0  506  514  520  524  530  532  536  542  544  550  556  560  562  566  572  574  580  584  586  590  592  596  598  600  601  602  604  605  606  608  610  614  616  620  622  626  632  634  640  644  646  650  656  662  664  670  674  676  682  686  692  700  3002 

高三物理二轮复习查漏补缺(三)

班次      姓名           学号    

 

1.有两条长直导线垂直水平纸面放置,交纸面于a、b两点,通有大小相等的恒定电流,方

向如图,a、b的连线水平。c是ab的中点,d点与c点关于b点对称。已知c点的磁感

应强度为B1,d点的磁感应强度为B2,则关于a处导线在d点的磁感应强度的大小及方向,

下列说法中正确的是(  )

A.B1/2 +B2,方向竖直向上     

B.B1/2-B2,方向竖直向下      

C.B1 +B2,方向竖直向下    

D.B1-B2,方向竖直向上

2.“井底之蛙”这个成语常被用来讽刺没有见识的人,现有井口大小和深度相同的两口井,一口是枯井,一口是水井(水面在井口之下),两井底各有一只青蛙(青蛙位于井

                 

A.枯井中青蛙觉得天比较小,水井中青蛙看到井外的范围比较大

B.枯井中青蛙觉得天比较大,水井中青蛙看到井外的范围比较小

C.枯井中青蛙觉得天比较大,水井中青蛙看到井外的范围比较大

D.两只青蛙觉得井口一样大,水井中青蛙看到井外的范围比较大

3. 如图所示,在点电荷Q形成的电场中,a、b两点在同一等势面上,c、d两点在另外同一等势面上,甲、乙两带电粒子的运动轨迹分别为acb和adb曲线.若两粒子通过a点时具有相同的动能,则(    )

A.甲、乙两粒子带异号电荷

B.甲粒子经过c点时与乙粒子经过d点时的动能相同

C.两粒子经过b 点时的动能相同

D.若取无穷远处为零电势,则甲粒子在c点的电势能大于乙粒子在d

点时的电势能

4. 用绝缘细线悬挂一个质量为m,带电荷量为+q的小球,让它处于右图所示的磁感应强度为B的匀强磁场中.由于磁场的运动,小球静止在图中位置,这时悬线与竖直方向夹角为 ,并被拉紧,则磁场的运动速度和方向是 (    )  

  A. ,水平向左      B.,竖直向下

  C.,竖直向上  D. ,水平向右

 

5. 铁路运输中设计的多种装置都运用了电磁感应原理。有一种电磁装置可以向控制中心传

输信号以确定火车的位置和运动状态。装置的原理是:将能产生匀强磁场的磁铁安装在火

车首节车厢下面,如图甲所示(俯视图),当它经过安放在两铁轨间的矩形线圈时,线圈

便产生一个电信号传输给控制中心。线圈长为l1,宽为l2,匝数为n。若匀强磁场只分布

在一个矩形区域内,当火车首节车厢通过线圈时,控制中心接收到线圈两端的电信号u

与时间t的关系如图乙所示(ab、cd均为直线),则火车在t1- t2内(   )

 

 

 

 

 

A.做加速度变化的直线运动         B.做匀速直线运动

C.加速度为            D.平均速度为

6. 如下图所示,两虚线之间的空间内存在着正交或平行的匀强电场E和匀强磁场B,有一个带正电小球(电量为+q,质量为m)从正交或平行的电磁复合场上方的某一高度自由落下,那么,带电小球可能沿直线通过下列哪个电磁复合场(      )

7.2008年9月25日我国成功发射了“神舟七号”载人飞船,随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了伴飞小卫星,若小卫星和飞船在同一圆轨道上,相隔一段距离一前一后沿同一方向绕行。下列说法正确的是       (     )

       A.由飞船的轨道半径、周期和引力常量,可以算出飞船质量

       B.小卫星和飞船的加速度大小相等

       C.航天员踏在飞船表面进行太空漫步时,对表面的压力等于航天员的重力

       D.飞船只需向后喷出气体,就可以和小卫星对接

8.如图,ABCD是一段竖直平面内的光滑轨道, AB段与水平面成α角,CD段与水平面成β角,其中BC段水平,且其长度大于L。现有两小球P、Q,质量分别是2mm,用一长为L的轻质直杆连结,将P、Q由静止从高H处释放,在轨道转折处用光滑小圆弧连接,不考虑两小球在轨道转折处的能量损失。则小球P滑上CD轨道的最大高度h为(   )

A.h=H    

B.

C.

D.

 

9.如图所示,M是水平放置的圆盘,绕过其圆心的竖直轴匀速转动,以经过O水平向右的方向作为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器,在t=0时刻开始随长传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动,速度大小为v。已知容器在t=0时滴下第一滴水,以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水。问:

(1)每一滴水经多长时间滴落到盘面上?(2)要使第3个水滴能够落到盘面上,圆盘半径R应满足什么条件?(3)若圆盘半径R足够大,第二滴水和第三滴水在圆盘上落点可能相距的最远距离为多少?此时圆盘转动的角速度至少为多少?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.如图甲所示,场强大小为E、方向竖直向上的匀强电场内存在一竖直平面内半径为R的圆形区域,O点为该圆形区域的圆心,A点是圆形区域的最低点,B点是最右侧的点。在A点有放射源释放出初速度大小不同、方向均垂直于场强向右的正电荷,电荷的质量为m,电量为q,不计重力。试求:

(1)电荷在电场中运动的加速度多大?

(2)运动轨迹经过B点的电荷在A点时的速度多大?

(3)某电荷的运动的轨迹和圆形区域的边缘交于P点,∠POA=θ,

请写出该电荷经过P点时动能的表达式。

(4)若在圆形区域的边缘有一接收屏CBD,C、D分别为接收屏上

最边缘的两点,如图乙,∠COB=∠BOD=30°。求该屏上接收到

的电荷的末动能大小的范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. 如图所示,足够长的两根光滑导轨相距0.5m竖直平行放置,导轨电阻不计,下端连接阻值为1Ω的电阻R,导轨处在匀强磁场B中,磁场的方向垂直于导轨平面向里,磁感应强度为0.8T。两根质量均为0.04kg、电阻均为0.5Ω的水平金属棒ab、cd都与导轨接触良好,金属棒ab用一根细绳悬挂,细绳允许承受的最大拉力为0.64N,现让cd棒从静止开始落下,直至细绳刚好被拉断,在此过程中电阻R上产生的热量为0.2J,g=10/s2。求:

(1)此过程中ab棒和cd棒分别产生的热量Qab和Qcd

(2)细绳被拉断时,cd棒的速度。

(3)细绳刚被拉断时,cd棒下落的高度。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.如图所示,在y轴竖直向上的直角坐标系中,电场、磁场的分布情况如下:

①在0<y<a口的区域内,存在沿x轴负向的匀强电场和垂直xoy平面向里的匀强磁场;

②在y<0区域内,存在沿y轴正向的匀强电场;

③在y<y1区域内,同时存在垂直xoy平面向外的匀强磁场;

各区域的电场、磁场强弱相同.一质量为m、电量为q带正电的小球,从xoy平面内的P点以初速v0向右抛出.小球进入0<y<α的复合场区沿直线运动,恰好过坐标原点,方向如图.如果小球能够第二次到达O点,m、a、v0、q、g为已知量,求:

(1)P点坐标;    (2)磁感应强度B;  

(3)小球两次通过O点经历的时间.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

高三物理二轮复习查漏补缺(三)答案

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

答案

B

C

AC

C

C

CD

B

B

9.解:1)……2分

2)第3滴水离开圆心,第4滴水离开圆心

……4分

3)当第2滴与第3滴落在同一直线上,且在圆心两侧时,相距最远……2分

……2分

两滴水落在盘面上的时间差t与圆盘周期T满足

 (n=0,1,2,3……)……2分

当n=0时,……2分

10.解:(1)a = (2分)

(2)由R= v0t,R =at2  及a = 三个式子可解得:v0 =(3分)

(3)Ek=Eq(R-Rcosθ)+m v′02,Rsinθ= v′0t,R-Rcosθ=at2及a = (3分)

得:Ek= EqR (5-3cosθ) (2分)

(4)由第(3)小题的结论可以看出,当θ从0°变化到180°,接收屏上电荷的动能逐渐增大,因此D点接收到的电荷的末动能最小,C点接收到的电荷的末动能最大。(1分)

EkD= EqR (5-3cos60°) =  EqR(1分)

EkC= EqR (5-3cos120°) =  EqR(1分)

所以,屏上接收到的电荷的末动能大小的范围为[ EqR,EqR ] (1分)

11. 解:(1)金属棒cd从静止开始运动直至细绳刚好被拉断的过程中有:

Qab =U2t/Rab      ①     QR=U2t/R         ②  

联立①②可得Qab=0.4J    ③ 

Qcd =I2Rcdt          ④     Qab + QR =I2RRabt/(Rab+R) ⑤

联立④⑤可得Qab =0.9J ⑥ 

(2) 细绳被拉断瞬时,对ab棒有:

Fm=mg+BIabL        ⑦  

又有IR=RabIab/R      ⑧    Icd=Iab+Icd            ⑨     

又由闭合欧姆定可得  BLv=Icd [Rcd+RabR/(Rab+R)]  ⑩  

联立⑦⑧⑨⑩可得v=1.88m/s ?  

(3)由功能关系得  Mgh= Q +mv2/2         ?

即可得h=3.93m        

12.(1)带电小球进入0<y<a区域时,速度方向如图甲,由此可知,vy =v0            

 小球由P点抛出做平抛运动. vy=gt        由①②可得t=

所以,水平位移s=     竖直位移h=

由小球沿直线运动可知,P点坐标为[]    ⑤

 (2)小球在0<y<a区域沿直线运动,一定是匀速直线运动,受力如图乙所示qE=mg    ⑥

  由qvB=  mg和v=     ⑦      解得B=    ⑧

  (3)小球在y<0区域内运动如图丙所示,先作匀速直线运动,后作匀速圆周运动,再做直线运动至O点,设其运动时间分别为t1、t2、t3,    ⑨

  由Loc=Lob=R,qvB= ,和Lob =vt1  ⑩ 

得t1 =     ⑾     T=    ⑿    t=    ⒀

分析知t3 = t1=,两次经过O点历时间为   t=2 t1 + t2=()   ⒁

 

 

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈9:

极限

第   I   卷

一 选择题(每小题5分,共60分)

1 某个命题与正整数有关,若时该命题成立,那么可推得时该命题也成立,现已知时,该命题不成立,则可以推得(    )

A 时该命题成立                             B 时该命题不成立

C 时该命题成立                             D 时该命题不成立

2 下面四个命题中:

  (1)若是等差数列,则的极限不存在;

  (2)已知,当时,数列的极限为1或-1。

  (3)已知,则

  (4)若,则,数列的极限是0。

其中真命题个数为(   )

A 1                     B 2                     C 3                      D 4

3 如果存在,则的取值范围是(   )

 A         B        C            D

4 已知,那么数列在区间为任意小的正数)外的项有(   )

   A 有限多项                        B 无限多项         

   C 0                               D 有可能有限多项也可能无限多项

5 下列数列中存在极限的是(  )

A     B       C        D

6 (     )

   A  1                  B                 C                       D 2

7 (  )

 A 1                  B                    C                    D

 

8 已知,其中,则实数的取值范围是(    )

   A          B      C         D

9 在等比数列,且前项的和为切满足,则的取值范围是(   )

A             B               C                D

10  (    )

A  4                B  8                C                    D

11 已知等比数列的公比为,则有,则首项的取值范围是(  )

A                           B

C                              D

1.      已知定义在上的函数同时满足条件:①;② ③当。若的反函数是,则不等式的解集为

(   )

A             B               C               D

 

 

 

 

第   II    卷

二 填空题

13 若,则____________

14 已知函数,若存在,则的值为_________,

15 设常数展开式中的系数为,则_____。

16已知抛物线轴交于点A,将线段OA的等分点从坐到右依次记为,过这些分点分别作轴的垂线,与抛物线的交点依次是 ,从而得到个直角三角形,当 时,这些三角形的面积之和的极限为_________

三 解答题

17 已知函数处连续,求实数的值。

 

 

 

18 已知是首项为1,公差为的等差数列,其前项和为是首项为1,公为的等比数列,其前项和为,设,若, 

求实数的值。

 

 

 

 

19 已知数列的通项公式为,记

(1)写出数列的前四项。

(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明。

(3)令,求

 

 

 

 

20 已知数列,其前项和为,且满足

(1)求数列的通项公式。

(2)若数列满足项和,若,求实数的值。

 

 

 

21 若不等式对一切正整数都成立,求正整数 的最大值,并证明你的结论。

 

 

22 已知数列与函数满足条件:

  (1)若,且存在,求实数的取值范围,并用表示

  (2)若函数上的函数,,试证明对任意的

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈8:

数学归纳法

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈7:

立体几何

高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.

 

    例1  四棱锥P―ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD.

    (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积;

    (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

    ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,

    ∴PA⊥DA,

    ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角,

      ∠PAB=60°.                

      而PB是四棱锥P―ABCD的高,PB=AB?tg60°=a,

     .                                    

(2)不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

      作AE⊥DP,垂足为E,连结EC,则△ADE≌△CDE,

      是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

          设AC与DB相交于点O,连结EO,则EO⊥AC,

                                       

      在

     故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.                   

    本小题主要考查线面关系和二面角的概念,以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.

 

(1)求证:AB­1⊥平面CED;

(2)求异面直线AB1与CD之间的距离;

(3)求二面角B1―AC―B的平面角.

讲解:(1)∵D是AB中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC,∴CD⊥AA1.

∴CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1, ∴AB1⊥平面CDE;

(2)由CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥DE

∵AB1⊥平面CDE  ∴DE⊥AB1

∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段

∵CE=,AC=1 , ∴CD=

(3)连结B1C,易证B1C⊥AC,又BC⊥AC ,

∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中,CE=,BC=AC=1,

∴∠B1AC=600

,  ∴,

 , ∴.

作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例3  如图a―l―是120°的二面角,A,B两点在棱上,AB=2,D在内,三角形ABD是等腰直角三角形,∠DAB=90°,C在内,ABC是等腰直角三角形∠ACB=

(I)                                                            求三棱锥D―ABC的体积;

(2)求二面角D―AC―B的大小;     

(3)求异面直线AB、CD所成的角.

   

  

  讲解:  (1) 过D向平面做垂线,垂足为O,连强OA并延长至E.

为二面角a―l―的平面角..

是等腰直角三角形,斜边AB=2.又D到平面的距离DO=

(2)过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO  为二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中,OA=2cos60°=1.且

  (3)在平在内,过C作AB的平行线交AE于F,∠DCF为异面直线AB、CD所成的角.  为等腰直角三角形,又AF等于C到AB的距离,即△ABC斜边上的高,

异面直线AB,CD所成的角为arctg

    比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看.

 

    例4

 

 

 

 

                        图①                        图②

 

   讲解:  设容器的高为x.则容器底面正三角形的边长为,

       

                .

    当且仅当 .

故当容器的高为时,容器的容积最大,其最大容积为

对学过导数的同学来讲,三次函数的最值问题用导数求解是最方便的,请读者不妨一试. 另外,本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关,还请做做对照. 类似的问题是:

    某企业设计一个容积为V的密闭容器,下部是圆柱形,上部是半球形,当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时,制造这个密闭容器的用料最省(即容器的表面积最小).

   例5 已知三棱锥P―ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,

D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E.

    (1)求证:AP⊥平面BDE;                

(2)求证:平面BDE⊥平面BDF;

(3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱锥

P―ABC所成两部分的体积比.

讲解:  (1)∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,∴PC⊥BD.

由AB=BC,D为AC的中点,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC. 又PA平面、PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE.

  (2)由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点,得DF//AP.

由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF. BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.

DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF.

  (3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2.则

           h1∶h2=EP∶AP=2∶3,

    

    故截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1

值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误.

例6  已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截,若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)

为p的抛物线.

(1)求圆锥的母线与底面所成的角;

(2)求圆锥的全面积.

    讲解: (1)设圆锥的底面半径为R,母线长为l,

由题意得:,

,

所以母线和底面所成的角为

(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON,其中O为截面与

AC的交点,则OO1//AB且

在截面MON内,以OO1所在有向直线为y轴,O为原点,建立坐标系,则O为抛物的顶点,所以抛物线方程为x2=-2py,点N的坐标为(R,-R),代入方程得

R2=-2p(-R),得R=2p,l=2R=4p.

∴圆锥的全面积为.

将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题:

     一圆柱被一平面所截,截口是一个椭圆.已知椭圆的

长轴长为5,短轴长为4,被截后几何体的最短侧面母     

线长为1,则该几何体的体积等于         

 

   例7 如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a, DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.

(2)求证:AF⊥BD;

 (3) 求二面角B―FC―G的正切值.

讲解: ∵F、G分别为EB、AB的中点,

∴FG=EA,又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC,

    ∴四边形FGCD为平行四边形,∴FD∥GC,又GC面ABC,

    ∴FD∥面ABC.

(2)∵AB=EA,且F为EB中点,∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA,EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC,AB边的中点,∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC,∴AF⊥FD  ②

由①、②知AF⊥面EBD,又BD面EBD,∴AF⊥BD.

    (3)由(1)、(2)知FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面GCF.

过G作GH⊥FC,垂足为H,连HB,∴HB⊥FC.

∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.

易求.

    例8  如图,正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为1,P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且

D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

 

(1) 求证PQ∥平面CDD1C1

 

 

 (2) 求证PQ⊥AD;

 

 

 (3) 求线段PQ的长.

讲解:  (1)在平面AD1内,作PP1∥AD与DD1交于点P1,在平面AC内,作

QQ1∥BC交CD于点Q1,连结P1Q1.

    ∵ ,     ∴PP1QQ1 .?

由四边形PQQ1P1为平行四边形,   知PQ∥P1Q1? ?

而P1Q1平面CDD1C1,  所以PQ∥平面CDD1C1?

(2)AD⊥平面D1DCC1,    ∴AD⊥P1Q1,?

又∵PQ∥P1Q1,   ∴AD⊥PQ.?

(3)由(1)知P1Q1 PQ,

,而棱长CD=1.     ∴DQ1=.  同理可求得 P1D=.

在Rt△P1DQ1中,应用勾股定理, 立得

P1Q1=.?

做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q分别是BD,上的动点,试求的最小值, 你能够应用函数方法计算吗? 试试看. 并与如下2002年全国高考试题做以对照, 你会得到什么启示?

如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=

(1)       求MN的长;

(2)       当为何值时,MN的长最小;

(3)       当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关.

 

 

 

 

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈6:

几何题

    高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,  这点值得考生在复课时强化.

 

    例1  已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t  (0<t<1),以AB为直腰作直角梯形,使垂直且等于AT,使垂直且等于BT,交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线的方程;

   (2)计算出点P、Q的坐标;

   (3)证明:由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q.                  

 

   讲解:  通过读图,  看出点的坐标.

(1 ) 显然,  于是 直线

的方程为

   (2)由方程组

解出  ;               

   (3),

 

        .

   由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.

    需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2  已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.

   讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方程,

   由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为

代入椭圆方程

         

化简后,得关于的一元二次方程

            

于是其判别式

由已知,得△=0.即  ①

在直线方程中,分别令y=0,x=0,求得

 令顶点P的坐标为(x,y),  由已知,得

 代入①式并整理,得 ,  即为所求顶点P的轨迹方程.

    方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

   例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是

 (1)求双曲线的方程;

 (2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.

  讲解:∵(1)原点到直线AB:的距离.

     故所求双曲线方程为

(2)把中消去y,整理得 .

     设的中点是,则

    

  

故所求k=±.

为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.

   例4 已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12.

  (1)求椭圆C的离心率;

  (2)求椭圆C的方程.

   讲解:(1)设, 对 由余弦定理, 得

 

解出  

 (2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况:

   i) 当k存在时,设l的方程为………………①

  椭圆方程为

 由   得   .

于是椭圆方程可转化为  ………………②

将①代入②,消去得     ,

整理为的一元二次方程,得       .

则x1、x2是上述方程的两根.且

也可这样求解:

 

AB边上的高

  

ii) 当k不存在时,把直线代入椭圆方程得

 

由①②知S的最大值为  由题意得=12  所以   

  故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣:

设过左焦点的直线方程为:…………①

(这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.)

椭圆的方程为:

得:于是椭圆方程可化为:……②

把①代入②并整理得:

于是是上述方程的两根.

,

AB边上的高,

从而

     

当且仅当m=0取等号,即

    由题意知,  于是  .

    故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:

   例5  已知直线与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线上.

(1)求此椭圆的离心率;

(2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上,求此椭圆的方程.

 

   讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为

,   

根据韦达定理,得            

  

 ∴线段AB的中点坐标为(). 

 由已知得

  故椭圆的离心率为 .

 (2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为关于直线的对称点为

解得     

由已知得

故所求的椭圆方程为 .

   例6   已知⊙M:轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点,

   (1)如果,求直线MQ的方程;

   (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.

文本框:     讲解:(1)由,可得由射影定理,得   在Rt△MOQ中,

 

    故

    所以直线AB方程是

  (2)连接MB,MQ,设

点M,P,Q在一直线上,得

由射影定理得

把(*)及(**)消去a,并注意到,可得

   适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙.

    例7   如图,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC=。DO⊥AB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.

(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;

(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设

 

 

                       

   试确定实数的取值范围.

讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 .                                     

    ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |                                        y

 C

A     O         B

                                                                                 

∴曲线E的方程是  .

   (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程,得

       

设M1,  则

 

 

i)  L与y轴重合时,                         

ii)  L与y轴不重合时,

  由①得  

  又∵,

  或 

∴0<<1 ,                                           

 

.                 

  ∴

                           

,

的取值范围是 .   

    值得读者注意的是,直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.

    例8  直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A两点.

   (1)求证:;

   (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.

                

  讲解: (1)易求得抛物线的焦点.

  若l⊥x轴,则l的方程为.

若l不垂直于x轴,可设,代入抛物线方程整理得             .

综上可知  .

(2)设,则CD的垂直平分线的方程为

假设过F,则整理得

     

.

这时的方程为y=0,从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点,因此与l不重合,l不是CD的垂直平分线.

    此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累,能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本!

 

    例9 某工程要将直线公路l一侧的土石,通过公路上的两个道口A和B,沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省工?

    讲解: 以直线l为x轴,线段AB的中点为原点对立直角坐标系,则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点,设这样的点为M,则

      |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即   |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50,

,

∴M在双曲线的右支上.

故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处,曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处,按这种方法运土石最省工.

相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及,其实在课本中还可找到典型的范例,你知道吗?

解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.

 

 

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈5:

应用型问题

    数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式,排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.

    例1某校有教职员工150人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计,每次去健身房的人有10%下次去娱乐室,而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定?

讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.

设第n次去健身房的人数为an,去娱乐室的人数为bn,则.

.

,于是

即      .

.故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在100人左右.

上述解法中提炼的模型, 使我们联想到了课本典型习题(代数下册P.132第34题)

已知数列的项满足

           

其中,证明这个数列的通项公式是

 

有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.

    例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时(4≤V≤20)从A港出发前往50千米处的B港,然后乘汽车以匀速W千米/小时(30≤W≤100)自B港向300千米处的C市驶去,在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时,若所需经费元,那么V、W分别为多少时,所需经费最少?并求出这时所花的经费.

    讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.

由于

则z最大时P最小.

作出可行域,可知过点(10,4)时, z有最大值38,

    ∴P有最小值93,这时V=12.5,W=30.

    视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.

    例3 某铁路指挥部接到预报,24小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无一失,指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算,其工程量除现有施工人员连续奋战外,还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是,除了有一辆车可以立即投入施工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔20分钟有一辆车到达并投入施工,而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程?并说明理由.

讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.

由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知,每辆车,每小时的工作效率为,设从第一辆车投入施工算起,各车的工作时间为a1,a2,…, a25小时,依题意它们组成公差(小时)的等差数列,且

,化简可得.

解得.

可见a1的工作时间可以满足要求,即工程可以在24小时内完成.

对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈4:

开放型问题

        数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.

例 1 设等比数列的公比为  ,前 项和为 ,是否存在常数 ,使数列 也成等比数列?若存在,求出常数;若不存在,请  明 理 由.

   讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.

   设存在常数, 使数列 成等比数列.

          

    

     (i) 当  时, 代入上式得

          即=0

, 于是不存在常数 ,使成等比数列.

     (ii) 当 时,, 代 入 上 式 得

    .

       综 上 可 知 ,  存 在 常 数 ,使成等比数列.

   等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !

例2  某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.

(1)写出y与x之间的函数关系式;

(2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值);

 (3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种:

 (i )当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;

     (ii )当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.

讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.

   (1)

            =.                                    

   (2)解不等式  >0,

得       <x<.

∵ x∈N,  ∴ 3 ≤x≤ 17.

故从第3年工厂开始盈利.

(3)(i) ∵ ≤40

当且仅当时,即x=7时,等号成立.

∴ 到2008年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利12×7+30=114万元.

(ii)  y=-2x2+40x-98= -2(x-10)2 +102,

当x=10时,ymax=102.

故到2011年,盈利额达到最大值,工厂共获利102+12=114万元.

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈3:

代数推理

数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.

    例1  设函数,已知,时恒有,求a的取值范围.

     讲解: 由

         ,

从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.

当直线与半圆相切时,易求得舍去).

.

本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.

还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.

    例2 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立,试确定a的取值范围.

    讲解: 构造函数,易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函数.

    ∵n是大于1的 正整数,

对一切大于1的正整数恒成立,必须,

这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.

    例3  已知函数在区间[-b,1-b]上的最大值为25,求b的值.

    讲解: 由已知二次函数配方, 得

     时,的最大值为4b2+3=25. 

          

      上递增,

       

      上递增,

         .

       关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间[-b,1-b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.

   例4已知

    的单调区间;

    (2)若

    讲解: (1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形  , 得 ,

    (2)首先证明任意

事实上,

     而

   

           

     

      .

     函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题  型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!

     例5  已知函数f(x)=(a>0,a≠1).?

(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称.?

(2) 令an,对一切自然数n,先猜想使an>n成立的最小自然数a,并证明之.?

(3) 求证:∈N).

讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.

设M(x,y)是f(x)图象上任一点,则M关于P()的对称点为M’(1-x,1-y),?

   

∴M′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上,

故函数f(x)的图象关于点P()对称.?

(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式,化简可得an=a猜a=3,

即3>n.?

下面用数学归纳法证明.?

设n=k(k≥2)时,3>k.?

那么n=k+1,3+1>3?3>3k?

又3k-(k+1)=2(k-≥0(k≥2,k∈N)?

∴3>n.?

(3)∵3>k?

∴klg3>2lgk?

令k=1,2,…,n,得n个同向不等式,并相加得:

函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.

    例6 已知二次函数,设方程的两个实根为x1和x2.

   (1)如果,若函数的对称轴为x=x0,求证:x0>-1;

   (2)如果,求b的取值范围.

讲解:(1)设,由, 即

            

(2)由同号.

①若.

,负根舍去)代入上式得

,解得

②若4a-2b+3<0.

同理可求得.

    故当

    对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.

   例7 对于函数,若存在成立,则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0,2,且

   (1)求函数的解析式;

   (2)已知各项不为零的数列,求数列通项

   (3)如果数列满足,求证:当时,恒有成立.

  讲解:  依题意有,化简为 由违达定理, 得

               

解得 代入表达式,由

不止有两个不动点,

 

(2)由题设得     (*)

          (**)

由(*)与(**)两式相减得:

   

 

解得(舍去)或,由,若这与矛盾,,即{是以-1为首项,-1为公差的等差数列,

  (3)采用反证法,假设则由(1)知

,有

,而当这与假设矛盾,故假设不成立,.

  关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:

  由<0或

  结论成立;

  若,此时从而即数列{}在时单调递减,由,可知上成立.

     比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.

    例8 设a,b为常数,:把平面上任意一点

 (a,b)映射为函数

   (1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数;

   (2)证明:当,这里t为常数;

   (3)对于属于M的一个固定值,得,在映射F的作用下,M1作为象,求其原象,并说明它是什么图象.

    讲解: (1)假设有两个不同的点(a,b),(c,d)对应同一函数,即相同,

对一切实数x均成立.

特别令x=0,得a=c;令,得b=d这与(a,b),(c,d)是两个不同点矛盾,假设不成立

故不存在两个不同点对应同函数.

(2)当时,可得常数a0,b0,使

=

由于为常数,设是常数.

从而.

(3)设,由此得

在映射F之下,的原象是(m,n),则M1的原象是

.

消去t得,即在映射F之下,M1的原象是以原点为圆心,为半径的圆.

    本题将集合, 映射, 函数综合为一体, 其典型性和新颖性兼顾, 是一道用“活题考死知识”的好题目, 具有很强的训练价值.

例9  已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.

   (1)求f(1)的值;

   (2)证明:对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t;

   (3)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.

讲解 (1)为求f(1)的值,需令

.

.

   (2)令(※)

.

,

,

于是对于一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t.

   (3)由※及(1)可知.

下面证明当整数.

(※)得

……,

将诸不等式相加得

   .

综上,满足条件的整数只有t=1,.

本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧,这种赋值法在2002年全国高考第(21)题中得到了很好的考查.

例10  已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,且满足x、y∈(-1,1) 有

(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;

(2)对数列

(3)求证

    讲解  (1)令

            令 为奇函数. 

   (2), 

    是以-1为首项,2为公比的等比数列.

              

  (3)

              

 而  

     

    本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题,是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中,化归出等比(等差)数列是数列问题常用的解题方法.

 

试题详情

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网