复杂线段比例式和等积式证明举例
王仁宏
义务教育初中几何第二册对简单的线段比例式
和等积式
做了一些简单介绍。但同学们解题中还会遇到一些复杂的线段比例式和等积式的证明。
例如
等，证明这些等式的思想是将它们转化为简单的比例式和等积式加以证明，下面举例说明这种证题思路。
一. 
型等式的证明
例1. 如图1所示，在△ABC中，∠A的平分线交BC于P，∠A的外角平分线交BC延长线于Q，O是PQ之中点。
图1
求证：
证明：因为AP平分
又因为O是
斜边PQ之中点，连AO，得OA=OP。因为
例2. 如图2所示，已知△ABC中，
DF⊥BC于F。
求证：
图2
证明：
二. 
型等式的证明
例3. 如图3所示，已知一直线
截△ABC的边AB，AC和BC的延长线于F、E、D。
求证：
图3
证明：过点C作CG//FD，交AB于G。
三. 
型等式的证明
例4. 如图4所示，已知O是△ABC内的一点，过O作EF、QP、GH分别平行于BC、CA、AB。
求证：
图4
分析：求证的是三个比的和为1，只要求得与这三个比的分母是同一条线段，并且分子线段的和等于分母线段即可。
证明：在
中，
在△ABC和△GOF中，
四. 
型等式的证明
例5. 如图5所示，在锐角△ABC中，高线BE与CF相交于H，
求证：
。
图5
分析：求证式中的右端有线段的积，这使我们联想到如能创造出相似三角形，则会有对应线段成比例，就会出现线段的乘积式，为此添辅助线
于D，则出现相似三角形，而求证式中的右端均为相似三角形的边，故可从相似三角形开始证明。
证明：过H作交BC于D。
则
即
（1）
四边形转化为三角形解题三例
徐若翰
例1. 某片绿地的形状如图1所示，其中
，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。
图1
分析：延长AD、BC交于E点，
则
由此可见，延长一组对边，就把原四边形转化为两个含有特殊角的直角三角形。
例2. 如图2是一块四边形的薄钢板，
AB=AD。（1）能否先沿一条对角线将钢板切割成两块，再焊接成一块与原钢板面积相同的三角形钢板？若能，请说明切割、焊接的方法，用虚线画出示意图，并说明焊接的钢板是什么三角形；若不能，请说明理由。（2）若BC=1m，CD=3m，求这块钢板的面积。
图2
分析：（1）由已知，
得
沿对角线AC切割后，把
放在AB两侧，使AD与AB重合，点C落到点
，再重新焊接。这时，
所以，把
绕着A点旋转到
，就使原四边形转化为
，
其中
，且有：
（2）
于是可以求得
，也就是钢板面积。
例3. 如图3，在四边形ABCD中，
，试求四边形ABCD的面积S。
图3
分析：延长BA、CD交于E点，作
中，
又可证得F为AE中点，
含“…”的有理数加法
谭咏梅 杨春雪
含省略号的有理数加法，常用的方法和技巧有如下几种。
一、“顺写”加“倒写”
例1. 计算
解：设
再把S倒过来写：
相加得： 
二、正负结合
例2. 计算
解：原式
三、裂项相加
例3. 计算
解：注意到
∴原式
四、加倍相减
例4. 计算
解：令原式
去掉“如图”，变化多
韩晓宏
一个几何问题，如果给出了图形，那么除了直观这一功能之外，还可能限制人们更广泛的自由思考。下面就是一例：
如图1，⊙
和⊙
都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙交于C，与⊙交于点D。经过点B的直线EF与⊙交于点E，与⊙交于点F。
求证：CE∥DF
（初三《几何》第83页）
证明：连结AB
因为 ABEC是⊙的内接四边形
所以 ∠BAD＝∠E
又 ADFB是⊙的内接四边形
所以 ∠BAD＋∠F＝180°
所以 ∠E＋∠F＝180°
故 CE∥DF
这个题并不难，但是，若去掉“如图”二字，然后依据题意画图，便可发现满足要求的图形还不少：
（1）公共弦两边各有两点（三种，第一种如图1，与课本图相同）。
（2）公共弦两边分别有一个点和三个点（两种）。
（3）四个点全在公共弦的同一侧（两种）。
不管是哪一种情况，都可以通过连结AB，这条辅助线做出（当然也有其它方法），用到的其它知识点也与图1中的大同小异。但要构造出这些图形，尤其是通过分类来研究这个问题，无疑可以训练思维；而且在这个过程中体会一下包含的数学思想也十分重要。事实上，不少数学题目都可以用类似的方法进行更深一步的研究。尤其是一些几何题，自由地变一下图形，自由地换一下条件，都可以得到一些新的东西，这也是培养学生主动研究数学，深入探究的一个好方法。
列代数式五点注意
张太立
人教版教材初一代数把像5、a、4a、ab、a+b、
、a2这样的式子称之为是代数式。列代数式就是将文字叙述的语言表达成数量或数量关系，用数学式子表示出来，列出代数式后广泛应用。这里我来谈谈列代数式时五点应注意的地方。
一. 仔细辨别词义
列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义。如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分。例：“3除a”，“被3除得a”，“a与b两数的平方差”，“a与b两数差的平方”，分别为“
”、“ 3a”、a2-b2、(a-b)2。
二. 分清数量关系
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系。如比m大3的数应为m+3；比一个数大3的数是m，则这个数为m-3；一个数是a的3位，这个数为3a；a是这个数的3倍，这个数为。不要见多就加，见小就减，见倍就乘。
三. 注意运算顺序
列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，如a的2倍与b的3倍的差，为2a-3b，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来，如a与b的差的3倍，为3（a-b）。
四. 规范书写格式
列代数时要按要求规范地书写。像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带 分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号。注意代数式括号的适当运用。
五. 正确进行代换
列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换。如图，写出图中阴影部分面积的代数式为ab-（a-2x）（b-2x）。其中a与b分别表示长方形的长和宽，（a-2x）与（b-2x）分别表示小空白长方形的长和宽。▲
分类讨论在相似形中的应用
马健
在我们的几何题目中，有许多问题需要分类讨论，常因不会分类、分类不确切或讨论不全面发生漏解。只有全面掌握基础知识和经过严密思考，找准解题的切入点，才能使得出的结论不重复、不遗漏。下面就相似形中的几个问题加以说明。
例1. 已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是另外两个数的比例中项，则第三个数为_____________。
析：这是一道开放性题目，它需分几种情况讨论。不妨设第三个数为x，
由
可得
；
由
得
；
由
可得
。
故第三个数为2，或16，或
。
例2. 若
，求x的值。
析：利用合比性质，当
，此时
又当
时，可得出
此时
故x的值为
，或
。
例3. 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料，可使这两个三角形相似。
析：本题中长为2的边长可以分别与长为4、5、6的边对应。
设另两边分别为x、y。于是得出：
得：
；
得：
；
得：
。
所以框架另两边长可选
，或
，或
。
例4. 如图1，
，点M在AB上且
，点N在AC上，联结MN，使△AMN与原三角形相似，则AN＝___________。
析：当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，可得：
，即
故
当MN不平行于BC时，∠AMN＝∠C时，△AMN∽△ACB，可得：
，即
，得
故AN长为2，或
例5. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为____________。
析：这是一道操作、设计型开放题，可分两种情况：（1）是正方形一角为直角三角形的直角时，如图2，由相似可得出：
；（2）是两个顶点在斜边上，如图3，由相似可得出：
。所以此正方形的边长为
，或
。
例谈求一次函数解析式的常见题型
时勇
一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。
一. 定义型
例1. 已知函数
是一次函数，求其解析式。
解：由一次函数定义知
，故一次函数的解析式为
注意：利用定义求一次函数
解析式时，要保证
。如本例中应保证
二. 点斜型
例2. 已知一次函数
的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
解：
一次函数的图像过点（2，－1）
，即
故这个一次函数的解析式为
变式问法：已知一次函数，当
时，y＝－1，求这个函数的解析式。
三. 两点型
已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
解：设一次函数解析式为
由题意得
故这个一次函数的解析式为
四. 图像型
例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
解：设一次函数解析式为
由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2）
有
故这个一次函数的解析式为
五. 斜截型
例5. 已知直线与直线
平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
解析：两条直线
：
；
：
。当
，
时，
直线与直线平行，
。
又直线在y轴上的截距为2，
故直线的解析式为
六. 平移型
例6. 把直线
向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行
直线在y轴上的截距为
，故图像解析式为
七. 实际应用型
例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。
解：由题意得
，即
故所求函数的解析式为（
）
注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。
八. 面积型
例8. 已知直线
与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。
解：易求得直线与x轴交点为（
，0），所以
，所以
，即
故直线解析式为
或
九. 对称型
若直线
与直线关于
（1）x轴对称，则直线l的解析式为
（2）y轴对称，则直线l的解析式为
（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为
（4）直线
对称，则直线l的解析式为
（5）原点对称，则直线l的解析式为
例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。
解：由（2）得直线l的解析式为
十. 开放型
例10. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。
解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得
（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为
（3）其它（略）
十一. 几何型
例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，
，
，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。
解：（1）由直角三角形的知识易得点A（
，0）、B（
，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为
，对称轴是
（2）连结OE、OF，则
、
。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E（
，
）、F（
，
）由待定系数法可求得一次函数解析式为
十二. 方程型
例12. 若方程
的两根分别为
，求经过点P（
，
）和Q（
，）的一次函数图像的解析式
解：由根与系数的关系得
，
，
点P（11，3）、Q（－11，11）
设过点P、Q的一次函数的解析式为
则有
解得
故这个一次函数的解析式为
十三. 综合型
例13. 已知抛物线
的顶点D在双曲线
上，直线
经过点D和点C（a、b）且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组
，求这条直线的解析式。
解：由抛物线的顶点D（
）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：
，顶点D1（1，－5）及
顶点D2（
，－15）
解方程组得
，
即C1（－1，－4），C2（2，－1）
由题意知C点就是C1（－1，－4），所以过C1、D1的直线是
；过C1、D2的直线是
例析二次根式加减法“三步曲”
王云峰 杨毅
二次根式相加减，先把每个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别进行合并，即“先化简――再判断――最后合并”，这就是解答二次根式加减问题的三步曲。举例说明如下：
例1. 计算：
分析：题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并。
解：原式
说明：二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中
不是同类二次根式，不能再进行加减运算。
例2. 计算：
分析：题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简――再判断――最后合并”三步曲进行计算。
解：原式
说明：二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。本题中
的系数
不能写成
，
的系数
不能写成
。
例3. 计算：
分析：二次根式加减运算中如果有括号要先去括号，再按三步曲进行计算。
解：原式
说明：合并同类二次根式时，不可忽视系数为1或
的二次根式。本题中
的系数不是0，而是。另外，当括号前是“－”，去掉括号时括号内各项要改变符号。
例4. 计算：
分析：二次根式内有分式加减运算，要先将根号内分式计算出最后结果，再按三步曲进行解答。
解：原式
说明：根号内有分式加减运算时，如本题中的
，不能错误地化简成
，正确的做法是在根号内将分式通分求出结果，再进行二次根式的加减。
从最简情形出发
周奕生
当问题比较复杂，感到困难，不易下手时，就可以适当地“退”，甚至可“退”到最简单的情形，然后由此出发去分析，可能会巧妙地突破，请看
例1 甲乙两人轮流在圆形桌面上玩摆硬币游戏，规定硬币大小相同，不能重叠，谁摆下最后一枚谁获胜。你知道获胜的策略吗？
分析：一个大大的圆桌究竟可以容下多少枚小小的硬币呢？这是多数解答者面临的困境之一。但如果告诉你圆形的桌面很小，小到和硬币一样小，或者告诉你硬币很大，大到和圆形桌面一样大，这时应该说连三岁的小孩都知道先摆的人获胜。事实上也是如此。不论桌面和硬币的大小如何，先摆者只要将第一枚放在正中央，接下来只要后摆者能摆下一枚，先摆者也总可以摆下一枚，这是由于圆是中心对称图形，对于每确定的一个点，总存在一个关于圆心对称的点。因此，先摆者获胜。
象上述这种思考问题的方法我们称为简约思维法，简约思维法实际上就是将繁杂问题的背景简单化，将一般问题特殊化。再看以下几例。
例2 某录像厅原门票一张6元，降价后平均每场的观众可以增加3倍，收入增加了2倍，问每张门票降价多少元？
分析 按一般的思路求解的方法大多是：设门票降价x元，原有观众a人，则原收入6a元，降价后收入4a（6－x）元，依题意，得
4a（6－x）=18a，解得x=1.5
因此，降价1.5元。
现在我们问题的背景简化为：原来的观众只有一人，则原收入6元，降价后观众有4人，收入18元，因此，降价后的门票价格是每张4.5元，降价了1.5元。
例3 四只蚂蚁分别从正方形的四个顶点同时沿正方形的边爬行，如果它们的速度相同，那么这四只蚂蚁不相撞的概率是多少？
分析：许多人的解法是：将每只蚂蚁可能爬行的方向（顺时针和逆时针）一一罗列出来，然后确定不相撞的情形（都按顺时针或逆时针方向爬行）求解。而事实上，我们可以先确定第一只蚂蚁爬行的方向，为了不相撞，其余三只蚂蚁爬行的方向必须与第一只相同，而每只蚂蚁爬行方向与第一只相同的概率都是
，因此，三只蚂蚁爬行与第一只都相同的概率是
，这就是四只蚂蚁不相撞的概率。
例4 某船拖一橡皮筏沿江逆流而上，在A处由于绳子断开，橡皮筏顺流漂走了10分钟后船上的人才知道，立即掉头追赶。假设船掉头的时间忽略不计，问需要多少分钟才能追上？
分析：许多解题者一见到这个题目都认为题设条件似乎不足，一旦确定题目无误后采用的解法大多是运用“设而不求”法，即设船在静水中的速度为a，水流的速度为b等等。而事实上题目并没有告诉我们水流速度如何如何，我们完全可以假定水是静止的，这样问题岂不是很简单了吗？
在水为静止的前提下，绳子断开后橡皮筏也是静止的，始终呆在A处，船是在静水中行驶，往返的速度相同，行驶的距离也是相同的，因此，船离开A处和返回到A处的时间相同，也是10分钟，故船需要10分钟才能追上橡皮筏。
两圆外切的性质与应用
孙建洪
两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系，当相切的两个圆，除了切点外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，我们称这两个圆外切。而且外切关系是两圆位置关系中比较重要的一种关系，它具有的性质较多。
4 性质（1） 外切两圆的连心线必经过它们的切点，且两个圆心之间的距离d（圆心距）
等于两个圆的半径之和，即d=R+r
两圆外切，其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线，也就是说，
两个圆心及切点这三点共线。
例1 若两圆半径分别为R，r(R＞r)，其圆心距为d,且 
，则两圆的位置关系是__________.
解：因为
所以
所以
所以d=R+r(R+r=-d不合题意).
因此两圆的位置关系是外切.