2009年北京市朝阳区高三统一练习（一）
数学（文史类） 2009.4
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
第Ⅰ卷 (选择题共40分)
得分
评卷人
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的
4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，
等于（ ）
A．P B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}
2．下列函数中，在区间
上是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在△
中，角
所对的边分别为
.若角
，则角
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
4.已知条件
，条件
：直线
与圆
相切，则
的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件
5. 用一平面去截体积为
的球，所得截面的面积为
，则球心到截面的距离为（
）
A. 
B.
C.
D.
6．从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．在等差数列
中，设
为其前
项和，已知
，则
等于 （ ）
A.
B.
C.
D.
8．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化. 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买
元，购买
元，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
大小不确定
第II卷（非选择题 共110分）
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
总分
得分
得分
评卷人
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中
9.若
，则
等于 .
10.若直线
与直线
平行，则m的值为 .
11. 若
展开式中的所有二项式系数和为512，则
；该展开式中的常数项为 .
12．已知向量
．若向量
，则实数
的值是 ；
13．过抛物线
的焦点
的直线
，交抛物线于
两点，交其准线于
点，若
，则直线的斜率为
.
14.对任意的正整数
、
，定义
同时满足下列条件：
①
；②若
，
；③
，
则
的值是 ；
的表达式为
（用含的代数式表示）.
得分
评卷人
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调增区间．
得分
评卷人
16． （本小题满分13分）
在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．
（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；
（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率.
得分
评卷人
17． （本小题满分13分）
如图，直三棱柱
的侧棱
，底面三角形
中，
，
，
是
的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
得分
评卷人
18．（本小题满分14分）
已知函数
．
（Ⅰ）若在
处取得极值，求实数
的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）求函数在闭区间
的最小值.
得分
评卷人
19．（本小题满分13分）
已知
的三边长
成等差数列，若点的坐标分别为
．
（Ⅰ）求顶点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）线段
的延长线交顶点C的轨迹于点，当
且点在
轴上方时，求线段
垂直平
分线的方程．
得分
评卷人
20．（本小题满分14分）
已知数列
的前项和为
，且
，其中
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
，
为的前项和，求证：
．
北京市朝阳区高三统一练习㈠
数学文科答案 2009.4
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
A
C
A
A
A
二、填空题:
9. 
;
10. 1和-2;
11. 9, 
;
12. 
；
13． 
; 14. 6, 
三、解答题:
15． 解: （Ⅰ）
，
所以函数的最小正周期为2
．
……………………………………8分
（Ⅱ）令 
，得
.
故函数的单调增区间为
．
…………13分
16． 解：（Ⅰ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为
答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率是
………5分
（Ⅱ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件B，
两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1和3，芳香度为2和2，芳香度为3和3，其中芳香度为1和3的概率为
芳香度为2和2的概率为
芳香度为3和3的概率为
所以
答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是
……13分
17． 解法一：
（Ⅰ）证明：因为
，
是的中点，所以
.
由已知，三棱柱是直三棱柱，
所以平面
平面
.
所以
平面.
又因为
平面,
所以.…………6分
（Ⅱ）解：由（1）知平面.
过作
，垂足为
,连结
.
由三垂线定理可知
，
所以
是二面角
的平面角.
由已知可求得
，
, 所以
.
所以二面角的大小为
.
由于二面角与二面角的大小互补，
所以二面角的大小为
.…………………………13分
解法二：
以
的中点
为原点，先证明
平面
，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得
、
、
、
、
、
.
（Ⅰ）证明：
，
.
因为
，所以
.…………6分
（Ⅱ）解：
.
设平面
的一个法向量为
，
由
得
解得
所以
.
又知，
平面，所以
为平面的法向量.
因为
,
所以
由图可知，二面角大于90º，
所以二面角的大小为
.…………………………13分
18． 解：（Ⅰ） 
，
因为在处取得极值，所以
，解得
．………………2分
（Ⅱ）
，
（1）当
时，
，则在
上为增函数；
（2）当
，即
时，由
得
或
，所以的单调增区间为
和
;由
得
，所以的单调减区间为
；
（3）当
即
时，由得
或
，所以的单调增区间为
和
；由
，得
，所以的 单调减区间为
.
综上所述，当
时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为和，的单调减区间为; 当时，的单调增区间为和，的单调减区间为.
……………………………………………………8分
（Ⅲ）（1）当
即
时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，
所以的最小值为
；
（2）当
，即
时，由（Ⅱ）可知，在
上单调递减，在
上单调递增，所以的最小值为
；
（3）当
即
时，由（Ⅱ）可知，在上单调递减，所以的最小值为
.
综上所述，当时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为. ………………14分
19．解：（Ⅰ）因为成等差数列，点的坐标分别为
所以
，且
，
由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的
椭圆（去掉长轴的端点），
所以
．
故顶点的轨迹方程为
．…………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.因为
，
，
所以
.则
.
所以直线的斜率为
.
于是直线方程为
.
由
得
．设
两点坐标分别为
则
，
．
线段中点的坐标为
,
故垂直平分线的方程为
，即为
.……13分
20. 解：（Ⅰ）已知式即
，故
．
由条件知
，所以
．
由于
，且
，故
．
于是 
，
，
所以 
． ……………………………………………………5分
（Ⅱ）由，得
，
故
．
从而 
．
因此
．
设
，
则
，
故
，
注意到
，所以
．
特别地
，从而
．
所以．
…………………………………14分