62、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，且,点是的中点。

⑴求证：；

⑵求证：；

⑶求二面角的大小。

61、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点。

⑴求证：；

⑵求直线与平面所成的角的大小；

⑶求二面角的正切值。

解：⑴连结。在中，

，点为的中点，

又面，即为在平面内的射影

分别为的中点

⑵面，

连结交于点，，

平面

为直线与平面所成的角，且

面，，又

，，

在中，，

⑶过点作于点，连结，，

面，即为在平面内的射影

，为二面角的平面角

中，，

(其他解法根据具体情况酌情评分)

60、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD. 已知

(1)证明；

(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.

解法一：(1)作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又，故为等腰直角三角形， 由三垂线定理，得

(2)由(1)知，依题设，故，由，得 所以的面积 连结DB，得的面积 设D到平面SAB的距离为h，由，

得，解得

设SD与平面SAB所成角为，则 所以直线SD与平面SAB所成的角为

解法二：(1)作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得平面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又，为等腰直角三角形，

如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz， ，所以

(2)取AB中点E，. 连结SE，取SE中点G，连结OG，

，OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直，所以平面SAB.的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余.

所以直线SD与平面SAB所成的角为

59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是a的正方形，

PA⊥平面ABCD，且PA=2AB

　 (Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PBD；

　 (Ⅱ)求二面角B-PC-D的余弦值.

解：(Ⅰ)证明：∵PA⊥平面ABCD　 ∴PA⊥BD

∵ABCD为正方形　 ∴AC⊥BD

∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内，

∴平面PAC⊥平面BPD　　　 6分

　 (Ⅱ)解法一：在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角，

在△BND中，BN=DN=，BD=

∴cos∠BND =

　　 解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角

设

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

　　　　　　　　　　　　　 12分

解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易证AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，

　 设

∵二面角B-PC-D的平面角与∠MAN互补

∴二面角B-PC-D的余弦值为　 12分

58、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)(湖北省鄂州市2008年高考模拟)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足(如图1).将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P(如图2)

　 (Ⅰ)求证：A₁E⊥平面BEP；

　 (Ⅱ)求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

　 (Ⅲ)求二面角B－A₁P－F的大小(用反三角函数表示).

解：不妨设正三角形的边长为3，则

(1)在图1中，取中点，连结，

则∵　 ,

∴而，即△　

是正三角形

又∵, ∴

∴在图2中有,,

∴为二面角的平面角

∵二面角为直二面角,　∴

又∵,　∴⊥平面,即⊥平面.

(2)由(1)问可知A₁E⊥平面BEP，BE⊥EF,建立如图的坐标系，则E(0，0，0)，A₁(0，0，1)B(2，0，0)，F(0，0，).在图1中，不难得到EF//DP且EF＝DP；DE// FP且DE＝FP

故点P的坐标P(1，，0)

∴，，

不妨设平面A₁BP的法向量，则

令得　∴

故直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小为.

　 (3)由(2)问可知平面A₁BP的法向量，，

设平面AEP的法向量，则

令得　故

显然二面角B－A₁P－F为钝角　故二面角B－A₁P－F为.

[方法探究]本题属于翻折问题，在翻折前的图1中易证EF⊥AB，而翻折后保持这一垂直关系，并且易证，从而有“三条直线两两垂直”，所以本例可以建立坐标系，利用空间向量求解.

[技巧点拨]本题属于翻折问题，这是高考的热点题型. 求解翻折问题的策略是对比翻折前后，分析变与不变，一般地有：(1)分析翻折前后点的变化，注意点与点的重合问题以及点的位置的改变；(2)分析翻折前后长度与角度的变化，注意利用平面图形解决空间的线段长度以及空间角的大小；(3)若翻折后，线与线仍同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变化；若翻折后，线与线由同一平面转为不同平面，则应特别注意点的位置变化.

57、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

　 (1)证明：D₁E⊥A₁D；

　 (2)当E为AB的中点时，求点A到面ECD₁的距离；

　 (3)AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为.

(1)证明：连，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，为在平面的射影，

而AD=AA₁=1，则四边形是正方形，

由三垂线定理得D₁E⊥A₁D　 ……………3分

(2)解：以点D为原点，DA为轴，DC为轴建立如图所示的直角坐标系。则

、、、则，，

，设平面的法向量为

，记

点A到面ECD₁的距离……………7分

(3)解：设则，设平面的法向量为

，记

而平面ECD的法向量，则二面角D₁-EC-D的平面角

。

当AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为。……………12分

56、(湖北省八校高2008第二次联考)如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为的中点，为的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解：(1)证明取SC的中点R，连QR, DR.

由题意知：PD∥BC且PD=BC;

QR∥BC且QP=BC,

QR∥PD且QR=PD.

PQ∥DR, 又PQ面SCD,

PQ∥面SCD. 　　…………(6分)

　 (2)法一：连接SP，

　　　　　 .

. ，

　　　 　…………(12分)

(2)法二：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，

则S()，B(),C()，Q().

　　　 　面PBC的法向量为(),设为面PQC的一个法向量，

　　　　　 由，

cos，

　　　　　　　 …………(12分)

55、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)如图，正方形ABCD中，AC∩BD＝O,PO⊥平面ABCD，PO＝AD＝，点E在PD上，PE：ED=2：1。

　 (1)证明：PD⊥平面EAC；

　 　 (2)求二面角A-PD-C的余弦值；

　 (3)求点B到平面PDC的距离。

解：(1)

　 (2)∠CEA为二面角A-PD-C的平面角，

　 (3)点B到平面PDC的距离为

54、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，

且侧面底面.

(1)证明：点在平面上的射影为的中点；

(2)求二面角的大小 ；

(3)求点到平面的距离.

(1)证明：过B₁点作B₁O⊥BA。∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC

∴A₁O⊥面ABC ∴∠B₁BA是侧面BB₁与底面ABC倾斜角

∴∠B₁BO=　 在Rt△B₁OB中，BB₁=2，∴BO=BB₁=1

又∵BB₁=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中点。

即点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

　 (2)连接AB₁过点O作OM⊥AB₁，连线CM，OC，

∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA₁BB₁ ∴OC⊥平面AABB。

∴OM是斜线CM在平面AA₁B₁B的射影 ∵OM⊥AB₁

∴AB₁⊥CM　 ∴∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角

在Rt△OCM中，OC=，OM=

∴∠OMC=cosC+sin2

∴二面角C-AB₁-B的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………8分

　 (3)过点O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON

∴ON⊥平面AB₁C。∴ON是O点到平面AB₁C的距离

连接BC₁与B₁C相交于点H，则H是BC₁的中点

∴B与C₁到平面ACB₁的相导。

又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB₁C的距离

是O到平面AB₁C距离的2倍

是G到平面AB₁C距离为　　　　　 …………12分

53、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，BB₁＝BC＝2，且M是BC的中点，点N在CC₁上．

(Ⅰ)试确定点N的位置，使AB1⊥MN；

(Ⅱ)当AB₁⊥MN时，求二面角M－AB₁－N的大小．