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已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，若对任意
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用
的定义域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函数
的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是
第二问中，若对任意
不等式
恒成立，问题等价于
只需研究最值即可。
解： （I）的定义域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是 ．．．．．．．．4分
（II）若对任意不等式恒成立，
问题等价于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
当b<1时，
；
当
时，
；
当b>2时，
；
．．．．．．．．．．．．8分
问题等价于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以实数b的取值范围是
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已知函数
（1）若函数
的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）比较
大小，并写出比较过程；
（3）若
，求a的值.
【解析】本试题主要考查了指数函数的性质的运用。第一问中，因为函数的图象经过P（3，4）点，所以
，解得
，因为
，所以
.
（2）问中，对底数a进行分类讨论，利用单调性求解得到。
（3）中，由
知，
.，指对数互化得到
，，所以
，解得所以，
或 
.
解：⑴∵函数
的图象经过
∴，即. … 2分
又，所以.
………… 4分
⑵当
时，
;
当
时，
. ……………… 6分
因为，
，
当时，
在
上为增函数，∵
，∴
.
即.当时，在上为减函数，
∵，∴
.即. …………………… 8分
⑶由知，.所以，
（或）.
∴.∴
， … 10分
∴
或
，所以， 或 .
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已知函数
在
处取得极值2.
⑴ 求函数
的解析式；
⑵ 若函数在区间
上是单调函数，求实数m的取值范围；
【解析】第一问中利用导数
又f(x)在x=1处取得极值2，所以
，
所以
第二问中，
因为
，又f(x)的定义域是R，所以由
，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上单调递增，在
上单调递减，当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增，则有
，得
解：⑴ 求导
，又f(x)在x=1处取得极值2，所以，即，所以
…………6分
⑵ 因为，又f(x)的定义域是R，所以由，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上单调递增，在上单调递减，当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增，则有，得， …………9分
当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递减，则有
得
…………12分
.综上所述，当时，f(x)在(m,2m+1)上单调递增，当时，f(x)在(m,2m+1)上单调递减；则实数m的取值范围是或
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已知递增等差数列
满足：
，且
成等比数列．
（1）求数列的通项公式
；
（2）若不等式
对任意
恒成立，试猜想出实数
的最小值，并证明．
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为
，
由题意可知
，即
，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于
，利用当
时，
；当
时，
；而
，所以猜想，的最小值为
然后加以证明即可。
解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等价于，
当时，；当时，；
而，所以猜想，的最小值为． …………8分
下证不等式
对任意恒成立．
方法一：数学归纳法．
当时，
，成立．
假设当
时，不等式
成立，
当
时，
，
…………10分
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分
方法二：单调性证明．
要证
只要证 
，
设数列
的通项公式
， …………10分
， …………12分
所以对
，都有
，可知数列为单调递减数列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值为．
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