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2009中考语文模拟试卷
（满分１５０分，１２０分钟完卷）
班级 姓名 得分
题号
一
二
三
四
总分
评卷人
（一）
（二）
（一）
（二）
2009届高考数学压轴题预测
专题六 导 数
1.
设函数
，（1）若当
时，
取得极值，求
的值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于
．
解析：（1）
，依题意有
，故
．
从而
．
的定义域为
，当
时，
；
当
时，
；当
时，．
从而，分别在区间
单调增加，在区间
单调减少．
（2）的定义域为
，
．
方程
的判别式
．
①若
，即
，在的定义域内，故的极值．
②若
，则
或
．若
，
，
．
当
时，
，当
时，，所以无极值．若，
，
，也无极值．
③若
，即
或
，则有两个不同的实根
，
．
当时，
，从而
有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，
，
，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在
取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为
．的极值之和为
．
答案： （1）；（2）见详解。
点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用。
2. 已知函数
处取得极值2。
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）当m满足什么条件时，在区间
为增函数；
（Ⅲ）若
图象上任意一点，直线
的图象切于P点，求直线L的斜率的取值范围。
解：（Ⅰ）
由已知
（Ⅱ）
又在
）
（Ⅲ）直线I在P点的切线斜率
令
当
）
3.
设
是
的两个极值点，
的导函数是
（Ⅰ）如果
，求证：
；
（Ⅱ）如果
，求
的取值范围
；
（Ⅲ）如果
，且
时，函数
的最小值为
，求的最大值。
（I）证明：
是方程
的两个根 1分
由且
得
2分
得
3分
（Ⅱ）解：由第（1）问知
由
，两式相除得
即
4分
①当
时，由
即
， 
5分
令函数
，则
在
上是增函数
当时，
，即
7分
②当
时，
即
令函数
则同理可证
在
上是增函数
当
时，
综①②所述，的取值范围是
（Ⅲ）解：
的两个根是 ，可设
10分
又
g(x) 
当且仅当
，即
时取等号
当时，
在
上是减函数
2009届高考数学压轴题预测
专题1 函数
考点一：函数的性质与图象
1. 已知
，函数
。设
，记曲线
在点
处的切线为
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)设与
轴交点为
。证明：
① 
；
② 若
，则
(Ⅰ)分析：欲求切线的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线在点的一阶导数值。
解：求
的导数：
，由此得切线的方程：
。
(Ⅱ)分析：①要求
的变化范围，则须找到使产生变化的原因，显然，变化的根本原因可归结为
的变化，因此，找到与的等量关系式，就成；②
欲比较与的大小关系，判断它们的差的符号即可。
证：依题意，切线方程中令y＝0，
.
①
由
.
②
。
点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。
考点二：二次函数
2. 已知二次函数
，设方程
的两个实数根为
和
.
(1)如果
，设函数的对称轴为
，求证：
；
(2)如果
，
，求
的取值范围.
分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解：设
，则
的二根为和.
(1)由及，可得 
，即
，即
两式相加得
，所以，;
(2)由
，
可得 
.
又
，所以
同号.
∴ ，等价于
或
，
即 
或
解之得 
或
.
点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。
考点三：抽象函数
3. A是由定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合：①对任意
，都有
； ②存在常数
，使得对任意的
，都有
(Ⅰ)设
，证明：
(Ⅱ)设，如果存在
，使得
，那么这样的
是唯一的;
(Ⅲ)设，任取
，令
证明:给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式
解：对任意，
，
，
，所以
对任意的，
，
，
所以0＜
，
令＝
，
，
所以
反证法:设存在两个
使得，
则
由
，得
，所以
，矛盾，故结论成立。
，所以
＋…
点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。
考点四：函数的综合应用
4.
设函数
．
(Ⅰ)求的最小值
；
(Ⅱ)若
对
恒成立，求实数
的取值范围．
解：(Ⅰ)
，
当
时，取最小值
，
即
．
(Ⅱ)令
，
由
得
，
(不合题意，舍去)．
当
变化时
，
的变化情况如下表：
(0，1)
(1，2)
递增
极大值
递减
在
内有最大值
．
在内恒成立等价于
在内恒成立，
即等价于
，
所以的取值范围为
．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．
5. 乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.
① 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.
解：(读题)由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
(建模)有y＝(a＋bv
)
(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数关系式是：
y＝S(
＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .
整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋
)，
由函数y＝x＋
(k＞0)的单调性而得：
当
＜c时，则v＝时，y取最小值；
当≥c时，则v＝c时，y取最小值.
综上所述，为使全程成本y最小，当＜c时，行驶速度应为v＝；当≥c时，行驶速度应为v＝c.
点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.
6.
设函数
.
(1)在区间
上画出函数
的图像；
(2)设集合
. 试判断集合
和
之间的关系，并给出证明；
(3)当
时，求证：在区间
上，
的图像位于函数图像的上方.
解：(1)
(2)方程
的解分别是
和
，由于在
和
上单调递减，在
和
上单调递增，因此
.
由于
.
(3)[解法一] 当
时，
.
，
. 又
，
①
当
，即
时，取
，
.
，
则
.
②
当
，即
时，取
， ＝
.
由 ①、②可知，当时，
，.
因此，在区间上，
的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.
由
得
，
令 
，解得
或
，
在区间上，当时，
的图像与函数的图像只交于一点
；
当时，
的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点
，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
7.
设f(x)＝3ax
，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且－2＜
＜－1；
(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根.
(I)证明：因为
，所以
.
由条件
，消去，得
；
由条件，消去
，得
，
.
故
.
(II)抛物线
的顶点坐标为
，
在的两边乘以
，得
.
又因为
而
所以方程
在区间
与
内分别有一实根。
故方程在
内有两个实根.
8.
已知定义域为
的函数
是奇函数。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
解：(Ⅰ)因为是奇函数，所以
＝0，即
又由f(1)＝ －f(－1)知
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知
，易知在
上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于
，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：
，
从而判别式
解法二：由(Ⅰ)知
．又由题设条件得： 
，
即 ：
，
整理得 
上式对一切均成立，从而判别式
9.
设函数f(x)＝
其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
解：(Ⅰ)的定义域为
，
恒成立，
，
，即当
时的定义域为．
(Ⅱ)
，令
，得
．
由
，得
或
，又
，
时，由
得
；
当
时，
；当
时，由得
，
即当
时，的单调减区间为
；
当时，的单调减区间为
．
10.
已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同．
(I)用
表示，并求的最大值；
(II)求证：
(
)．
解：(Ⅰ)设与
在公共点
处的切线相同．
，
，由题意
，
．
即
由
得：
，或
(舍去)．
即有
．
令
，则
．于是
当
，即
时，
；
当
，即
时，
．
故在
为增函数，在
为减函数，
于是在
的最大值为
．
(Ⅱ)设
，
则
．
故
在
为减函数，在
为增函数，
于是函数在上的最小值是
．
故当时，有
，即当时，
．
南京市第十三中学2008―2009学年度高三第二次三周考试物理试题
命题人：孟振洲 审核人：成小寅
友情提醒：本试卷?分120分，考试时间100分钟．请将答案填写在答题卡上，直接写在试卷上不得分．
2009届高考数学压轴题预测
专题四 解析几何
考点一 曲线（轨迹）方程的求法
1.
设
上的两点，
满足
，椭圆的离心率
短轴长为2，0为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
解析：本例（1）通过
，
，及
之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。
答案：（1）
椭圆的方程为
（2）设AB的方程为
由
由已知
2
（3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1
当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b
所以三角形的面积为定值.
点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。
2.
在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同时满足①
, ②
= 
= 
③
∥
（1）求顶点C的轨迹E的方程
（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（
, 0） ，已知
∥
, 
∥
且?= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。
答案：（1）设C ( x , y )， 
,由①知
,
G为
△ABC的重心 ， G(
,
) 由②知M是△ABC的外心，
M在x轴上
由③知M（，0），
由
得
化简整理得：
（x≠0）。
（2）F（，0 ）恰为的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±
，则直线PQ的方程为y = k ( x －)
由
设P(x1 , y1) ，Q (x2
,y2 ) 则x1 + x2 = 
, x1?x2 =
则| PQ | =
? 
= ?
= 
RN⊥PQ,把k换成
得 | RN | = 
S =
| PQ | ?
| RN |
=
=
)
≥2 ， 
≥16
≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号)
又当k不存在或k = 0时S = 2
综上可得
≤ S ≤ 2
Smax
= 2 ， Smin =
点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。
考点二 圆锥曲线的几何性质
3.
如图，F为双曲线C：
的右焦点
P为双曲线C右支上一点，且位于
轴上方，M为左准线上一点，
为坐标原点 已知四边形
为平行四边形，
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率
与
的关系式；
（Ⅱ）当
时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若
，求此时的双曲线方程
分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。
解：∵四边形是
，∴
，作双曲线的右准线交PM于H，则
，又
，
（Ⅱ）当时，
，
，
，双曲线为
四边形是菱形，所以直线OP的斜率为
，则直线AB的方程为
，代入到双曲线方程得：
，
又，由
得：
，解得
，则
，所以
为所求
点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。
4.
设
分别为椭圆
的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
为它的右准线
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设
为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线
分别与椭圆相交于异于的点
，证明：点
在以
为直径的圆内
分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力
解：（Ⅰ）依题意得 a＝
＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝
故椭圆的方程为 
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）
设M（x0，y0）
∵M点在椭圆上，∴y0＝
（4－x02）
1
又点M异于顶点A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得
P（4，
）
从而
＝（x0－2，y0），
＝（2，）
∴?＝2x0－4＋
＝
（x02－4＋3y02） 2
将1代入2，化简得?＝
（2－x0）
∵2－x0>0，∴
?
>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x1，y1），N（x2，y2），
则－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为（
，
），
依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
－
＝(－2）2＋（）2－
[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 3
又直线AP的方程为y＝
，直线BP的方程为y＝
，
而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，
∴
，即y2＝
4
又点M在椭圆上，则
，即
5
于是将4、5代入3，化简后可得－＝
从而，点B在以MN为直径的圆内
点评：本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力
考点三 直线与圆锥曲线位置关系问题
5.
已知抛物线C：
上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；
（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积
后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．
现有正确命题：过点
的直线交抛物线C：于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F。
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。
解析：
答案：解：（1）
（2）设
（t>0），则
，F(1,0)。
因为M、F、N共线，则有
，
所以
，解得
，
所以
，
因而，直线MN的方程是
。
（3）“逆向问题”一：
①已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点。
证明：设过F的直线为y=k(x
)，
，
，则
由
得
，所以
，
，
=
，
所以直线RQ必过焦点A。
②过点
的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。
③已知抛物线C：，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。
“逆向问题”二：已知椭圆C：
的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点
。
“逆向问题”三：已知双曲线C：
的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点
。
考点四 圆锥曲线的应用
（1）．圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
6.
（2004年全国高考天津理科22题）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点F（C，0）（C＞0）的准线L与X轴相交于点A，
，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）
若 OP?O Q = 0，求直线PQ的方程；
（3）设 A P = AQ（＞1），过点P且平行与准线L的直线与椭圆相交于另一点M，证明 FM = - FQ 。
分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解：（1）根据已知条件“椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（C，0）（C＞0）的准线L与X轴相交于点A。” 可设椭圆的方程为
（a＞
），从而有
；又因
可以有
，联系以上这两个关于a、c的方程组并解得a=
，c=2，所以椭圆的方程为
，离心率e=
。
（2）根据已知条件
“O P?O Q = 
，Q
，把两个向量的数量积的形式转化为坐标表示的形式，再根据直线 PQ 经过 A（3，0），只须求出直线PQ的斜率K即可求出直线PQ的方程。而P、Q两点又在椭圆上，因此，我们容易想到通过直线y=k（x-3）与椭圆，联系方程组消去一个未知数y（或x）得
，并利用一元二次方程的根与系数关系结合
及
不难求出k=
，这里应特别注意K的值要保证
＞0成立，否则无法保证直线PQ与椭圆有两个交点。
（3）要证F M =- F Q ，我们容易想到通过式中两个向量FM、FQ的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点P且平行为准线L的直线与椭圆相交于另一点M”，求得点M坐标为
。又因AP=AQ，易知FM、FQ的两个纵坐标已经满足
，所以现在要考虑的问题是如何证明FM、FQ的两个横坐标应该满足
，事实上，
注意到＞1，解得
⑤
因F（2，0），M，故FM=
=
。
=
=
又FQ=
，因此FM=-FQ。
点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。
把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。
7.
（江苏卷）已知
，记点P的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.
（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点
，使
恒成立，求实数m的值.
（ii）过P、Q作直线
的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记
，求λ的取值范围.
解析：
答案：解：（1）由
知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由
，故轨迹E的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为
，与双曲线方程联立消y得
，
解得k2 >3
（i）
|
，
对任意的
恒成立，
知结论也成立，
是双曲线的右准线，
，
，
，
，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则
上一点，直线L过点P且与抛物线C交于另一点Q。
，这样过P
，由于直线L与过点P的切线垂直，因此直线L的斜率为
（
，结合
。
，因M为PQ的中点，故有
消去
。
。
的特点，我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。于是可先求S、T两点的坐标，易知：
，从而有
?
≥2
、
可取一切不相等的正数。
）。