摘要：(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中.底面ABCD是矩形.PA⊥平面ABCD.PA=AD=1.AB=2.E.F分别是AB.PD的中点． (Ⅰ)求证:AF∥平面PEC, (Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的大小, (Ⅲ)求二面角P一EC一D的大小． 解:(Ⅰ)取PC的中点O.连结OF. OE．∴FO∥DC.且FO=DC ∴FO∥AE --------2分 又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE． ∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE 又OE平面PEC.AF平面PEC ∴AF∥平面PEC (Ⅱ)连结AC ∵PA⊥平面ABCD.∴∠PCA是直线PC与平 面ABCD所成的角--------6分 在Rt△PAC中. 即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 --------9分 (Ⅲ)作AM⊥CE.交CE的延长线于M．连结PM.由三垂线定理．得PM⊥CE ∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角． --------11分 由△AME∽△CBE.可得.∴ ∴二面角P一EC一D的大小为 --------13分 解法二:以A为原点.如图建立直角坐标系. 则A.C. D.F(0..).E. P (Ⅰ)取PC的中点O.连结OE.则O(1..). ∴ --------5分 又OE平面PEC.AF平面PEC.∴AF∥平面PEC ------- 6分 (Ⅱ)由题意可得.平面ABCD的法向量 即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 ----9分 (Ⅲ)设平面PEC的法向量为 则.可得.令.则 --11分 由(2)可得平面ABCD的法向量是 ∴二面角P一EC一D的大小为 --------13分

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