线圈经过O点时受到的磁场力最大
C.线圈沿不同方向经过b点时所受的磁场力方向相反
D.线圈沿同一方向经过a、b两点时其中的电流方向相同
5. 横波波源做间歇性简谐运动,周期为0.05s,波的传播速度
为
A.在前1.7s内波传播的距离为
B.若第1.7s末波传播到P点,则此时P点的振动方向向下
C.在前1.7s时间内所形成的机械波中,共有23个波峰
D.在前1.7s时间内所形成的机械波中,共有23个波谷
6. 研究表明,无限大的均匀带电平面在周围空间会形成与平面垂直的匀强电场.现有两块无限大的均匀绝缘带电平面,一块带正电,一块带负电,把它们正交放置如图甲所示,单位面积所带电荷量的数值相等.图甲中直线A1B1和A2B2分别为带正电的平面和带负电的平面与纸面正交的交线,O为两交线的交点.则图乙中能正确反映等势面分布情况的是( )
7. A、B两滑块在一水平长直气垫导轨上相碰.用频闪照相机在t0=0, t1=Δt,t2=2Δt, t3=3Δt各时刻闪光四次,摄得如图所示照片,其中B像有重叠,mB=mA,由此可判断 ( )
A. 碰前B静止,碰撞发生在
B. 碰后B静止,碰撞发生在
C. 碰前B静止,碰撞发生在
D. 碰后B静止,碰撞发生在
8.用大量具有一定能量的电子轰击大量处于基态的氢原子,观测到了一定数目的光谱线。调
高电子的能量再次进行观测,发现光谱线的数目原来增加了5条。用△n表示两次观测中
最高激发态的量子数n之差,E表示调高后电子的能量。根据氢原子的能级图可以判断,
△n和E的可能值为( )
A.△n=1,13.22 eV<E<13.32 eV
B.△n=2,13.22 eV<E<13.32 eV
C.△n=1,12.75 eV<E<13.06 eV
D.△n=2,12.72 eV<E<13.06 eV
9.如图所示的“S”字形玩具轨道,该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成,固定在竖直平面内,轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连结而成,圆半径必细管内径大得多,轨道底端与水平地面相切。弹射装置将一个小球(可视为质点)从点水平弹射向点并进入轨道,经过轨道后从P点水平抛出,已知小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2,不计其它机械能损失,ab段长L=
(2)若v0=
(3)设小球进入轨道之前,轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力,当v0至少为多大时,可出现轨道对地面的瞬时压力为零。
10.如图所示的直角坐标系中,在直线x=-
⑵求在AC间还有哪些位置的粒子,通过电场后也能沿x轴正方向运动?
11. 如图所示,质量为M=
(1)初始时板的加速度;
(2)板与m1分离所需的时间;
(3)木板从开始运动到停下来所发生的位移。
12. 如图所示,间距为l的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ,导轨光滑且电阻忽略不计。场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直,磁场区域的宽度为d1,间距为d2。两根质量均为m、有效电阻均匀为R的导体棒a和b放在导轨上,并与导轨垂直。(设重力加速度为g)⑴若a进入第2个磁场区域时,b以与a同样的速度进入第1个磁场区域,求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能ΔEk。⑵若a进入第2个磁场区域时,b恰好离开第1个磁场区域;此后a离开第2个磁场区域时,b又恰好进入第2个磁场区域。且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等。求a穿过第2个磁场区域过程中,两导体棒产生的总焦耳热Q。⑶对于第⑵问所述的运动情况,求a穿出第k个磁场区域时的速率v。
高三物理二轮复习查漏补缺(二)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
AC
AC
CD
A
B
AD
9. (1) 小物体运动到P点时的速度大小为v0,对小物体由点运动到P点过程应用动能定理得: - (3分)
小物体自P点做平抛运动,设运动时间为t,水平射程为s,则:
(2分)
(2分)
联立代入数据解得 =
(2) 设在轨道最高点时管道对小物体的作用力大小为F,取竖直向下为正方向
(2分)
联立代人数据解得
F=11N (1分)
方向竖直向下 (1分)
(3) 分析可知,要使小球以最小速度 运动,且轨道对地面的压力为零,
则小球的位置应该在“S”形轨道的中间位置, (2分)
则有: (2分)
(2分)
解得: =
10. ⑴ 从A点射出的粒子,由A到A′的运动时间为T,根据运动轨迹和对称性可得
x轴方向 y轴方向 得:
⑵ 设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向,粒子第一次达x轴用时△t,水平位移为△x,则
若满足,则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向
解之得: 即AC间y坐标为 (n = 1,2,3,……)
11.(1)m(M+m1+m2)g=Ma1,a1=
(2)s1=v0t1-a1t12/2,t1=1s,
(3)m(M+m1+m2)gs1+m(M+m2)gs2+mMgs3=Mv02/2,s3=
12. ⑴a和b不受安培力,由机械能守恒,ΔEk=mgd1sinθ;⑵设棒刚进入无磁场区域(刚离开磁场区域)时的速度为v1,刚离开无磁场区域(刚进入磁场区域)时的速度为v2,由已知,每次进入、离开各区域的速度总是相同的。两棒每次进、出一个区域,系统初动能和末动能是相同的,由能量守恒,该阶段系统减少的重力势能全部转化为焦耳热,即Q=mg(d1+d2)sinθ;⑶每根棒在无磁场区域做匀加速运动,v2-v1=gtsinθ…①,v22-v12=2gd2sinθ…②,在有磁场区域以沿斜面向下为正方向用动量定理mgtsinθ-BlIt=m(v1-v2)…③,其中It=q,而,因此有…④,由②④得…⑤,由④⑤得
辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈9:
极限
第 I 卷
一 选择题(每小题5分,共60分)
1 某个命题与正整数有关,若时该命题成立,那么可推得时该命题也成立,现已知时,该命题不成立,则可以推得( )
A 时该命题成立 B 时该命题不成立
C 时该命题成立 D 时该命题不成立
2 下面四个命题中:
(1)若是等差数列,则的极限不存在;
(2)已知,当时,数列的极限为1或-1。
(3)已知,则。
(4)若,则,数列的极限是0。
其中真命题个数为( )
A 1
B
3 如果存在,则的取值范围是( )
A B C D
4 已知,那么数列在区间为任意小的正数)外的项有( )
A 有限多项 B 无限多项
C 0 D 有可能有限多项也可能无限多项
5 下列数列中存在极限的是( )
A B C D
6 ( )
A 1 B C D 2
7 ( )
A 1 B C D
8 已知,其中,则实数的取值范围是( )
A B C D
9 在等比数列中,且前项的和为切满足,则的取值范围是( )
A B C D
10 ( )
A
4
B
11 已知等比数列的公比为,则有,则首项的取值范围是( )
A B
C D
1. 已知定义在上的函数同时满足条件:①;②且 ③当时。若的反函数是,则不等式的解集为
( )
A B C D
第 II 卷
二 填空题
13 若,则____________
14 已知函数,若存在,则的值为_________,
15 设常数,展开式中的系数为,则_____。
16已知抛物线与轴交于点A,将线段OA的等分点从坐到右依次记为,过这些分点分别作轴的垂线,与抛物线的交点依次是 ,从而得到个直角三角形,当 时,这些三角形的面积之和的极限为_________
三 解答题
17 已知函数在处连续,求实数的值。
18 已知是首项为1,公差为的等差数列,其前项和为;是首项为1,公为的等比数列,其前项和为,设,若,
求实数和的值。
19 已知数列的通项公式为,记。
(1)写出数列的前四项。
(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明。
(3)令,求。
20 已知数列中,其前项和为,且满足。
(1)求数列的通项公式。
(2)若数列满足,为前项和,若,求实数的值。
21 若不等式对一切正整数都成立,求正整数 的最大值,并证明你的结论。
22 已知数列,与函数满足条件:。
(1)若,且存在,求实数的取值范围,并用表示。
(2)若函数为上的函数,,试证明对任意的。