证法二：首先证明当b＞1，1＜x＜时，恒有f（x）＞x成立.

即1＜x＜时，恒有f（x）＞x．

其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立.

故函数y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.

（Ⅲ）证法一：首先证明当b＞1，1＜x＜时，恒有f（x）＞x成立.

用数学归纳法证明：

（?）由（Ⅱ）知当n=1时，在（1，x₂］上，y=f（x）=1+b（x－1），所以f（x）－x=（x－1）（b－1）＞0成立.

（?）假设n=k时在（x_k，x_k＋1］上恒有f（x）＞x成立.

可得f（x_k＋1）＝k＋1＞x_k＋1，

在（x_k＋1，x_k＋2］上，f（x）＝k＋1＋b^k＋1（x－x_k＋1），

所以f（x）－x=k+1+b^k＋1（x－x_k＋1）－x＝（b^k＋1－1）（x－x_k＋1）＋（k＋1－x_k＋1）＞0成立.

由（?）与（?）知，对所有自然数n在（x_n，x_n＋1）上都有f（x）＞x成立.

当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为［0，＋∞．

综上，当b＞1时，y=f（x）的定义域为［0，）；

当b＞1时，；

当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大.

为求函数f（x）的定义域，须对x_n＝（n＝1，2，3，…）进行讨论.

即x_n＝．

（Ⅱ）解：当0≤y≤1，从（Ⅰ）可知y=x，即当0≤x≤1时，f（x）=x.

当n≤y≤n＋1时，即当x_n≤x≤x_n＋1时，由（Ⅰ）可知

f（x）=n+bⁿ（x－x_n）  （x_n≤x≤x_n＋1，n＝1，2，3，…）．

因b≠1，得x_n＝，

由此知数列｛x_n－x_n－1｝为等比数列，其首项为1，公比为．