摘要：27．情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开.得到△ABC和△A′C′D.如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合.并绕点A按逆时针方向旋转.使点D.A(A′).B在同一条直线上.如图2所示．观察图2可知:与BC相等的线段是 ▲ .∠CAC′= ▲ °．问题探究如图3.△ABC中.AG⊥BC于点G.以A为直角顶点.分别以AB.AC为直角边.向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF.过点E.F作射线GA的垂线.垂足分别为P.Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系.并证明你的结论. 拓展延伸如图4.△ABC中.AG⊥BC于点G.分别以AB.AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF.射线GA交EF于点H. 若AB= k AE.AC= k AF.试探究HE与HF之间的数量关系.并说明理由. [答案]解:情境观察 AD(或A′D).90 问题探究 结论:EP=FQ. 证明:∵△ABE是等腰三角形.∴AB=AE.∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC.∴∠BAG+∠ABG=90°.∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG.∴∠AGB=∠EPA=90°.∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论: HE=HF. 理由:过点E作EP⊥GA.FQ⊥GA.垂足分别为P.Q. ∵四边形ABME是矩形.∴∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC.∴∠BAG+∠ABG=90°. ∴∠ABG=∠EAP. ∵∠AGB=∠EPA=90°.∴△ABG∽△EAP.∴ = . 同理△ACG∽△FAQ.∴ = . ∵AB= k AE.AC= k AF.∴ = = k.∴ = . ∴EP=FQ. ∵∠EHP=∠FHQ.∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF [考点]拼图.旋转.矩形性质.直角三角形两锐角关系.等量代换.全等三角形的判定和性质.相似三角形的判定和性质. [分析]情境观察:易见与BC相等的线段是AD.它们是矩形的对边. ∠C′AC=1800-∠C′AD-∠C′AB=1800-900=900. 问题探究:找一个可能与EP和FQ都相等的线段AG.考虑Rt△ABG≌Rt△EAP.这用ASA易证.得出EP=AG.同样考虑Rt△ACG≌Rt△FAQ.得出FQ=AG.从而得证. 拓展延伸:与问题探究相仿.只不过将全等改为相似.证出FQ=AG.再证 Rt△EPH≌Rt△FQH.从而得证.

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_495111[举报]