专题练习 转化思想在代数中的应用
专题练习 数形结合思想在几何中的应用
一. 填空题
1. 若A（-5，3）、B（3，3），则以AB为底边、腰长为5的等腰三角形ABC的顶点C（点C不在坐标轴上）的坐标是______________。
应填入：（-1，6）
________________。
应填入：
3. 若第四象限点A到坐标原点O的距离为2，OA与x轴正半轴夹角为30°，则A点坐标是__________________。
应填入：
4. 已知：A（3，-5），|AB|=13，点B在x轴负半轴上，则B点坐标是_____________。
应填入：
5. 已知：如图所示，△ABC中，A为坐标原点，AB在x轴上，∠BAC=180°－α（0°<α<90°），AC=m，则C点坐标（用α的三角函数及m表示）是_____________。
应填入：
6. 如图所示，在矩形ABCD中，BD=10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB=________________，AD=_______________。
应填入：6，8
二. 解答题
7. 已知：如图所示，矩形AOBC中，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，A（0，4），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标。（利用点到轴的距离等于点坐标的绝对值沟通形与数）
解：
8. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，
（1）DC的长；
（2）sinB的值。（图形中线段和差作为等量关系）
解：（1）
设CD=3k，∴AD=5k
9. 已知：如图所示，在矩形ABCD中，以AB为直径作圆O切CD于F，连AC交圆O于P，PE⊥AB于E，AB=a，求PE的长。（利用几何定理构造方程组）
略解：
10. 已知：如图所示，△ABC内接于圆O，AD是圆O直径交BC于E。求证：
略证：
11. 边长为2的正方形ABCD的对角线交于O点，若CD、BA同时分别绕C点、B点逆时针旋转到如图所示位置形成四边形A′BCD′，设A′C交BD′于点O′，若旋转60°时，点O运动到O′所经过的路径是线段还是曲线？长度是多少？（图形运动中的相关计算）
分析与解答：如图所示，当D以C为圆心，CD为半径逆时针旋转60°到达D′点时，A同样地旋转到A′点，此时O以BC中点M为圆心，OM长为半径，旋转到O′
12. 如图所示，∠ABC=30°，D为切点，FG⊥AB于F，圆O圆心在AB上，连结
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若S四边形EDGF=5S△BED，确定FG与圆O的位置关系，并说明理由。
（线段、面积作为函数中的变量，图中面积和差作为等量关系）
解：
当x=1时，即OF=1时，F为圆上一点，且FG⊥AB，所以F为切点，GF为圆O切线；当x=-5，不满足题意，舍。
初三数学模拟练习（一）
一. 选择题：（1~8题各3分，9~12题各4分）
1. 如果
，那么一定有（ ）
A. 
B.
C. 
D.
2. 下面计算正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 当
A. 2 B.
C.
D.
4. 若关于x的一元二次方程
有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
5. 关于x、y的方程组
只有一个实数解，那么a、b满足的条件是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
6. 直角坐标平面上有一点P，点P到y轴的距离为2，点P的纵坐标为
，则P点坐标一定是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
7. 如果
时，函数
都是y随x的增大而减小，那么（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 若抛物线
的顶点在x轴上，则c值为（
）
A. 2 B.
0 C.
D.
9. 如图所示，a、b、c、d的位置已经确定，则下列不等式中不成立的是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
10. 在
中，如果
，那么是（
）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形
11. 已知两数a=16，b=4，则a与b的比例中项是（ ）
A. 4 B.
C.
8 D.
12. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则在这个圆锥的侧面展开图中，扇形圆心角的度数为（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
二. 填空题：（13~18题各3分，19、20两题各4分）
13. 已知关于x的方程
的两根之差是
，则m=______________。
14. 已知方程
的两根为
，则
_____________。
15. 若分式方程
的增根为-1，则a=____________________。
16. 等腰三角形顶角的外角是100°，则它的一个底角是_____________________度。
17. 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的对角线的长分别是5和8，则等腰梯形的面积是____________________。
18. 矩形的一条对角线长为
，这条对角线与一条边夹角的余弦值为
，则矩形的面积是____________________
。
19. 半径分别为1和2的两圆交于A、B，过A点分别作两圆的切线，恰好互相经过另一个圆圆心，则AB长为__________________。
20. 如果扇形的半径为10，扇形的弧所对的圆周角为36°，那么扇形的弧长为__________。
试题答案
一. 选择题
1. D 2. C 3. A 4. D
5. B 6. D 7. D 8. A
9. C 10. C 11. D 12. D
二. 填空题
13. 
14.
15. 
16.
50
17. 40 18. 8
19. 
20.
专题复习一
三角形重心 垂心 形内点的共性
卢婕
读者都知道，三角形中三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的
，即：如果G是△ABC三条中线AD、BE、CF的交点，那么
如图1，从而可得：
这个结果说明三组线段的比的和为1，非常奇妙的是三角形的垂心也有类似的性质请看：
设H是△ABC三条高线AD、BE、CF的交点，因为
所以
更为奇妙的是三角形内的任意一点也有这样的性质：
设Q是△ABC内任意一点，连结AQ、BQ、CQ并分别延长交对边于D、E、F
过Q作QP∥AB，QH∥AC分别交BC于P、H，则：
又由于△DPQ∽△DBA及△QPH∽△ABC
可得：
所以
读者看到这里，是不是感到：数学，真奇妙！
一类二次根式题的统一解法
赵春祥
若a、b、c为非负有理数。
都是同类二次根式，利用这一性质解题，对培养逆向思维大有好处。下面举例说明。
例1 已知x、y都为正数，且
，求x+y的值。
解：因为只有同类二次根式才能合并，而
又
所以设
（a、b为正整数），
则有
即得a+b=3。
所以a=1，b=2
或a=2，b=1。
∴x=222，y=888
或x=888，y=222。
∴x+y=1110。
例2 若a、b、c为有理数，且等式
（ ）。
A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能确定
解：
而
因此，2a+999b+1001c=2000。
故选B。
例3 方程
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：
考虑到x，y的对称性得所求整数对为（0，336），（336，0），（21，189），（189，21），（84，84）。共有5对。
故选D。
例4 
（x，y）中，x+y的最大值是（ ）。
A.1189 B. 1517 C. 1657 D. 1749
解：已知等式可化为
由此可设
此时x+y=41（a2+b2）。
∵a、b为满足等式a+b=7的正整数，
∴a=1，b=6或a=6，b=1时，
a2+b2有最大值为37。
则x+y的最大值为41×37=1517。
故选B。
例5 正整数a、m、n满足
，则这样的a、m、n取值（ ）
A. 有一组 B. 有二组 C. 多于三组 D. 不存在
解：将已知两边平方，得
，
根据有理数与无理数部分对应相等，
得：
∵m≥n，且m、n为正整数。
∴
（不满足①，舍去）。
∴a=3。
故选A。
一元二次方程的整数根
于莹
一元二次方程的整数根问题难度较大，是中考特别是竞赛中的爬坡题型。本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法。
例1. 已知方程
的两根都是整数，试求整数a的值。
思路分析：当a取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。究意什么情况下，方程的两根都是整数呢？还是从根与系数的关系入手比较好。
解：设方程的两整数根为
、
，根据根与系数关系得：
（1）＋（2）得：
所以
或
或
或
所以
或
或
或
因为
，所以
只有或符合题意，代入（2）得：
例2. 已知方程
有两个不等的负整数根，则a的值是______。
思路分析：本题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根”，这对系数a有了更多的限制。另外，本题的a没有说它是整数，难度更大了。应当抓住“负整数根”做文章。
解：
所以
依题意有：
、
均为负整数，符合此条件的仅有
。
例3. 设m为自然数，且
，若方程
的两根均为整数，则m＝______。
思路分析：题目已给出m的范围，再加上判别式应满足的条件，可进一步对m加以限制，就不难求出符合条件的m值了。
解：
因为原方程的两根均为整数，所以
必为完全平方数，且必为奇数的平方。于是由得
，在此范围内的奇完全平方数只有25和49。
所以
或
所以
或
经检验，、24均符合题意。
误区点拨：本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤。因为整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条件。也就是说，
为完全平方数，并不能保证方程一定有整数根，所以说，必须进行检验。
一元一次方程解的讨论
李月旺
解含有字母系数的一元一次方程，最后都要化成
的形式，它的解有三种不同的情况：
1. 当
时，方程有唯一解；
2. 当
时，方程有无数解；
3. 当
时，方程无解。
下面举例予以分析说明。
例1. 解关于x的方程
解：当
，即
时，方程有唯一解：
当
，即
时，原方程可化为：
，方程无解
总结：此方程为什么不存在无穷解呢？因为只有当方程可化为
时，方程才能有无穷解，而当时，
；
时，，a不可能既等于-2又等于3。所以不存在无穷解。
例2. 解关于x的方程
解：原方程可化为
当
，即
时，方程有唯一解：
当
，即
时，方程有无数解
总结：此方程没有无解的情况，因为方程可化为，而不会出现
的情形。
一些数学思想在解题中的应用
李光斗 赵国瑞
在直线，射线，线段这一部分内容中，渗透了许多重要的数学思想和方法，下面举例说明。
一. 数形结合思想
例1. 同学们去公路旁植树，每隔3m植一棵树，问在21m长的公路旁最多可植几棵树？你可能会不假思索地在回答，三七二十一，可植树7棵，那就错了，结合图形观察后就知道了。
解：从图1看，显然可植8棵。
图1
说明：对于这类题目要注意考虑线段的端点，否定容易出错。
二. 方程思想
例2. 点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2：5两部分，点E分AB为4：5两部分，若DE=5cm，则AB的长为（ ）。
图2
解：由题意，得如图2所示，设AB=x，则
，由
，得
，解得
，即
。
三. 整体思想
例3. 已知：如图3所示，C是线段AB上一点，点D、E分别是AC、CB的中点，若
，求线段DE的长。
图3
解：∵D、E分别是AC、BC的中点
说明：解答本题的关键是逆用分配律得出待求线段和已知线段这个整体的关系。
四. 分类讨论思想
例4. 已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC使它等于3cm，求线段AC的长。
图4
分析：由于点C可能在线段AB上，也可能在线段AB外，因此需要分类讨论。
解：当点C在线段AB上时，如图4所示，
。
当点C在线段AB外时，如图5所示，
。
图5
因此线段AC长为5cm或11cm。
五. 归纳猜想思想
例5. （2001年江苏无锡中考题）
根据题意，完成下列填空：如图6所示，
与
是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线
，那么这3条直线最多可有（ ）个交点；如果在这个平面内再画第4条直线
，那么这4条直线最多可有（ ）个交点；由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有（ ）个交点。n（n为大于1的整数）条直线最多可有（ ）个交点（用含n的代数式表示）。
解：（1）画图观察
图6
（2）列表归纳
（3）猜想：
，……
于是，可猜想n条直线最多可有交点个数为：
于是，当
时，
个交点。
2006届专题复习 新题型解析 探究性问题
传统的解答题和证明题，其条件和结论是由题目明确给出的，我们的工作就是由因导果或执果索因。而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答。开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征。这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造性和具有良好的个性品质。
1. 阅读理解型
这类题主要是对数学语言（也包括非数学语言）的理解和应用进行考查。要求能够读懂题目，理解数学语言，特别是非数学语言，并能进行抽象和转化及文字表达，能根据引入的新内容解题。这是数学问题解决的开始和基础。
例1. （1）据《北京日报》2000年5月16日报道：北京市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的
，世界人均占有量的
。问：全国人均水资源占有量是多少立方米？世界人均水资源占有量是多少立方米。
（2）北京市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂。据不完全统计，全市至少有
个水龙头、
个抽水马桶漏水。如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水；一个漏水马桶，一个月漏掉b立方米水，那么一年造成的水流失量至少是多少立方米（用含a、b的代数式表示）；
（3）水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫。针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费。假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为多少立方米。
分析：本题是结合当前社会关注的热点和难点问题――环保问题设计的题组，着重考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，以及阅读理解、检索、整理和处理信息的能力，解好本题的关键是认真阅读理解题意，剖析基本数量关系。
解：（1）
答：全国人均水资源占有量是2400立方米，世界人均水资源占有量是9600立方米。
（2）依题意，一个月造成的水流失量至少为
立方米
所以，一年造成的水流失量至少为
立方米
（3）设北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为x立方米
依题意，得
解这个方程，得x=8
答：北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为8立方米。
例2. 阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为
的三边，且满足
，试判断的形状。
解：
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：_______；
（2）错误的原因为：_________________________________；
（3）本题正确的结论为：___________________________。
分析：认真阅读，审查每一步的解答是否合理、有据、完整，从而找出错误及产生错误的原因。
答：（1）C；（2）
也可以为零；（3）是等腰三角形或直角三角形。
例3. 先阅读第（1）题的解法，再解第（2）题：
（1）已知
，p、q为实数，且
，求
的值。
解：
（2）已知
，m、n为实数，
，且
，求
的值。
分析：本题首先要求在阅读第（1）题规范的解法基础上，总结归纳出逆用方程根的定义构造一元二次方程，根据根与系数的关系求代数式值的方法，并加以应用。但这种应用并非机械模仿，需要先对第（2）题的第二个方程变形转化，才能实现信息迁移，建模应用。
解：
且
由根与系数的关系可得