摘要：(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图.在四棱锥P-ABCD中.侧面PAD是正三角形.且与底面ABCD垂直.底面ABCD是边长为2的菱形.∠BAD＝60°.N是PB中点.截面DAN交PC于M. (Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小, (Ⅱ)求证:PB⊥平面ADMN, (Ⅲ)求以AD为棱.PAD与ADMN为面的二面角的大小. 解:解法一:(I)取AD中点O.连结PO.BO. △PAD是正三角形.所以PO⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD. 所以PO⊥平面ABCD. BO为PB在平面ABCD上的射影. 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角 由已知△ABD为等边三角形.所以PO＝BO＝. 所以PB与平面ABCD所成的角为45°. (Ⅱ)△ABD是正三角形.所以AD⊥BO.所以AD⊥PB. 又.PA＝AB＝2.N为PB中点.所以AN⊥PB. 所以PB⊥平面ADMN. (Ⅲ)连结ON.因为PB⊥平面ADMN.所以ON为PO在平面ADMN上的射影. 因为AD⊥PO.所以AD⊥NO. 故∠PON为所求二面角的平面角. 因为△POB为等腰直角三角形.N为斜边中点.所以∠PON＝45°. 即所求二面角的大小为45° 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)因为PO⊥平面ABCD. 所以PO⊥BO.△ABD是正三角形.所以AD⊥BO. 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知O.B(0..0.).P(0.0.).A.D.N(0.). 所以 . 所以. 所以AD⊥PB.AN⊥PB.所以PB⊥平面ADMN. (Ⅲ)因为AD⊥PB.AD⊥BO.所以AD⊥平面POB. 所以ON⊥AD. 又PO⊥AD.所以故∠PON为所求二面角的平面角. 因为 设所求二面角为.则. 所以＝45°.即所求二面角的大小为45°.

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