72、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)如图，在四棱锥P-ABCD中，CD//AB , AD⊥AB , AD = DC = AB , BC⊥PC．

(1)求证：PA⊥BC ；

(2)试在线段PB上找一点M，使CM // 平面PAD， 并说明理由．

解：(1)连，在四边形ABCD中，．

　　 设，．

在中，，

在中，

．

　，………………………3分

又，

　 ……………………………………………………5分

…………………………………………7分．

(2)当为的中点时，………………8分

　　 取的中点，连结则．

　 ，…………12分

　 ，，……14分．

71、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=

　 (1)求证：PA₁⊥BC；　 (2)求证：PB₁//平面AC₁D；(3)求

解：(1)证明：取B₁C₁的中点Q，连结A₁Q，PQ，

∴B₁C₁⊥A₁Q，B₁C₁⊥PQ，

∴B₁C₁⊥平面AP₁Q，

∴B₁C₁⊥PA₁，

　 ∵BC∥B₁C₁，∴BC⊥PA₁.　　　　　　　　　　　　　　　　

　 (2)连结BQ，在△PB₁C₁中，PB₁=PC₁=，B₁C₁=2，Q为中点，

∴PQ=1，∴BB₁=PQ，

∴BB₁∥PQ，∴四边形BB₁PQ为平行四边形，

∴PB₁∥BQ.

∴BQ∥DC₁，

∴PB₁∥DC₁，

又∵PB₁面AC₁D，

∴PB₁∥平面AC₁D.

(3)=

70、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图，正三棱柱中，是的中点，

(Ⅰ)求证：∥平面；

(Ⅱ)求二面角的大小。

解法一：(Ⅰ)证明：连接

　　 ∥。　 ……………………3分

∥平面 …………………………5分

(Ⅱ)解：在平面

-- ……………………8分

设。

在

所以，二面角--的大小为。 ………………12分

解法二：建立空间直角坐标系-，如图，

(Ⅰ)证明：连接连接。设

则

∥。 …………………………3分

∥平面…………5分

(Ⅱ)解：

设

故

同理，可求得平面。………………9分

设二面角--的大小为

　 　的大小为。……………………12分

69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=，

AC=BC=2，∠C=90°，点D是A₁C₁的中点.

　 (1)求证：BC₁//平面AB₁D；

　 (2)求二面角A₁-B₁D-A的正切值.

(1)证明：连结A₁B交AB₁于点O，连结OD

∵点D是A₁C₁的中点，点O是A₁B的中点，∴OD∥BC₁ …………………………2分

又∵OD平面A₁B₁C₁，BC₁平面A₁B₁C₁

∴BC₁∥平面AB₁D ………………………………………………………………5分

　 (2)过点A₁作A₁E垂直B₁D交B₁D延长于点E，连结AE

∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱　 ∴A₁A⊥平面A₁B₁C₁

又∵A₁E⊥B₁D　 ∴AE⊥B₁D　 ∴∠AEA₁是二面角A-B₁D-A₁的平面角 ………9分

　…………………………………………………………12分

解法二：利用空间向量法(略)

68、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)如图，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面中心，且在底面上的射影为，

　 (1)求证：平面平面；

　 (2)若点、分别在棱、上，且，问点在何处时，？

　 (3)若，求二面角的大小．

解法一：(1)证明: 建立空间直角坐标系如图所示，设地面正方形的边长为a，，

　　　　　 则 ，

　　　　　 由 ，得 　　平面

　　　　　 又平面，　 平面平面　　 …………………4分

　　 (2) 由(1)及，

　　　 得

　　　 设，则，

由　　　 　　　　…………… 8分

(3)由，　 从而 ，

　　　 设 是平面的一个法向量， 则 　

　　　　 又　 平面的一个法向量为

　　　 　　　　所求二面角的大小为　　 ………12分

　 解法二：用欧氏几何推证的方法也可以解决。(略)

67、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M.

　　　　 (Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小；

　　　　 (Ⅱ)求证：PB⊥平面ADMN；

　　　　 (Ⅲ)求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.

解：解法一：(I)取AD中点O，连结PO，BO.

　　　　 △PAD是正三角形，所以PO⊥AD，

　　　　 又因为平面PAD⊥平面ABCD，

　　　　 所以PO⊥平面ABCD，

　　　　 BO为PB在平面ABCD上的射影，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角

　　　　 由已知△ABD为等边三角形，所以PO＝BO＝，

　　　　 所以PB与平面ABCD所成的角为45°.

　 (Ⅱ)△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，

　　　　 又，PA＝AB＝2，N为PB中点，所以AN⊥PB，

　　　　 所以PB⊥平面ADMN.

　 (Ⅲ)连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，

　　　　 因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，

　　　　 故∠PON为所求二面角的平面角.

　　　　 因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON＝45°，

　　　　 即所求二面角的大小为45°

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)因为PO⊥平面ABCD，

所以PO⊥BO，△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，

以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知O(0，0，0)，B(0，，0，)，P(0，0，)，A(1，0，0)，D(－1，0，0)，N(0，)，

所以

，

所以，

所以AD⊥PB，AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN，

(Ⅲ)因为AD⊥PB，AD⊥BO，所以AD⊥平面POB， 所以ON⊥AD，

又PO⊥AD，所以故∠PON为所求二面角的平面角.

因为

设所求二面角为，则，

所以＝45°，即所求二面角的大小为45°.

66、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°。

(Ⅰ)证明：BD⊥AA₁；

(Ⅱ)求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；

　 (Ⅲ)在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。

解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，

连接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥

平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、

y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A₁(0，0，)

……2分

(Ⅰ)由于

则

∴BD⊥AA₁ ……………………4分

　 (Ⅱ)由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量

设⊥平面AA₁D

则

得到　　　　　　　　　　　　　 ……………………6分

所以二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是　　　　　　 　　　……………………8分

(Ⅲ)假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设

则

得　　　　　　　　　　　 ……………………9分

设

则设

得到　　　　　　　　　　 ……………………10分

又因为平面DA₁C₁

则·

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

65、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)在直三棱柱中，A₁A=AB=3，AC=3，

、Q分别为棱BB₁、CC₁上的点，且

.

(1)求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.

(2)在线段A₁B(不包括两端点)上是否存在一点M，使AM+MC₁最小？

若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.

解：(1)建立如图所示空间直角坐标系A

A(0，0，0)，P(3，0，)，Q(0，3，2).

设平面APQ的一个法向量为

令，则

平面ABC的一个法向量

∴平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°.…………………………………………(6分)

(1)问也用传统方法求解.(并参照计分)

(2)沿A₁B将面A₁BC₁与面A₁BA展开，连结AC₁与A₁B交于点M，此时AM+MC₁有最小值.

∵又C₁A₁⊥面ABB₁A₁，∴C₁A₁⊥A₁B.

∴△AA₁C₁中，∠AA₁C₁=135°

AC₁=

∴存在点M，使AM+AC₁取最小值为………………………………………(12分)

64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．

　 (Ⅰ)求证：AF∥平面PEC；

　 (Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的大小；

　 (Ⅲ)求二面角P一EC一D的大小．

解：(Ⅰ)取PC的中点O，连结OF、

　OE．∴FO∥DC，且FO=DC

∴FO∥AE ……………………2分

又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．

∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE

又OE平面PEC，AF平面PEC

∴AF∥平面PEC

(Ⅱ)连结AC

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平

面ABCD所成的角……………………6分

在Rt△PAC中，

即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 ……………………9分

(Ⅲ)作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE

∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．　 ……………………11分

由△AME∽△CBE，可得，∴

∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分

解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系，

则A(0．0，0)，B(2，0，0)，C(2，l，0)，

D(0，1，0)，F(0，，)，E(1，0，0)，

P(0，0，1)

(Ⅰ)取PC的中点O，连结OE，则O(1，，)，

∴　 ……………………5分

又OE平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC ………………… 6分

(Ⅱ)由题意可得，平面ABCD的法向量

即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 …………9分

(Ⅲ)设平面PEC的法向量为

则，可得，令，则　 ……11分

由(2)可得平面ABCD的法向量是

∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分

63、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,,平面,

.

(Ⅰ)求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小.

解：(Ⅰ)取DC的中点E.

∵ABCD是边长为的菱形,，∴BE⊥CD.

∵平面, BE平面，∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角.　 ……………………3分

∵BE=，PE=,∴==.　 ……………………………6分

(Ⅱ)连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵平面, AO平面，

∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.　　　　　　 ……………………………9分

∵AO=，OF=，∴=.

∴=.　　　　　　　　　　　　　 ……………………………12分