山东省聊城市2009年高三年级高考模拟（二）

数学试题（理科）

注意事项：

       1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。

       2．答第Ⅰ卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡和试题纸上。

       3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上。

       4．第II卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。

       5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

参考公式：

       1．若事件A、B互斥，则

       2．若事件A、B相互独立，则

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

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山东省聊城市2009年高三年级高考模拟（二）

数学试题（文科）

注意事项：

       1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。

       2．答第Ⅰ卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡和试题纸上。

       3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上。

       4．第II卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。

       5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

参考公式：

       1．若事件A、B互斥，则

       2．若事件A、B相互独立，则

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

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2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三

1．（本小题满分13分）

  如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

    （I）求证：；

    （II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；

    （III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.

解：（I）右准线，渐近线

    ，

                     ……3分

    （II）

双曲线C的方程为：               ……7分

    （III）由题意可得                           ……8分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

    证明：设，点

    由得

    与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

                                ……11分

    ，得

的取值范围是（0，1）                            ……13分

2（本小题满分13分）

已知函数，

数列满足

    （I）求数列的通项公式；

    （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；

    （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

    （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.

解：（I）

                          ……1分

    ……

    将这n个式子相加，得

                          ……3分

    （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1

                                         ……6分

    （III）设满足条件的正整数N存在，则

    又

    均满足条件

    它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

    设共有m个满足条件的正整数N，则，解得

    中满足条件的正整数N存在，共有495个，        ……9分

    （IV）设，即

    则

    显然，其极限存在，并且       ……10分

    注：（c为非零常数），等都能使存在.

19. （本小题满分14分）

    设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.

    （I）求此双曲线的渐近线的方程；

    （II）若A、B分别为上的点，且，求w.w.w.k.s.5.u.c.o.m线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：（I）

    ，渐近线方程为               4分

    （II）设，AB的中点

    则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）

    （III）假设存在满足条件的直线

    设

    由（i）（ii）得

    ∴k不存在，即不存在满足条件的直线.               14分

3. （本小题满分13分）

    已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.

    （I）求证数列是等比数列；

    （II）设数列的公比，数列满足：

，试问当m为何值时，

成立？

解：（I）由已知

        （2）

    由得：，即对任意都成立

    （II）当时，

    由题意知，                        13分

4．（本小题满分12分）

设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．

解：（1）设点其中．

由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分

∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分

而，

∴．．②，　　　　　　　　　　　5分

由①②知．

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

（2）满足条件的圆心为，

，　　　　　　　　　　　　　　8分

圆半径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

由圆与直线：相切得，，

又．∴椭圆方程为．　　　　12分

5．（本小题满分14分）

（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．

（理）解：设公差为，则．　　3分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

又．

∴，当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　　　　　　13分

当数列首项，公差时，，

∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　14分

（文）解：设公差为，则．　　　3分

，　　　　　　　　　　　6分

又．

∴．

当且仅当时，等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　　　　　　　13分

当数列首项，公差时，．

∴的最大值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

6．（本小题满分12分）

垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A₁、A₂分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A₁M与A₂N交于点P（x₀，y₀）

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.

解（Ⅰ）证明：

　　　　①

直线A₂N的方程为    ②……4分

①×②，得

（Ⅱ）

……10分

当……12分

7．（本小题满分14分）

    已知函数

       （Ⅰ）若

       （Ⅱ）若

       （Ⅲ）若的大小关系（不必写出比较过程）.

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）设，

……6分

（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时

当k为奇数时……14分

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