2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三
1．（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：
的右准线
与一条渐近线
交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.
（I）求证：
；
（II）若
且双曲线C的离心率
，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线
过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足
，试判断
的范围，并用代数方法给出证明.
解：（I）
右准线
，渐近线
，
……3分
（II）
双曲线C的方程为：
……7分
（III）由题意可得
……8分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
证明：设
，点
由
得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
，得
的取值范围是（0，1） ……13分
2
（本小题满分13分）
已知函数
，
数列
满足
（I）求数列的通项公式；
（II）设x轴、直线
与函数
的图象所围成的封闭图形的面积为
，求
；
（III）在集合
，且
中，是否存在正整数N，使得不等式
对一切
恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.
（IV）请构造一个与有关的数列
，使得
存在，并求出这个极限值.
解：（I）
……1分
……
将这n个式子相加，得
……3分
（II）
为一直角梯形（
时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为
，高为1
……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
又
均满足条件
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N，则
，解得
中满足条件的正整数N存在，共有495个，
……9分
（IV）设
，即
则
显然，其极限存在，并且
……10分
注：
（c为非零常数），
等都能使存在.
19. （本小题满分14分）
设双曲线
的两个焦点分别为
，离心率为2.
（I）求此双曲线的渐近线
的方程；
（II）若A、B分别为上的点，且
，求w.w.w.k.s.5.u.c.o.m线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（III）过点
能否作出直线
，使与双曲线交于P、Q两点，且
.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
解：（I）
，渐近线方程为
4分
（II）设
，AB的中点
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为
，短轴长为
的椭圆.（9分）
（III）假设存在满足条件的直线
设
由（i）（ii）得
∴k不存在，即不存在满足条件的直线. 14分
3. （本小题满分13分）
已知数列
的前n项和为
，且
对任意自然数都成立，其中m为常数，且
.
（I）求证数列是等比数列；
（II）设数列的公比
，数列
满足：
，试问当m为何值时，
成立？
解：（I）由已知
（2）
由
得：
，即
对任意
都成立
（II）当
时，
由题意知
，
13分
4．（本小题满分12分）
设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
，过点与
垂直的直线分别交椭圆和
轴正半轴于
，
两点，且分向量
所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过
三点的圆恰好与直线
：
相切，求椭圆方程．
解：（1）设点
其中
．
由分所成的比为8∶5，得
， 2分
∴
．①， 4分
而
，
∴
．
．②， 5分
由①②知
．
∴
． 6分
（2）满足条件的圆心为
，
， 8分
圆半径
． 10分
由圆与直线：相切得，
，
又
．∴椭圆方程为
． 12分
5．（本小题满分14分）
（理）给定正整数
和正数
，对于满足条件
的所有无穷等差数列
，试求
的最大值，并求出
取最大值时的首项和公差．
（文）给定正整数和正数，对于满足条件
的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．
（理）解：设公差为
，则
． 3分
4分
． 7分
又
．
∴
，当且仅当
时，等号成立． 11分
∴
． 13分
当数列首项
，公差
时，
，
∴的最大值为
． 14分
（文）解：设公差为，则． 3分
， 6分
又
．
∴
．
当且仅当时，等号成立． 11分
∴
． 13分
当数列首项，公差时，．
∴的最大值为． 14分
6．（本小题满分12分）
垂直于x轴的直线交双曲线
于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）过P作斜率为
的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
解（Ⅰ）证明：
①
直线A2N的方程为
②……4分
①×②，得
（Ⅱ）
……10分
当
……12分
7．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若
（Ⅲ）若
的大小关系（不必写出比较过程）.
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）设
，
……6分
（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时
当k为奇数时
……14分