摘要：(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)如图.棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2.∠ABC=60°.平面AA1C1C⊥平面ABCD.∠A1AC=60°. (Ⅰ)证明:BD⊥AA1, (Ⅱ)求二面角D-A1A-C的平面角的余弦值, (Ⅲ)在直线CC1上是否存在点P.使BP//平面DA1C1?若存在.求出点P的位置,若不存在.说明理由. 解:连接BD交AC于O.则BD⊥AC. 连接A1O 在△AA1O中.AA1=2.AO=1. ∠A1AO=60° ∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·Aocos60°=3 ∴AO2+A1O2=A12 ∴A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥ 平面ABCD. 所以A1O⊥底面ABCD ∴以OB.OC.OA1所在直线为x轴. y轴.z轴建立如图所示空间直角坐标系. 则A.B(.0.0).C.D(-.0.0).A1(0.0.) --2分 (Ⅰ)由于 则 ∴BD⊥AA1 --------4分 (Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C ∴平面AA1C1C的法向量 设⊥平面AA1D 则 得到 --------6分 所以二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是 --------8分 (Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P.使BP//平面DA1C1 设 则 得 --------9分 设 则设 得到 --------10分 又因为平面DA1C1 则· 即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP --------12分

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