30．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连结AE交BC于F，作FG∥BE交AB于G．

求证：FG＝FC．

[提示]证明＝．

[答案]∵　FG∥BE，∴　＝．∵　FC∥ED，∴　＝．

∴　＝．又　EB＝ED，∴　FG＝FC．

29．如图，BD、CE为△ABC的高，求证∠AED＝∠ACB．

[提示]先证△ABD∽△ACE，再证△ADE∽△ABC．

[答案]∵　∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，

∴　△ABD∽△ACE．∴　＝．

又　∠A＝∠A，∴　△ADE∽△ABC．∴　∠AED＝∠ACB．

[点评]本题要求运用相似三角形的判定与性质．

28．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP²＝PE·PF．

[提示]先证PB＝PC，再证△EPC∽△CPF．

[答案]连结PC．

∵　AB＝AC，AD是中线，∴　AD是△ABC的对称轴．

∴　PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵　CF∥AB，

∴　∠PFC＝∠ABP．∴　∠PCE＝∠PFC．

又　∠CPE＝∠EPC，∴　△EPG∽△CPF．

∴　＝．即　PC²＝PE·PF．∴　BP²＝PE·PF．

[点评]本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．

27．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

[提示]先证＝．

[答案]在正方形ABCD中，

∵　Q是CD的中点，∴　＝2．

∵　＝3，∴　＝4．

又　BC＝2DQ，∴　＝2．

在△ADQ和△QCP中，＝，∠C＝∠D＝90°，

∴　△ADQ∽△QCP．

[点评]本题要求运用相似三角形的判定定理．

26．如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．

[提示]利用相似三角形的性质，列出关于ED的方程，求ED的长，即可求出S_△ABC．

[答案]∵　矩形PQMN，

∴　PN∥QM，PN＝QM．∵　AD⊥BC，

∴　AE⊥PN．∵　△APN∽△ABC，

∴　＝．

设ED＝x，又　矩形周长为24，则

PN＝12－x，AD＝16+x．

∴　＝．即　x²+4x－32＝0．解得　x＝4．

∴　AD＝AE+ED＝20．∴　S_△ABC＝BC·AD＝100．

[点评]本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比．

25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．

(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．

[提示](1)考虑AC、PD、PC、DB之间比例关系．

(2)利用相似三角形的性质“对应角相等”．

[答案]∵　∠ACP＝∠PDB＝120°，

当＝，即＝，也就是CD²＝AC·DB时，△ACP∽△PDB．

∴　∠A＝∠DPB．

∴　∠APB＝∠APC+∠CPD+∠DPB

＝∠APC+∠A+∠CPD

＝∠PCD+∠CPD

＝120°．

[点评]本题要求运用相似三角形判定定理和性质的运用．

24．如图，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD与CE相交于F，求+的值．

[提示]作EG∥BC交AD于G．

[答案]作EG∥BC交AD于G，则由＝，即＝，得

EG＝BD＝CD，

∴　＝＝．

作DH∥BC交CE于H，则DH＝BE＝AE．

∴　＝＝1，

∴　+＝+1＝．

[点评]本题要求灵活运用三角形一边平行线的性质定理．

23．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，求线段BF的长．

[提示]先求出FC．

[答案]∵　DE∥BC，DF∥AC，

∴　四边形DECF是平行四边形．

∴　FC＝DE＝5 cm．

∵　DF∥AC，

∴　＝．

即　＝，

∴　BF＝10(cm)．

[点评]本题要求运用平行四边形判定定理和性质定理、平行线分线段成比例定理．

22．如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是_____________．

[提示]△BGC∽△FGA，推出FG＝BG，得连结FC．S_△BCF＝S_正方形，再列出

S_△CDF与S_正方形的关系式．或由△BGC∽△FGA得，所以

S_△AFG＝S_△BCG＝S_△AGB，又　S_△ACD＝S_△ACB，从而得出S_{四边形CGFD}＝5S_△AFG，

S_△BCG＝4S_△AFG．

[答案]4︰5．

[点评]本题要求运用相似三角形的基本定理与性质．

21．如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么

△MON∽△AOC面积的比是____________．

[提示]利用三角形中位线定理．

[答案]1︰4．

[点评]本题要求运用相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的中位线定理．