22．(本小题满分14分)

　　　 设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当x∈[ 2，3 ] 时， 2²²²3³．

　　　 (1)求的解析式；

　　　 (2)若在上为增函数，求的取值范围；

　　　 (3)是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x³；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x³，

　　 ∴…………………………………………………4分

　　 (2)由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x²＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x²，从而a＞(6x²)_max=6．…………………………………………………8分

　　 (3)因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x³在x∈的最大值．

　　　 令=2a-12x²=0，得．…………10分　　 若∈，即0＜a≤6，则

　　　 ，

　　　 故此时不存在符合题意的；

　　　 若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．

　　　　　 令2a-4=12，故a=8．　　　 综上，存在a = 8满足题设．……………………………14分

21．(本小题满分12分)等比数列的首项为，公比．

(1)设表示该数列的前n项的积，求的表达式；

(2)当n取何值时，有最大值．

解　 (1)，．………………………………4分

(2)∵，

∴当n≤10时，＞1，∴ | f(11) |＞| f(10) |＞…＞| f(1) |；6分

当n≥11时，＜1，∴ | f(11) |＞| f(12) |＞…．………………8分

∵，∴的最大值为或中的最大者．10分

∵，

∴ 当n=12时，有最大值为．………………………12分

20．(本小题满分12分)

　　　 是以为焦点的双曲线C：(a＞0，b＞0)上的一点，已知，．

　　　 (1)试求双曲线的离心率；

　　　 (2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P₁、P₂两点，当，= 0，求双曲线的方程．

解　 (1)∵，，　 ∴，．　

　　 ∵=0，∴(4a)²+(2a)²=(2c)²，∴．………………………………4分

　　 (2)由(1)知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为．…5分

　　 设P₁(x₁，2x₁)，P₂(x₂，-2x₂)，P(x，y)．

　　 ∵，∴． ∵，∴………8分

　　 ∵点P在双曲线上，∴．

　　 化简得，．∴．∴ ．　 ∴双曲线的方程为．……12分

17．方法一：(I)证明：

　　 又平面平面ABCD

　　 平面平面ABCD＝BC，平面ABCD　　　　　　　　 ……2分

　　 在梯形ABCD中，可得

　　 ，即

　　 在平面ABCD内的射影为AO，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …4分

　　 (II)解：，且平面平面ABCD

　　 平面PBC　　 　　 平面PBC，

　　 为二面角P-DC-B的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　　 是等边三角形即二面角P-DC-B的大小为 …8分

　(III)证明：取PB的中点N，连结CN

　　 　①

　　 ，且平面平面ABCD

　　 平面PBC　　 ……10分

　　 平面PAB　　 平面平面PAB　 ②

　　 由①、②知平面PAB…………..10分

　　 连结DM、MN，则由MN//AB//CD

　　 ，得四边形MNCD为平行四边形

　　　　　 　　 平面PAB　　　　　　　　　　　　　　

平面PAD　　 平面平面PAB ……………….12分

方法二：

　　 取BC的中点O，因为是等边三角形，

　　 由侧面底面ABCD　　 得底面ABCD ……1分

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz……2分

(I)证明：，则在直角梯形中，

　　 在等边三角形PBC中，……3分

　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　　 ，即……6分

　(II)解：取PC中点N，则

　　 平面PDC，显然，且平面ABCD

　　 所夹角等于所求二面角的平面角　　　　　　　　　　　　 ……8分

　　 　　　二面角的大小为　　　　　 ……10分

(III)证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为

　　 又　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

　　 即

　　 平面PAB，平面平面PAB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

19．(本小题满分12分)

．　　 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E.

　　 (I)求证：；

　　 (II)求二面角的大小；

(III)求证：平面平面PAB.、

18．(本小题满分12分)

对某种赌博游戏调查后，发现其规则如下：摊主在口袋中装入8枚黑和8枚白的围棋子，参加者从中随意一次摸出5枚，摸一次交手续费1元，而中彩情况如下：

　　 现在我们试计算如下问题：

　 (1)求一次获得20元彩金的概率；(结果用最简分数表示)

　 (2)分别求一次获2元和纪念奖的概率；(结果用最简分数表示)

(3)如果有1000次摸奖，摊主赔钱还是挣钱？是多少元？(精确到元)

　 解：(1)一次摸奖中20元彩金的概率，可见可能性很小……4分

　　 (2)一次中2元彩金的概率　 ；……6分

　　 而中纪念奖概率　　　　　 ……8分

　　 (3)摊主赔钱还是挣钱由其支付完奖金余额决定，1000次收手续费1000元

　 预计支付20元奖需元；

支付2元奖需元；

　　 支付纪念奖需

　　 则余额　 元

　　 答：摊主应挣钱308元。　　　　　 …………12分

(3)另解：摸奖一次得到奖金ξ元，则随机变量ξ的分布列为：

所以，

所以摊主挣钱，钱数为元。

17．(本小题满分12分)已知 ，．

　　　 (1)求的值；　　　　　　　　　　　　 (2)求的值．

解　 (1)将已知两式平方相加得，故．………7分

　　　 (2)∵，∴． ∴．……12分

16．若，且，则的值是　　 11　　　 ．

答　 由≥10，得　 lg()≥lg10=1，即(lgx)²+(lgy)²≥1= (lgx+lgy)²，于是2lgxlgy≤0，从而lgx与lgy中必有一个为0，即x与y中必有一个为1，因而另一个为10．

15．为等差数列的前n项和，若，则=　　　　　　　 　．

　　 答　 由，即 ，得．

　　 ，．故=4．

14．对2×2数表定义平方运算如下：

　　　 ．　 则　　 ．答 　．