平角应用四例
徐金星
1. 延长线段构造平角
例1 如图1，AB//CD。求证：
证明：延长CE交AB于点F
因为AB//CD 所以
C=CFA
2. 过某点作直线构造平角
例2 如图2，已知
，求证：
。
证明：过点A作DE//BC，则
3. 过直线上一点作射线构造平角
例3 如图3，已知，求证：
证明：在BC上取一点D（点D不与B、C重合），过点D分别作DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F
因为DE//AC
所以1=C，2=4
因为DF//AB 所以4=A
所以2=A
4. 反向延长射线构造平角
例4 如图4，
，OD为BOC的平分线，OE为BO的延长线。
求证：COE=2AOB。
证明：反向延长射线AO得射线OF
因为AOD为直角，AOF为平角
平行线判定和性质结论识辨
任静芳
学习平行线的判定和性质时，对于如图1所示的直线a、b被直线c所截的情况，由∠1＝∠2得a∥b或者由a∥b得∠2＝∠3（或∠2＋∠4＝180°）很容易接受，但在较复杂图形中，则往往弄不清由条件能得出什么结论。
问题1：如图2，由∠1＝∠2能得AB∥CD还是AD∥BC？
问题2：如图2，由AB∥CD能得∠1＝∠2还是∠3＝∠4？
解析：问题1：（1）首先找出已知条件的两个角：∠1、∠2。
（2）其次找出它们的边，划掉公共边（或处在一条直线上的两边）：
∠1的边 DA，DB
∠2的边 BD，BC
（3）其余两边便是由∠1＝∠2推得的两条平行直线。
即∵∠1＝∠2（已知）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
问题2：由AB∥CD首先找出AB、CD被哪条直线所截能得到∠1、∠2、∠3、∠4，可以看出这条直线是BD；其次由AB与BD得到∠4而不是∠2，由CD与BD得到∠3而不是∠1。即因为AB∥CD，所以∠3＝∠4（而不是∠1＝∠2）。
评注：产生上面两个问题的原因还是“三线八角”的遗留问题，即找出构成“八角”的“三线”中的截线是哪条直线，就不难找出所需要的角。
平行线分线段成比例定理的应用
黄细把
平行线分线段成比例定理及其有关推论，除了证明线段成比例和等积外，还可以证明其他一些线段问题。请看如下例题：
例1. 如图1，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且
。
求证：AD＝EB
证明：过D作DG∥AB交BC于G
∵DG∥AB，FB∥DG
例2. 如图2，△ABC中，D、F在AB上，且AD＝BF，DE∥BC交AC于E，FG∥BC交AC于G。
求证：DE＋FG＝BC
证明：∵DE∥BC，FG∥BC
例3. 如图3，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M为AD的中点，CM的延长线交AB于K。
求证：AB＝3AK
证明：过B作BG∥KM交AD延长线于G
于D
∴BD＝CD，MD＝GD
∵AD＝2AM
例4. 如图4，△ABC中，D为BC上任一点，BE∥AD交CA延长线于E，CF∥AD交BA延长线于F。
求证：
证明：∵AD∥BE，AD∥CF
巧用方程组的解的意义解题
吴健
已知关于x、y的方程组
和
，有相同的解，求a、b的值。
分析：既然两个方程组的解相同，那么方程
与
的解也应该相同；由这两个方程可求得x、y的值，然后再代入
中，解关于a、b的二元一次方程组，便可求得a、b的值。
解：由于
有相同的解，所以该相同的解应是方程组
（1）与
（2）的解，解方程组（1）得
，然后把
代入方程组（2），得
，解得
。故a、b的值分别是2和1。
同学们仿此例可利用方程组的解的意义解以下几题：
1. 已知关于x、y的方程组
和
的解相同，求a、b的值。
（答案：
）
2. 若方程组
与方程组
的解相同。则
的值是多少？？
（答案：1）
对角线互相垂直的四边形的面积
张现立
对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的积的一半。下面我们证明这个结论。
已知：四边形ABCD中，对角线
于E，如图1。
求证：
图1
证明：在四边形ABCD中，于E
所以
对于对角线互相垂直的四边形的面积求解问题，这是一个十分方便的公式。
例1. 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，
的周长为
，求菱形ABCD的面积。（如图2）
图2
解：在菱形ABCD中，
因为
，所以
设
，则
所以
解得
所以
所以
所以
例2. 等腰梯形ABCD的两条对角线互相垂直，垂足为O，梯形的高为a，求梯形ABCD的面积。
解：设梯形ABCD的腰为AB、CD，则
，
，BC＝CB（如图3）
图3
所以
所以
又因为于O，所以在
中，
过点D作
于E，则
为等腰直角三角形，故
所以
例3. 如图4，已知：在
中，BD和CE分别是两边上的中线，并且
，求的面积。
图4
解：连结DE，则四边形BCDE的面积为
又因为
所以
例4. 如图5，已知：在边长为4cm的正方形ABCD中，取CD的中点E，G在BC上，F在AD上，
，求四边形AGEF的面积。
图5
解：在
中，
所以
过G点作
，垂足为H
因为，所以
从而
又因为
所以
所以
故
例5. 已知梯形ABCD中，
，如图6，求
。
图6
解：过D作DE//AC交BC的延长线于点E，所以四边形ADEC是平行四边形。
所以
因为
所以
所以
又因为DE//AC，所以
所以
定义的应用
杨志彬
数学概念的学习往往容易被忽略，其实数学概念是极其重要的数学内容，有些概念的定义本身就可以解决一些问题，下面举例说明。
1. 若单项式
与
是同类项，则
=____________。
2. 若b<0，化简
。
3. 若最简根式
是同类二次根式，则m，n的值为______。
4. 若
，则关于x的二次方程
，必有一根等于_________；若
，情况又如何？
5. 设反比例函数
的图象与直线
有两个交点A、B，求n的值和A、B两点的坐标。
6. 下列图象所表示的y与x间的关系中，y不是x的函数的有_________。
提示：
1. 用同类项定义。答案：
。
2. 考察根式的定义。答案：
。
3. 考察最简二次根式的定义。答案：6，8。
4. 考察方程根的定义。答案：1；。
5. 用反比例函数定义。
答案：
6. 用函数的定义。答案（B）、（C）。
完全平方公式变形的应用
姜峰
完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。
一. 完全平方公式常见的变形有
a2+b2=（a+b）2-2ab，
a2+b2=（a-b）2+2ab，
（a+b）2-（a-b）2=4ab，
a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）
二. 乘法公式变形的应用
例1： 已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。
分析：逆用完全乘方公式，将
x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x与y的值即可。
解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，
（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，
即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴xy=（-2）3=-8。
分析：本题巧妙地利用
例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。
分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a+b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。
解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。
即：（a-b）2+4c2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c）2002=0。
例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求证：a=b=c=d。
分析：从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。
证明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，
∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，
（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。
a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0
又∵a、b、c、d为正有理数，
∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，
得a2=c2，即a=c。
所以有a=b=c=d。
练习：
1. 已知：x2+3x+1=0。
2. 已知x，y，z满足条件
求：（1）x2+y2+z2
（2）x4+y4+z4的值
3. 已知：x=a2+b2，y=c2+d2。
求证：x，y可表示成平方和的形式。
4. 已知：ad-bc=1
求证：a2+b2+c2+d2+ad+cd≠1。