2009届高考数学快速提升成绩题型训练――圆锥曲线1. 已知常数m > 0 .向量a = .向量b = (m, 0).经过点A(m, 0).以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)——青夏教育精英家教网—

2009届高考数学快速提升成绩题型训练――圆锥曲线

1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．

(1) 求点P的轨迹E；　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．

2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F₁、F₂，直线过F₂且与直线F₁F₂的夹角为，且，与线段F₁F₂的垂直平分线的交点为P，线段PF₂与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.

3. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.

（1）求曲线C的方程；

（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；

（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明

4. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F₁、F₂在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。

6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积

7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值

8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。

9. 已知圆：x²+y²=c²(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。

⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；

⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。

10. 已知点（x,y）在椭圆C：（a＞b＞0）上运动

⑴求点的轨迹C^′方程；

⑵若把轨迹C^′的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。

11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。

（1）求椭圆的离心率与;

（2）对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成立.

12. 已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y²=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

13. 如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

14. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F₂的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.

15. 设分别是椭圆的左，右焦点。

（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，

求点的坐标。

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。

16. 抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；

（3）当时，若点P的坐标为（1，―1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取

值范围.

17. 如图，已知点F（1，0），直线为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。

（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k₁,k₂，求k₁+k₂

的值；

（Ⅱ）若线段AB上点R满足求证：

RF⊥MF。

18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F₁、F₂分别为它的左、右焦点，直

线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使

（1）求椭圆C的方程；

（2）若PQ为过椭圆焦点F₂的弦，且内切圆面积最大时实数的值.

19. 已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.

20. 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；

（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

答案：

1. 解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为；…………………………①

又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP方程为；…………………………②

由①、②消去λ得，即．

故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x² + y²= 4；

当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：

当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆．

(2)　假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)² + y²= (4- k)²;

椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且．

由圆Q与椭圆E的方程联立得2y²- 5kx + 20k- 30 = 0,

设M(x₁, y₁), N(x₂, y₂), 则有， ………………………………………………③

△=25k²- 4×2(20k- 30)，

又 |MF| =, |NF| =, 而；

∴ +,

由此可得　，……………………………………………………………………④

由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．

2. 解以F₁F₂的中点为原点，F₁、F₂所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a>0，b>0），设F₂（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又，

∴，，∴双曲线方程为.

3. （1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为（0，），

，于是点N的坐标为，N₁的坐标

为，所以

由

由此得

由

即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分

（2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C

无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为

由方程组

依题意

当时，设交点PQ的中点为，

则

又

而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分

（3）由题意有，则有方程组

由（1）得（5）

将（2），（5）代入（3）有

整理并将（4）代入得，

易知

因为B（1，0），S，故，所以

4. 解：（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得

∵且的面积为1

∴,

∴

∴双曲线C的标准方程为。

（2）设，联立得

显然否则直线与双曲线C只有一个交点。

即

则

又

∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)

∴即

∴

化简整理得

∴ ，且均满足

当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！

当时，直线的方程为，直线过定点（，0）

∴直线定点，定点坐标为（，0）。

5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。

解：设双曲线的方程为

在双曲线上

得

所以双曲线方程为

6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积

解：双曲线可化为

设

由题意可得

即

所以

7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值

解：设双曲线的方程为所以渐近线方程为

到的距离到的距离

*

又在双曲线上所以即

故*可化为

8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。

解：在半圆上

在圆上即

又

可得

所以双曲线方程为

9. 解：⑴设R(x,y)是圆：x²＋y²=c²上任一点，则S（x,y）在所求椭圆上的点，设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得：故所求的椭圆方程为：椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=与c无关。

⑵设直线l的方程为：x=－c＋tcos

<

试题详情

2009届高考数学快速提升成绩题型训练――数列求通项公式

1. 设数列{a_n}的前项的和S_n=（a_n-1） (n)．

(Ⅰ)求a₁；a₂；

(Ⅱ)求证数列{a_n}为等比数列．

2 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n +(-1)ⁿ,n≥1．

（Ⅰ）写出求数列{a_n}的前3项a₁,a₂,a₃；

（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有.

3. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m．

4. 若数列满足：．

求证：①； ②是偶数．

5. 已知数列，且, 其中k=1,2,3,…….

（I）求；

（II）求{ a_n}的通项公式.

6. 设是常数，且，（）．

证明：．

7. 已知数列的前n项和S_n满足

(Ⅰ)写出数列的前3项

(Ⅱ)求数列的通项公式．

8. 已知数列满足，，求数列的通项公式。

9. 已知数列满足，求数列的通项公式。

10. 已知数列满足，求数列的通项公式。

11. 已知数列满足，求数列的通项公式。

12. 已知数列满足，求数列的通项公式。

13. 已知数列满足，则的通项

14. 已知数列满足，求数列的通项公式。

15. 已知数列满足，求数列的通项公式。

16. 已知数列满足，求数列的通项公式。

17. 已知数列满足，，求数列的通项公式。

18. 已知数列满足，求数列的通项公式。

19. 已知数列满足，求数列的通项公式。

20. 已知数列满足，求数列的通项公式。

21. 已知数列满足，求数列的通项公式。

22. 已知数列满足，求数列的通项公式。

23. 已知数列满足，求。

24. 已知数列满足，求。

25. 已知数列中，，求。

答案：

1. 解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

(Ⅱ)当n>1时,

得所以是首项,公比为的等比数列．

2. 解：⑴当n=1时,有：S₁=a₁=2a₁+(-1) a₁=1；

当n=2时,有：S₂=a₁+a₂=2a₂+(-1)²a₂=0；

当n=3时,有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+(-1)³a₃=2；

综上可知a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：

化简得：

上式可化为：

故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列.

故 ∴

数列{}的通项公式为：.

⑶由已知得：

.

故( m>4).

3. 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n_－₁＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）.

（2006年安徽卷）数列的前项和为，

已知．

（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

解：由得：，即，所以，对成立．

由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立．

（Ⅱ）由，得．

而，

，

．

4. 证明：由已知可得：

又=

而=

所以，而为偶数．

5. 解（Ⅰ）（略）

(II)

所以，为差型

故

=．

．

所以{a_n}的通项公式为：

当n为奇数时，；

当n为偶数时，．

6. 方法（1）：构造公比为―2的等比数列，用待定系数法可知．

方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以得：，从而可以用累加的方法处理．

方法（3）：直接用迭代的方法处理：

．

7. 分析： -①

由得 -②

由得，，得 -③

由得，，得 -④

用代得 -⑤

①―⑤：

即 --⑥

8. 解：两边除以，得，则，

故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

9. 解：由

得

则

所以数列的通项公式为

10. 解：由

得

则

所以

11. 解：两边除以，得

，

则，

故

因此，

则

12. 解：因为，所以，则，

则

所以数列的通项公式为

13. 解：因为 ①

所以 ②

所以②式－①式得

则

所以

③

由，取n=2得，则，又知，则，代入③得

。

14. 解：设 ④

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，

得 ⑤

由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则_试题详情

2009届高考数学快速提升成绩题型训练――三角函数

1. 右图为的图象的一段，求其解析式。

2 设函数图像的一条对称轴是直线。

（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；

（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。

3. 已知函数，

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；

（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。

4. 已知向量= (，2)，=(，（。

（1）若，且的最小正周期为，求的最大值，并求取得最大值时的集合；

（2）在（1）的条件下，沿向量平移可得到函数求向量。

5. 设函数的图象经过两点（0，1），（），且在，求实数a的的取值范围.

6. 若函数的最大值为，试确定常数a的值.

7. 已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．

8. 试判断方程sinx=实数解的个数.

9. 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当

时，函数，其图象如图.

（1）求函数在的表达式；

（2）求方程的解.

10. 已知函数的图象在轴上的截距为1，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为和.

(1)试求的解析式；

(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数的图象.写出函数的解析式.

11. 已知函数

（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程

（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

12. （ω＞0）

（1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值

（2）f (x)在（0，）上是增函数，求ω最大值。

13. 已知且a∥b. 求的值.

14. 已知△ABC三内角A、B、C所对的边a，b，c，且

（1）求∠B的大小；

（2）若△ABC的面积为，求b取最小值时的三角形形状.

15. 求函数y=的值域.

16. 求函数y=的单调区间.

17. 已知

①化简f(x);②若，且，求f(x)的值；

18. 已知ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且A<B<C，tgA?tgC,①求角A、B、C的大小；②如果BC边的长等于，求ΔABC的边AC的长及三角形的面积.

19. 已知，求tg(a-2b).

20. 已知函数

（I）求函数的最小正周期；（II）求函数的值域.

21. 已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．

（1）求

（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。

22. 已知函数的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.

23. 在ㄓABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且

（1）求tanC的值; （2）若ㄓABC最长的边为1，求b。

24. 如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。

25. 在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且。

（1）求角B的大小；

（2）若，求a的值。

答案：

1. 解析法1以M为第一个零点，则A=，

所求解析式为

点M（在图象上，由此求得

所求解析式为

法2. 由题意A=，，则

图像过点

即取

所求解析式为

2. 解析（Ⅰ）的图像的对称轴，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由题意得

所以函数

（Ⅲ）由

x

0

y

－1

0

1

0

3. 解析（1）由题意得sinx-cosx＞0即，

从而得，

∴函数的定义域为，

∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函数f(x)的值域是。

（2）单调递增区间是

单调递减区间是，

（3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。

（4）∵

∴函数f(x)的最小正周期T=2π。

4. 解析=，T=，

=，，这时的集合为

_（2_）的图象向左平移，再向上平移1个单位可得的图象，所以向量=。

5. 解析由图象过两点得1=a+b，1=a+c，

当a＜1时，，

只须解得

当

要使解得，

故所求a的范围是

6. 解析

因为的最大值为的最大值为1，则

所以

7. 解析设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）

因为，，所以，

由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，

若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．

∵　，，，，，

，

∴　当时，

，．

∵　，　∴　．

当时，同理可得或．

综上的解集是当时，为；

当时，为，或．

8. 解析方程sinx=实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数

∵|sinx|≤1∴||≤1, |x|≤100л

当x≥0时，如右图，此时两线共有

100个交点，因y=sinx与y=都是奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。

9. 解析（1）当时，

函数，观察图象易得：

，即函数，由函数的图象关于直线对称得，时，函数.

∴.

（2）当时，

由得，；

当时，由得，.

∴方程的解集为

10. 解析（1）由题意可得：，，，

函数图像过（0，1），，，，

；

（2）

11. 解析 (1)

由=0即

即对称中心的横坐标为

（Ⅱ）由已知b²=ac，

即的值域为.

12. 解析（1）因为f (x +θ)=

又f (x +θ)是周期为2π的偶函数，故 Z

（2）因为f (x)在（0，）上是增函数，故ω最大值为

13. 由a∥b得，

即

思路点拨：三角函数的求值问题，关键是要找到已知和结论之间的联系，本题先要应用向量的有关知识及二倍角公式将已知条件化简，然后将所求式子的角向已知角转化.

14. (1)由

∴

的不等式：(1) x²－(a＋1)x＋a＜0，(2) ．

2 设集合A={x|x²＋3k²≥2k(2x－1)}，B={x|x²－(2x－1)k＋k²≥0}，且AB，试求k的取值范围．

3．不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

4．已知二次函数y＝x²＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解关于x的不等式qx²＋px＋1＞0．

5．若不等式的解集为，求实数p与q的值．

6. 设，若，，, 试证明：对于任意，有.

7.（经典题型，非常值得训练）设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.

8. 已知关于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

9. 已知二次函数f(x)=ax²+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；

(2)求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围.

10.已知实数t满足关系式 (a>0且a≠1)

(1)令t=a^x,求y=f(x)的表达式；

(2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.

11.如果二次函数y=mx²+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

12.二次函数f(x)=px²+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证：

(1)pf()<0;

(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.

(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax²＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；

　　(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

15. 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.

16. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；

（2）如果，，求的取值范围.

17. 设,，,求证：

(Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.

18. 已知二次函数的图象如图所示：

（1）试判断及的符号；

（2）若|OA|＝|OB|，试证明。

19. 为何值时，关于的方程的两根：

（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。

20. 证明关于的不等式与，当为任意实数时，至少有一个桓成立。

21. 已知关于的方程两根为，试求的极值。

22. 若不等式对一切x恒成立，求实数m的范围.

23. 设不等式ax²+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx²+bx+a<0的解集.

答案：

1.解：(1)原不等式可化为：若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时，

解为a＜x＜1，若a=1时，解为

(2)△=．

①当，△＞0．

方程有二实数根：

∴原不等式的解集为

①当=±4 时，△=0，两根为

若则其根为－1，∴原不等式的解集为．

若则其根为1，∴原不等式的解集为．

②当－4＜时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．

2．解：，比较

因为

(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.

(2)当k=1时，x.

(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，

(1)当k=0时，.

(2)当k＞0时，△＜0，x.

(3)当k＜0时，.

故：当时，由B=R，显然有A，

当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.

综上所述，k的取值范围是：

3..解： (１)当m²－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，

①若m＝3，原不等式解集为R

②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0

∴原不等式解集为｛x｜x＜＝，不合题设条件.

(２)若m²－2m－3≠0，依题意有

即

∴－＜m＜3?

综上，当－＜m≤3时，不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集为R.

4..解：由已知得x₁＝－，x₂＝是方程x²＋px＋q=0的根，

∴－p=－＋ q=－×

∴p＝，q＝－，∴不等式qx²＋px＋1＞0

即－x²＋x＋1＞0

∴x²－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx²＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.

5.．解：由不等式的解集为，得

2和4是方程的两个实数根，且．(如图)

解得

6. 解：∵ ,

∴ ,

∴ .∴ 当时，

当时，

7. 证明：由题意可知.

,∴ ,

∴ 当时，.

又,

∴ ,

综上可知，所给问题获证.

8. 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x²+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

∴.

(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组

(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)

9. (1)证明：由消去y得ax²+2bx+c=0

Δ=4b²－4ac=4(－a－c)²－4ac=4(a²+ac+c²)=4［(a+c²］

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴c²>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.

(2)解：设方程ax²+bx+c=0的两根为x₁和x₂,则x₁+x₂=－,x₁x₂=.

|A₁B₁|²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)

∵的对称轴方程是.

∈(－2,－)时，为减函数

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈().

10. .解：(1）由log_a得log_at－3=log_ty－3log_ta

由t=a^x知x=log_at，代入上式得x－3=,?

∴log_ay=x²－3x+3，即y=a (x≠0).

(2)令u=x²－3x+3=(x－)²+ (x≠0),则y=a^u

①若0＜a＜1,要使y=a^u有最小值8，

则u=(x－)²+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a>1,要使y=a^u有最小值8，则u=(x－)²+,x∈(0,2应有最小值

∴当x=时，u_min=,y_min=

由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

11.解：∵f(0)=1>0

(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.

(2）当m>0时，则解得0＜m≤1

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

12.证明：(1)

,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.

(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r

①当p＜0时，由(1）知f()＜0

若r>0,则f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解;

若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,

又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解.

②当p＜0时同理可证.

13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得?

y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x²+130x－500

由y≥1300知－2x²+130x－500≥1300

∴x²－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.

(2）由(1）知y=－2x²+130x－500=－2(x－)²+1612.5

∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，

∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.

14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])．

　　所以当－1≤x≤1时，

15. 解：由题意 .

它的对称轴方程为

由方程的两个根满足, 可得

且,

∴ ，

即，而

故 .

16. 解：设，则的二根为和.

（1）由及，可得，

即，

即

两式相加得，所以，;

（2）由, 可得 .

又，所以同号.

∴ ，等价于或,

即或

解之得或.

17. 证明：（I）因为，

所以.

由条件，消去，得

；

由条件，消去_{有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢．}

（１）这个游戏是否公平？请说明理由；

（２）如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏．

3. 一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．求其中白球的个数。

4. 在右图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．将它作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗？为什么？

5. 在口袋里有4颗糖，其中2颗是草莓口味的，1颗是苹果口味的，1颗是薄荷口味的．

（1）从中同时取出两颗，共有多少种等可能的结果？

（2）从中取出一颗，放回搅匀后再取一颗，共有多少种等可能的结果？

（3）比较在（1）（2）两种不同的取法中，“取出的两颗糖口味一样”的概率．

6．一个盒子中装有四张完全相同的卡片，分别写着，，和，盒子外有两张卡片，分别写着和．现随机从盒内取出一张卡片，与盒子外的两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，解答下列问题：

（1）求这三条线段能构成三角形的概率；

（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．

7．（构造概率模型解题）设，求证：.

8. 证明范德蒙（Vandermonde）恒等式：

.

9. 某农科所培育出两种杂交水稻品种进行试验种植，在相同的条件下各种种植10亩。收获情况如下：

A品种

亩产量（kg）

750

780

800

840

880

亩数

2.5

1.5

2

2.5

1.5

B品种

亩产量（kg）

760

780

800

820

850

亩数

2

3

2

1

试评价两种水稻品种产量的优劣状况。

10. 某电路中有红灯、绿灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，并且每次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是．求：

（Ⅰ）第二次出现红灯的概率；

（Ⅱ）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率．

11. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为.试求：

（I）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；

（II）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.

12. 猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。

13. 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N）,求下列事件的概率

（1）指定的n个房间各有一个人住

（2）恰好有n个房间，其中各住一人

14. 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2

（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。

（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？

15. 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。

16. 基本系统是由四个整流二极管（串、并）联而成，已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作），若要求系统的可靠度0.85，请你设计二极管的联结方式。

17. 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即刻离去，求两人会面的概率。

18. 某商场为了吸引顾客，设置了两种促销方式．一种方式是：让顾客通过转转盘获得购物券．规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准100元、50元、20元的相应区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券，凭购物券可以在该商场继续购物；如果指针对准其它区域，那么就不能获得购物券．另一种方式是：不转转盘，顾客每购买100元的商品，可直接获得10元购物券．据统计，一天中共有1000人次选择了转转盘的方式，其中指针落在100元、50元、20元的次数分别为50次、100次、200次．

（1）指针落在不获奖区域的概率约是多少？

（2）通过计算说明选择哪种方式更合算？

19. 某中学高一年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，高一（1）班必须参加，另外再从高一（2）班至七（6）班选出1个班．高一（4）班有学生建议用如下的方法：从装有编号为1、2、3的三个白球袋中摸出一个球，再从装有编号为1、2、3的三个红球袋中摸出1个球（两袋中球的大小、形状与质量完全一样），摸出的两个球上的数字和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？请说明理由．

20. 某商场2009年2月搞“真情回报社会”的幸运抽奖活动，共设五个奖金等级，最高奖金每份1万元，平均奖金180元，下面是奖金的分配表：

资金等级

一等奖

二等奖

三等奖

四等奖

五等奖

资金额（元）

10000

5000

1000

50

10

中奖人数

3

8

89

300

600

一名顾客抽到一张奖券，奖金数为10元，她调查了周围不少正在兑奖的其他顾客，很少有超过50元的，她气愤地去找商场的领导论理，领导解释说这不存在什么欺骗，平均奖金确实是180元．你认为商场所说的平均奖金是否欺骗了顾客？此种说法是否能够很好地反映中奖的一般金额？用你所学的统计与概率的有关知识做简要分析说明．以后遇到类似抽奖活动的问题，你会更关心什么？

21. 抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案.现有100只外型相同的电路板，其中有40只A类版后60只B类板.问在下列两种情况中“从100只抽出3只，3只都是B类”的概率是多少？

（1）每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只（称为返回抽样）；

（2）每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只（称为不返回抽样）．

22. 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0. 21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：

（1）射中 10 环或 7 环的概率；

（2）不够7环的概率．

23. 如图，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统N_l，N₂，当元件A，B，C 都正常工作时，系统N₁正常工作；当元件A正常工作且元件B，C中至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次是0.80，0.90，0.90．试分别求出系统N_l，N₂正常工作的概率P₁，P₁．

24. 某城市518路公共汽车的准时到站率为90%，某人在5次乘坐这班车中，这班公共汽车恰好有4次准时到站的概率是多少？

25. 某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：

人数

0~6

7~12

13~18

19~24

25~30

31人以上

频率

0.1

0.15

0.25

0.20

0.1

（1）从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？

（2）全线途经10个停靠点，若有2个以上（含2个），乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？

26. 排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为和．

（1）前2局中B队以2∶0领先，求最后A、B队各自获胜的概率；

（2）B队以3∶2获胜的概率．

27. 北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”.现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片(卡片的形状大小一样，质地相同)放入盒子．

(1)小玲从盒子中任取一张,取到卡片欢欢的概率是多少?

(2)小玲从盒子中取出一张卡片,记下名字后放回,再从盒子中取出第二张卡片,记下名字.列出小玲取到的卡片的所有可能情况,并求出两次都取到卡片欢欢的概率．

28. 袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：

(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.

29. 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品.

30. 从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名?

答案：

1. 解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：

（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）．

（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同．我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：

顺　　序

甲

乙

上、中、下

上

下

上、下、中

上

中

中、上、下

中

上

中、下、上

中

上

下、上、中

下

上

下、中、上

下

中

于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是；而乙乘上等车的概率是，乘中等车的概率是，乘下等车的概率是．

乙采取的方案乘坐上等车的可能性大．

2. 解：（１）不公平．

　　　　因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：

　　　　正正，正反，反正，反反．

　　　　所以出现两个正面的概率为，

　　　　出现一正一反的概率为．

　　　　因为二者概率不等，所以游戏不公平．

　　　　（２）游戏规则一：若出现两个相同面，则甲赢；若出现一正一反（一反一正），则乙赢．

　　游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢；若出现一正一反，则甲、乙都不赢．

3. 解法一：设口袋中有个白球，

由题意，得，

解得．

答：口袋中大约有30个白球．

注：这里解分式方程是同解变形，可不检验，因而不给分．

解法二：（50次摸到红球）＝，

．．

答：口袋中大约有30个白球．

4. 答：这个游戏是公平的．

　　因为黑白两色的直角三角形都全等，且个数也分别相等，

　　所以黑白两色直角三角形面积的和也分别相等．

　　又因为黑白两色的弓形的弦长都是直角三角形的斜边，

　　所以黑白两色弓形面积的和也分别相等．

　　因此黑白两色区域面积各占圆面积的50％，

　　即镖扎在黑白两色区域面积的概率均为50%，

　　故此游戏公平．

5.（1）共有12种等可能的结果，树状图略．（2）共有16种等可能的结果，可由列表法得出（3）在（1）（2）两种不同取法中，“取出的两颗糖口味一样”的概率分别为、

6．解：由已知得：共组成4组边，即2,3,5；3,3,5；3,4,5；3,5,5，……………………2分

（1）依题意，3,3,5；3,4,5；3,5,5，有3组能构成三角形, ???????????????????? 4分

∴??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（2）依题意,3,3,5和5,3,5两组能构成等腰三角形??????????????????????????????????? 8分

∴

7. 证明：设A、B、C三个相互独立的事件，且，，，

由概率的性质及加法公式得：

∴ .

8. 证明：从装有n个白球，m个黑球的袋子里，随机摸出k个（kㄑmin（n，m））球来，设A_r表示摸到r个（0ㄑrㄑk）白球的事件，则根据古典概率的含义得：

，（r=0，1，2，…，k）

∵ 事件A₀+A₁+…+A_k是必然事件，并且A₀、A₁、…、A_k之间是互不相容的

∴

∴ .

9. 解：设A、B两种水稻的亩产量分别是、，则

随机变量的概率分布为：

750

780

800

840

880

0.25

0.15

0.2

0.25

0.15

随机变量的概率分布为：

760

780

800

820

850

0.2

0.3

0.2

0.1

∴ E=750×0.25+780×0.15+800×0.2+840×0.25+880×0.15=806.5，

E=760×0.2+780×0.2+800×0.3+820×0.2+850×0.1=797.0；

D= （750－806.5）²×0.25+（780－806.5）²×0.15+（800－806.5）²×0.2+（840－806.5）²×0.25+（880－806.5）²×0.15=2002.7，

D= （760－797.0）²×0.2+（780－797.0）²×0.2+（800－797.0）²×0.3+（820－797.0）²×0.2+（850－797.0）²×0.1=721.0.

可见， A品种水稻亩产量的数学期望值虽然略高于B品种水稻，但是B品种水稻的亩产量方差远大于A品种水稻的亩产量方差。

∴ B品种水稻的亩产量较为稳定，种植风险小。

10. 解：（Ⅰ）随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为

1－；

（Ⅱ）至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为

=；

11. 解：由于第一次出现红灯和绿灯的概率相等，由等可能事件的概率知，第一次出现红灯和绿灯的概率均为，由对立事件的概率可知，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，则接着出现绿灯的概率是；前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是，则接着出现绿灯的概率是．

　（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

12. 解：记三次射击为事件A、B、C其中P（A）=

由= P（A）=

∴ P（B）= P（C）=

∴命中野兔的概率为：P（A）+P（?B）+ P（??C）=

13. 解：∵每个人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式共有 Nⁿ种，它们是等可能的， ∴（1）指定n个房间各有一个人住记作事件A：可能的总数为n！则 P（A）=

（2）恰好有n个房间其中各住一人记作事件B，则这n个房间从N个房间中任选共有个,由（1）可知：P（B）=

14. 解：（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为A_k（k=1、2、3、4、5）那么5门高炮都未击中敌机的事件为????

∵ A_i 是相互独立事件 ∴ 敌机击被击中的概率为：

P（????）

= P（）?P（）?P （）?P（）?P（）

= (1?0.2)⁵= ∴ P = 1－

(2)设至少需要n门高炮使敌机有0.9以上的概率被击中，则：

1?> 0.9 解得：n > 10.3

∵ n∈N₊ ∴ 至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。

15. 解：由题意数学家共用了2n?r根火柴，其中n根取自一盒，n?r根取自另一盒，于是此问题可等价转化为：“2n?r个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n个，乙盒放n?r的概率”，记作事件A，因每个球放入两个盒子共有2种放法

∴2n?r个球的所有等可能结果为，甲盒放入n个球的可能结果为

∴P（A）=

16. 解：设系统可靠性为P

（1）若全并联，则P = 1?0.2⁴=0.9984 > 0.85

（2）若两个两个串联后再并联，则P = (1?0.8²)²= 0.8704 > 0.85

（3）两个两个并联后再串联，则P = (1?0.2²)²= 0.9216 > 0.85

（4）三个串联与第四个并联，则1?0.2（1?0.8³）= 0.9024 > 0.85

∴设计如下 → → → →

→ → → →

17. 解：设x、y分别为甲乙两人到达约会地点的时间，若两个人能会面，则| x?y |≤15

如图：

则（x、y）的所有可能结果是边长为60的正方形

内的所有点的集合，由等可能事件的概率求法可知：

P（A）=

18. 解：（1）（不获奖）=（或65%）　　　

（2）转转盘的平均收益为：

转转盘的方式更合算

19. 解：方法不公平．

　　　说理方法一：用表格来说明，

1

2

3

1

(1，1)(2)

(1，2)(3)

(1，3)(4)

2

(2，1)(3)

(2，2)(4)

(2，3)(5)

3

(3，1)(4)

(3，2)(5)

(3，3)(6)

　　　所以，七（2）班被选中的概率为，七（3）班被选中的概率为，七（4）班被选中的概率为，七（5）班被选中的概率为，七（6）班被选中的概率为，

　　所以，这种方法不公平．

20. 解：由题意可知：

　　　（元）

　　所以，商场领导的解释不存在欺骗．

　　但是，中小奖（不超过50元）的概率为

　　或中大奖（不低于1000元）的概率为

　　中奖金额的众数为10，中位数为10（不说中位数不扣分）．

　　所以以上说法不能反映中奖的一般金额，因此在以后此类活动中应注重中大（或小）奖的概率的大小，注意观察众数和中位数是多少．

21. 解（1）设“从100只中抽去3只，3只都是B类”为事件M，先求基本事件总数，由于每次抽去一只，测试后又放回，故每次都是从100只电路板中任取一只，这是重复排列，共有

个.再求M所包含的基本事件数，由于每次抽出后又放回，故是重复排列，共有个，所以．

（2）由于取出后不放回，所以总的基本事件数为个，事件M的基本事件数为，所以．

22. 解（1）记“射击10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A，B是互斥事件.∴P(A + B)＝P(A) + P(B)＝0.21 + 0.28＝0.49.

（2）记“不够 7 环”为事件C.∴P（）＝ 0.21 + 0.23 + 0.25 + 0.28＝0.97，从而 P(C）＝1一P（）＝ 1一0.97＝0.03．

23. 解分别记元件A，B，C正常工作的事件为A，B，C，由已知P(A)＝0.80，P(B)＝0.90，P(C)＝0.90．∵事件A，B，C互相独立，∴N₁正常工作的概率为＝0.8×0.9×0.9＝0.648．N₂正常工作的概率为＝0.8×（1－（1－0.9）（1－0.9））＝0.792．

24. 解 5次乘坐518次公共汽车，只有“车准时到站”和“车不准时到站”两种情况发生，而且每次车是否准时到站与另一次无关，因此5次乘车恰有4次准时到站的事件可看作5次独立重复试验中“车准时到站”事件恰好发生4次，故概率为．

25. 解（1）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.1+0.15+0.25+0.2=0.7．

（2）从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为0.20+0.20+0.1=0.5，途经10个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为，途经 10个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率．

所以，途经10个停靠点，有2个以上（含2个）停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率

P=1－－C（）（1－）⁹=1－=．∴该线路需要增加班次．

答：（1）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.7；(2) 该线路需要增加班次．

26. 解（1）设最后A获胜的概率为P₁，最后B获胜的概率为P₂．

∴P₁=C()³=，P₂=+×+××= （或P₂=1- P₁=）．

（2）设B队以3∶2获胜的概率为P₃．∴P₃= C()³ ()² = ．

27. 解析:（１）；（２）列出所有可能情况：易知两次都取到欢欢的概率为．

组织结构图　　

28. 解：从8个球中任意摸出4个共有种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A₁，恰有2个白球为事件A₂，3个白球为事件A₃，4个白球为事件A₄，恰有i个黑球为事件B_ｉ，则

(1)摸出2个或3个白球的概率

P₁＝Ｐ（A₂＋A₃）＝Ｐ（A₂）＋Ｐ（A₃）

(2)至少摸出1个白球的概率

P₂＝1－Ｐ（B₄）＝1－0＝1

(3)至少摸出1个黑球的概率

Ｐ₃＝1－Ｐ（A₄）＝1－

29. 解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有6²＝36种不同取法.

(1)取到的2只都是次品情况为2²＝4种.因而所求概率为.

(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为

P=

(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为

P=1-

试题详情

2009届高考数学快速提升成绩题型训练――放缩法

1. 设、、是三角形的边长，求证≥3

2 设、、是三角形的边长，求证≥

3. 设、、且求证≤1

4. 设、、≥0，且，求证≥

5. 设、、，，求证：

≥

6. 设0≤≤≤≤1，求证：≤1

7. 若a, b, c, dÎR⁺，求证：

8. 当 n > 2 时，求证：

9. 求证：

10. 已知a, b, c > 0, 且a² + b² = c²，求证：aⁿ + bⁿ < cⁿ (n≥3, nÎR^*)

11. 设、、是三角形的边长，求证≥

12. 设、、≥0，且，求证≥

13. 设、、，，求证：

≥

14. 设0≤≤≤≤1，求证：≤1

15. 已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足，证明：，

16. 已知数列的前项和满足：，

（1）写出数列的前三项，，；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有

17. 定义数列如下：

证明：（1）对于恒有成立。

（2）当，有成立。

（3）。

18. 已知求证：

19. 函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.

20. 已知a_n=n ，求证：nk=1＜3．

21. 已知数列满足求证：

22. 设求证：

23. 求证：

24. 已知，证明：不等式对任何正整数都成立.

25. 已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.

(1)证明：nⁱA＜mⁱA；(2)证明：(1+m)ⁿ＞(1+n)^m

答案：

1. 证明：由不等式的对称性，不妨设≥≥，则≤≤

且≤0， ≥0

∴

≥

∴≥3

2. 证明：由不等式的对称性，不防设≥≥，则≥

左式－右式

≥

≥≥0

3. 证明：设.且 x、y、. 由题意得：。

∴

∴≥0

∴≥

∴≤

同理：由对称性可得≤，≤ ∴命题得证.

4. 证明：不妨设≤≤ ，则≤1。∴。

又∵≥bc，即≥bc，也即≥。

∴左边

≥

∴≥

5. 证明：不妨设≥≥＞0，于是

左边－右边

≥

如果≥0，那么≥0；如果＜0，那么≥0，故有

≥0，从而原不等式得证.

6. 证明：设0≤≤≤≤1，于是有≤，再证明以

下简单不等式

≤1，因为左边

，再注意≤

≤1得证.

7. 证：记m =

∵a, b, c, dÎR⁺

∴

∴1 < m < 2 即原式成立

8. 证：∵n > 2 ∴

∴

∴n > 2时,

9. 证：

∴

10. ∵，又a, b, c > 0, ∴

∴

11. 证明：由不等式的对称性，不防设≥≥，则≥

左式－右式

≥

≥≥0

12. 证明：不妨设≤≤ ，则≤1。∴。

又∵≥bc，即≥bc，也即≥。

∴左边

≥

∴≥

13. 证明：不妨设≥≥＞0，于是

左边－右边

≥

如果≥0，那么≥0；如果＜0，那么≥0，故有

≥0，从而原不等式得证.

14. 证明：设0≤≤≤≤1，于是有≤，再证明以

下简单不等式

≤1，因为左边

，再注意≤

≤1得证.

15. 分析：由条件得：

……

以上各式两边分别相加得：

=

本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

16. 分析：⑴由递推公式易求：a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：（n>1）

化简得：

,

故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.

故 ∴

∴数列{}的通项公式为：.

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，

，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，

_{的增减性。}

2 证明函数在区间上是单调增加的。

3. 求函数在区间上的最大值及最小值．

4. 已知某商品的需求函数为（为商品的价格），总成本函数为，若工厂有权自定价格，求每天生产多少个单位产品，才能使利润达到最大？此时价格为多少？

5. 已知在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.

6. 设函数（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值

（1）求a、b、c、d的值；

（2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你

的结论.

7. 知a＞0，函数，x∈[0，+∞)，设x₁＞0，记曲线y＝f (x)在点M (x₁，f (x₁))处的切线为l．

（1）求l的方程；

（2）设l与x轴交点为(x₂，0)，证明：①x₂≥，②若，则．

8. 函数)

（1）已知的展开式中的系数为，求常数

（2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时，恒成立？如存在，求出

的值，如不存在，说明理由.

9. 已知m为实数，函数f(x)=(x²－9)（x－m）在[-3,3]上都是递减的，求m取值范围。

10. 求函数的单调递增区间。

11. （1）已知：证明：

（2）证明：方程只有一个实根：.

12. 已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范围。

13. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元。已知每生产件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？

14. 已知的图象相切.

（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；

（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围。

15. 已知抛物线C: y=x+2x和抛物线C:y=-x+,当取什么值时，C 和C有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。

16. 已知在与x=1时都取得极值。（1）求b、c之值；（2）若对任意，恒成立。求d的取值范围。

17. 研究函数的单调性.

18. 设函数=其中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.

19. 已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.

20. （1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；

　　（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。

21. 设，求函数的单调区间.

22. 求下列函数的单调区间：

⑴ ⑵

⑶ ⑷

23. 设f（x）=x³－3ax²+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间

24. 若函数y=x³－ax²+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围

25. 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间

26. 设f（x）=x³－－2x+5

（1）求f（x）的单调区间；

（2）当x∈［1，2］时，f（x）<m恒成立，求实数m的取值范围

27. 已知函数f（x）=x³－ax－1

（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）证明f（x）=x³－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方

28. 已知函数f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x－2

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）求y=f（x）的单调递增区间

29. 求证下列不等式

（1）

（2）

（3）

30. 设，求函数的单调区间

答案：

1. 解：函数f(x)的定义域是，

令

将定义域分成了如下几个区间，列表如下：

x

-1

(-1,5)

5

+

0

-

0

+

f(x)

所以函数f(x)在上单调增加，在[-1,5]上单调减少。

2. 证明：因为函数f(x)在区间可导，且

所以，函数f(x)在区间上单调增加。

3. 解：

令，得驻点为，，

由于，，，比较各值，得函数在区间上的最大值为，最小值为．

如果函数在上连续，且在上仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值就是函数在上的最大值；如果连续函数在上有且仅有一个极小值，而没有极大值，则此极小值就是函数在上的最小值．

4. 解：收入函数

利润函数

由于

令，得唯一的驻点

由于，所以为极大值点，也就是最大值点，所以当每日生产350个单位产品时，利润最大，此时价格为

个价格单位．

5.解

令=0,得

若a>0,

0

+

0

-

ㄊ

极大

ㄋ

因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,

若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,

…………（12分）

6．解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，

，即恒成立

…………4分，

时，取极小值，解得…6分

（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………8分

假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别为，

且…………（*）…………10分

、，

此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………12分

7．(1)解：，∴曲线y＝f (x)在点M (x₁，f (x₁))处的切线的斜率
∴切线l的方程为，即…… 4分

(2)解：令y＝0得
　　①≥0 　(*)
　　∴，当且仅当时等号成立．

∵，∴(*)中“＝”不成立，故 ………8分
　　
　　∵　∴，故x₂＜x₁
　　∴当时，成立． ………………………12分

8．解（1）T_r+1=C 由解得……3分

……6分

（2）要使（

只需……8分 1⁰当时，设

（0，

（，+）

―

0

+

极小值

……10分

2⁰当时，不成立 3⁰当时，不成立故当……12分

另解法只需

9. 很多学生认为，函数单调递增（递减）的充要条件是（）。事实上，（）只是函数单调递增（递减）的充分条件，而非必要条件。例如，我们知道函数在R上是增函数，但其导数0在R上恒成立，因此，函数在上单调递增（递减）的充要条件是：（）且在的任意子区间上都不恒为0。因此，本题的正确答案为.

10. 定义域作为构成函数的三要素之一，它直接制约着函数的解析式、图像和性质，在解题过程中，必须优先考虑函数的定义域，且单调区间应该是定义域的子区间。本题中的定义域为，所以正确答案为.

11. 证明：（1）构造函数.。在上为增函数。

又。

（2）构造函数

上是增函数。

又，

12. 解法1（数形结合法）：依定义有，则。若

，则在上可设图的抛物线，当且仅当上满足，即在上是增函数，故，，恒有f()=f()+f(),

试判断f(x)的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围

3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数f（x）对任意都有f（=f（，已知f（1）=2，求f（

5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+

f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。

6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.

（1）求证f（0）=1；

（2）求证：y=f（x）为偶函数.

7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？

8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0

（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；

（2）.若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。

9.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。

10．已知函数当时，恒有.

(1)求证: 是奇函数;

(2)若.

11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .

(1)求的值;

(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;

(3)若,,求数列{}的前项和.

12.已知定义域为R的函数满足.

(1)若

(2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.

13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.

(1)求;

(2)求和;

(3)判断函数的单调性,并证明.

14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.

(1)求的值;

(2)求证: 在R上是单调减函数;

(3)若且,求证:.

15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.

(1)证明:;

(2)证明: 在R上单调递减;

(3)设A=,B={},若=,试确定的取值范围.

16.已知函数是定义在R上的增函数,设F.

(1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;

(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.

17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.

(1)求的值;

(2)证明: 函数是周期函数;

(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.

18．函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。

（1）证明：；

（2）若成立，求x的取值范围。

19．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

22. 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：

（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。

24. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）?g（b）是否正确，试说明理由。

25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：

①当是定义域中的数时，有；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

答案：

1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得

f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。

2. 分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是，即化简得-1≤m<。

3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（≥0，x

， f（1）=2，

同理可得

5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）≠1，故

f（x+2）=f（x+4）=. 所以f（x+8）=.

所以f（x）是以8为周期的周期函数，

从而f（2001）=f（1）=1997

说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。

（2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），

且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数.

说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。

7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（－6，－2）上递减。令u=2-x，则当x∈(4,8)时，u是减函数且u∈(-6,-2)，而f(u)在（－6，－2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。

8. 解：（1）.因为a＞b，所以a-b＞0，由题意得

＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）=－f（b）， f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）

（2）.由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f＋f＜0，得f＜f，故＜，所以k＜

令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1

9.解：等价于

10.（1）证明：令，得

令，则

∴ ∴是奇函数。

（2）∵

又∵

11.（1）解：令，则

令，则

（2）证明：令，则，∵，∴

令，则

∴是奇函数。

（3）当时，，令，则

故，所以

∴

∵

∴，故

∴

12.解：(1)∵对任意，函数满足，且

∴

∵，∴=f(a)=a

(2) ∵对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得

∴对任意，有

上式中，令，则

∵，故

若，则，则，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故

若，则，则，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得

∴

13.（1）解：令，则

（2）∵

∴

∴数列是以为首项,1为公差的等差数列,故

==

(3)任取,则

=

∴

∴函数是R上的单调增函数.

14.(1)解: ∵对任意,有>0, ∴令得,

(2)任取任取,则令,故

∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③

∴

∴函数是R上的单调减函数.

(3) 由（1）（2）知，，∴

∵

∴，而

∴

15. (1)证明:令,则

∵当时,＞0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；

(2)解不等式 f(x+)＜f()；

(3)若f(x)≤t²－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围

2 设不等式x²－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围

3. 解关于x的不等式＞1(a≠1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4. 设函数f(x)=a^x满足条件当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围

5. ，求关于不等式的解集。

6. 解关于。

7.已知

求证：（1）；（2）。

8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。

（1）若时的值；

（2）若，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。

9.已知函数在R上是增函数，。

（1）求证：如果；

（2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；

（3）解不等式。

10.奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。

11. 设数列满足

（Ⅰ）证明：对一切正整数成立；

（Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由.

12. 设使,，求证：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

13. 已知函数,数列{}满足:

证明:（Ⅰ）;(Ⅱ).

14. 已知函数,数列满足:,

(1)证明:数列是单调递减数列.

（2）证明：

15. 若关于的不等式的解集是，求不等式的解集

16.设都是正实数,求证:

17、设，解关于的不等式

18.过点作直线交正半轴于两点.

(1)若取到最小值,求直线的方程

(2)若的面积取到最小值,求直线的方程

19.设函数正实数满足，且

（1）求证：; （2）求证：

20.已知函数,数列满足:,

(1)设证明: （2）证明：

21. （1）设a>0，b>0且，试比较a^ab^b与a^bb^a的大小。

（2）已知函数，，试比较与的大小．

22. 已知实数a,b,c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax²+bx+c

(1)如果，证明：

(2)如果，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。

23. 已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有

和，其中是大于0的常数.

设实数a₀，a，b满足和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

24. 己知，

（1）

（2），证明：对任意，的充要条件是；

（3）讨论：对任意，的充要条件。

25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

答案：

1. (1)证明任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈［－1，1］，则f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=?(x₁－x₂)

∵－1≤x₁＜x₂≤1，

∴x₁+(－x₂)≠0，由已知＞0，又 x₁－x₂＜0，

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数

(2)解 ∵f(x)在［－1，1］上为增函数，

∴ 解得 {x|－≤x＜－1，x∈R}

(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，

故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，

所以要f(x)≤t²－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t²－2at+1≥1成立，

故t²－2at≥0，记g(a)=t²－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，

只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，

解得，t≤－2或t=0或t≥2

∴t的取值范围是 {t|t≤－2或t=0或t≥2}

2. 解 M［1，4］有两种情况其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围

设f(x)=x² －2ax+a+2，有Δ=(－2a)²－(4a+2)=4(a²－a－2)

(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］

(2)当Δ=0时，a=－1或2

当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］

(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2

设方程f(x)=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

那么M=［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4

即，解得 2＜a＜，

∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)

3. 解原不等式可化为＞0，

①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解

由于

∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)

②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解

由于,

若a＜0，,解集为(，2)；

若a=0时，，解集为；

若0＜a＜1，,解集为(2，)

综上所述当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2）

4. 解由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)，x∈(0，1恒成立

在x∈(0，1恒成立

整理，当x∈(0，1)时，恒成立，

即当x∈(0，1时，恒成立，

且x=1时，恒成立，

∵在x∈(0，1上为减函数，∴＜－1，

∴m＜恒成立m＜0

又∵，在x∈(0，1上是减函数，∴＜－1

∴m＞恒成立m＞－1

当x∈(0，1)时，恒成立m∈(－1，0) ①

当x=1时，，即是∴m＜0 ②

∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1时，

f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)

5.解集为

6、①若；

②若；

③若。

7.证明：（1），

，

（2）首先易证

8.解：该商品定价上涨成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是

因而有：

（2）

9.

（1）证明：当

（2）（1）中命题的逆命题为： ①

①的逆否命题是： ②

仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立。

（2）根据（2），所解不等式等价于

。

10.解：易知，

因此，满足条件的实数m存在，它可取内的一切值。

11. 解析：（Ⅰ）证法一：

①当时，不等式成立，

②假设时，成立

当时，

时，成立

由①②可知，对一切正整数成立.

证法二：由递推公式可得

…

上述各式相加并化简得

又时，成立，故

（Ⅱ）解法一：

故

解法二：

故.因此

12. 解析：(Ⅰ)因为,所以_{Sunday.
C. Next Saturday.}

第二节（共15小题；每小题1．5分，满分22．5分）

听下面5段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。在听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。每段对话或独白读两遍。

请听第6段材料，回答第6至7题。

6. Why is the man not sure about his English?

A. His English is very poor.

B. He likes to repeat what he has said.

C. People are always asking him to repeat what he has said.

7. What does the woman advise the man to do?

A. Say right English. B. Speak louder. C. Talk slowly.

请听第7段材料，回答第8至10题。

8. What's the man's address?

A. 17 Mallett Street. B. 70 Mallett Street. C. 17 Marett Street.

9. Which house is on fire?

A. Number 16. B. Number 17. C. Number 18.

10. Why is there nobody in the house on fire?

A. The owner went shopping.

B. The owner went to work.

C. The owner went on holiday.

请听第8段材料，回答第11至13题。

11. What does the woman like to do in her free time?

A. Read and play basketball.

B. Play basketball and sing. C. Read and listen to music.

12. What musical instrument can the woman play?

A. The piano. B. The violin. C. The guitar.

13. What does the man like to do in his free time?

A. Play the guitar. B. Do sports. C. Listen to music.

请听第9段材料，回答第14至16题。

14. What are the speakers mainly talking about?

A. The beautiful scenery in New England.

B. What to do in autumn.

C. Life in the countryside.

15. Why are all the hotels and shops full in autumn in New England?

A. Many visitors come here to see the beautiful scenery.

B. People have a long holiday.

C. It gets very cold then.

16. Where can people probably see many animals running through the leaves?

A. In the forests. B. In the mountains. C. On small country roads.

请听第10段材料，回答第17至20题。

17. Who is the speaker probably talking to?

A. Art lovers. B. Photographers. C. University students.

18. How many countries has Dr Wilson been to?

A. 3. B. 4. C. 5.

19. What is Dr Wilson busy doing now?

A. Taking photographs for a newspaper.

B. Teaching painting at a university.

C. Writing a book about art.

20. What can be expected in Dr Wilson's talk?

A. The influences of some major 19th century paintings on present - day art.

B. Her experiences in European countries.

C. Lifestyle in Italy in the 19th century.

第二部分英语知识运用（共两节，满分45分）

第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分）

从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳答案。

21. Having received _________ training of the MS. Company, he was offered _________ important position in management.

A. the; an B. /; an C. the; / D. a; a

22. The lion is considered the king of the forest as it is a(n) _________ of courage and power.

A. example B. sign C. mark D. symbol

23. --The young man is good at a lot of things but you can't say he is _________.

--I agree with you. Actually no one is.

A. wonderful B. splendid C. perfect D. complete

24. Some women _________ a good salary in a job instead of staying home, but they decided not to work for the sake of the family.

A. must make B. should have made

C. would make D. could have made

25. --May I have a talk with one of your sports reporters?

--Sorry, but all of them are out to _________ the main events of the day.

A. get B. find C. cover D. search

26. --Where is Tom?

--Well, he _________ you _________ here. Otherwise he would come down right now.

A. didn't know; were B. hasn't known; are

C. doesn't know; are D. hadn't known; were

27. _________ by the terrible earthquake, Wenchuan, a city in Sichuan province, was _________ from the outside.

A. Having struck; cut up B. Struck; cut down

C. Having struck; cut out D. Struck; cut off

28. The perfect accomplishment of Shenzhou - 7 spacewalk mission is a powerful _________ to our country's achievement, which has _________ our country's status in the world.

A. evidence; enlarged B. witness; promoted

C. abundance; increased D. insurance; improved

29. After he retired from his office, Mr. Green _________ painting for a while, but soon lost interest.

A. took up B. kept up C. make up for D. take into account

30. Can't you notice that there is little time left? please tell me the whole thing _________.

A. in case B. in brief C. in total D. in detail

31. All her time _________ experiments, she has no time for films.

A. devoted to do B. devoted to doing

C. devoting to doing D. is devoted to doing

32. The boss insisted that every minute _________ made full use of _________ the work well.

A. be; to do B. was; doing C. be; doing D. was; to do

33. --Did you remember the days _________ we worked on the farm?

--Certainly. Especially the hard times _________ we spent together.

A. which; when B. when; which C. when; when D. which; which

34. _________ puzzles me most is that I don't know _________ the difference between the two lies.

A. What; how B. What; where C. That; what D. How; which

35. --It is hard to find a job today.

--I might at least get some work experience _________ I don't get a good job.

A. so that B. in cast C. now that D. even if

第二节完形填空（共20小题；每小题1．5分，满分30分）

阅读下面短文，掌握其大意，然后从36―55各题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

It was a normal Monday morning at a meeting, and the old headmaster was addressing the

students on important things in life and about 36 ourselves to what is important to us. This is

how the story went:

An old man lived in a certain part of London, and he would wake up every morning and go to

the 37 He would get the train right to Central London, and then sit at the street comer and __38 . He would do this every single day of his life. He sat at the same street comer and begged for almost 20 years.

His house was dirty, and a stench came out of the house and it smelled 39 . The neighbors

could not 40 the smell anymore, so they called the police officers to 41 _ the place. The officers 42 down the door and cleaned the house. There were small bags of 43 all over the house that he had 44 over the years.

The police counted the money, and they soon realized that the old man was a 45 . They waited outside his house in anticipation (预料) to 46 the good news with him. When he arrived home that evening, he was met by one of the officers who told him that there was no 47_ for him to beg any more as he was a rich man now, a millionaire.

He said 48 at all; he went into his house and locked the door. The next morning he woke up as usual, went to the street and continued to beg.

49 , this old man had no great plans, dreams or anything 50 for his life. We learn nothing from this story other than staying 51 the things we enjoy doing: commitment(信奉).

We should remain true to our course, which may mean devoting yourselves to things that people around you would 52 disapprove of. Let nothing distract us from being happy, let nothing else determine our fate, but 53__.

What makes us happy is 54 matters in the end…not what we acquire (获得).

This particular story is one such lesson that I will never forget. Every time I don't concentrate on course, I get reminded 55 this story.

36. A. attracting B. agreeing C. believing D. devoting

37. A. street B. factory C. subway D. airport

38. A. beg B. wait C. attempt D. evaluate

39. A. pleasant B. horrible C. endless D. serious

40. A. explain B. forget C. judge D. tolerate

41. A. clear B. remove C. control D. inspect

42. A. put B. took C. knocked D. cut

43. A. rubbish B. money C. waste D. food

44. A. managed B. stole C. arranged D. collected

45. A. millionaire B. gentleman C. boss D. gift

46. A. satisfy B. share C. believe D. report

47. A. need B. doubt C. chance D. result

48. A. something B. anything C. everything D. nothing

49. A. Clearly B. Actually C. Surprisingly D. Suddenly

50. A. fortunate B. possible C. significant D. worth

51. A. acted out B. called on C. turned to D. focused on

52. A. normally B. crazily C. finally D. completely

53. A. others B. the others C. ourselves D. some

54. A. when B. that C. what D. which

55. A. with B. of C. on D. from

第三部分阅读理解（共20小题；每小题2分，共40分）

阅读下列短文，从所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项。

A

People's Daily Online: On the night of February 5, 2009, CCTV - 1 broadcasted the "Moving China in 2008" award ceremony. The ceremony broke its tradition, presenting the special award this year to the whole Chinese people.

In the award presentation speech, the committee noted that, "In 2008, China went through many sad and happy moments. In resisting the snowstorm, earthquake relief, the Olympic Games and the space walk by one of the Shenzhou Ⅶ taikonauts, Chinese people displayed courage and wisdom, demonstrating to the world their amazing national strength."

Compared with the ceremony before, the biggest change in the award presentation gala was that this year's award presentation ceremony was divided into four parts, according to the four seasons of spring, summer, autumn and winter. The awards were presented to the ten winners according to the time order.

56. Why was the special award this year presented to the whole Chinese people?

A. China went through many sad and happy moments.

B. Chinese people displayed courage and wisdom to the world.

C. The ceremony broke its tradition.

D. There was a biggest change in the award presentation gala.

57. What's the meaning of the word "gala" in third paragraph?

A. 奖品 B. 典礼 C. 程序 D. 内容

58. The year of 2008 was not a _________ year for Chinese people.

A. peaceful B. different C. good D. happy

59. What were the sad and happy moments that China went through according to the passage?

A. the snowstorm, the earthquake , the Olympic Games and the flood.

B. the earthquake, the Olympic Games, the space walk and the 24th World Winter Universiade in Harbin.

C. the Olympic Games , the space walk, the flood and financial crisis.

D. the snowstorm, the earthquake , the Olympic Games and the space walk.

B

Surrounded by far - away mountains and nearby downtown buildings, a large open field was

filled with lines of blue and white houses. Several kids were laughing and playing table tennis inside a play room. Some old men were playing Chinese chess and a crowd of women chatting in front of two TV sets.

Two weeks after the deadly earthquake, the first batch of 1,500 people in Dujiangyan, Sichuan

Province, one of the worst earthquake - hit cities, has finally settled into a peaceful life in a newly

built temporary community.

"Compared with tents, these simple houses make us feel more at home. My grandchild can go on with his study here," said an old woman.

These one - floor buildings are totally different from their old homes. Instead of cement and bricks, the houses are made of light- weight steel or foamed plastic(泡沫塑料) and can stand a 7 - magnitude earthquake. Each of the houses, featuring about 20 square meters, serves as a three - person family unit. The units have three beds and electricity. Each has its own postal address.

Communal(公共的) facilities will include showers, toilets and refectories(食堂). It is also planned that there should be one primary school, one hospital and one supermarket for every 1,000 homes. Everything will be free to the residents in possession of their identity cards, and work has already started in looking for jobs for the community.

"More than 1.5 million such makeshift houses will be built in Sichuan, which are expected to be in use for at least three years," said Minister of Housing and Urban - Rural Development Jiang Weixin. The government said over 5.93 million rooms in Sichuan had been leveled in the quake and more than 11 million people, which even outnumber the entire population of some countries such as Norway and New Zealand, became homeless. It is planned that all the victims will be housed by early August, and that they will stay in the temporary houses for between three and five years until permanent homes are built.

60. On the whole, the article tells about ________.

A. life in the earthquake- hit areas

B. starting to rebuild the earthquake - hit areas

C. how to build houses in the earthquake - hit areas

D. caring for people in the earthquake - hit areas

61. Which word in the text is the closest in meaning to the underlined word "makeshift"?

A. Communal. B. Permanent. C. Temporary. D. Primary.

62. It can be inferred from the text that _________.

A. so far only 1500 people have moved into the makeshift houses

B. all the victims will be supplied with new houses in three years

C. nowadays it's impossible for the victims to find jobs

D. the victims are gradually returning to their normal life

63. Which of the following is FALSE about the makeshift houses mentioned in the text?

A. They lack proper and convenient communal facilities.

B. They are built not by cement and bricks but by light - weight Steel or foamed plastic.

C. A 3 - person family will get a house of 20 square meters.

D. They are expected to be used at least for 3 years.

C

Experts believe that there are about 40,000 different types of jobs in the world. Choosing the right one is a difficult job in itself.

"Finding a job" is not the same as "choosing a job". Many young people end up in a job that they are not suited to. "Chance" may play a more important part than "decision". So here are a few steps to help you think about jobs, which you might enjoy doing after school or university.

First, it is important to recognize what kind of person you are and which special qualities make you different from everyone else.

To examine your skills and abilities even further, ask yourself this question: in the following three areas - skills with people, skills with information or skills with things - which are your best skills?

You may have noticed something while you are doing this task. The point is that there is a difference between an interest and a skill. If you like and enjoy looking at pictures, it is an interest. But if you can draw a horse that looks like a horse and not a big dog, that is a skill. The best job is one that uses your skills in something that you are interested in. In addition to this, it is an advantage if you believe that a particular job is worth doing in the world.

After that, the next step is research. To find out as much as possible about different kinds of work, go to the library and read books, magazines and newspapers. Ask your friends about the work they do. If you are interested in banking, it is better to talk to a bank clerk who is twenty - four, rather than a bank manager who is sixty - four. Do not rely on your parents' friends for information. A younger person will be able to describe a normal day at work and tell you about the interesting or boring things when you first start working.

Finally, trust your own ideas and your own thinking! It is your own life, so find something that you enjoy doing.

64. The difference between "finding a job" and "choosing a job" lies in ________.

A. finding a job is a decision while choosing a job is a chance

B. finding a job is more important than choosing a job.

C. a job that you find is one who is more suitable for you than one that you choose

D. a job that you choose is based on your decision and suits you while one that you find often isn't.

65. What is the first step to find a job that suits you well?

A. The first step is to recognize what kind of person you are and which special qualities make you different from everyone else.

B. The first step is to find out as much as possible about different kinds of work.

C. The first step is to ask your friends about the work they do.

D. The first step is to consider your parents' advice.

66. All the things are ways of research about different kinds of work except ________.

A. go to library and refer to books

B. turn to your friends to help

C. turn to your parents' friends for advice

D. talk to a younger person for information

67. If you are interested in banking, you should talk to a bank clerk who is twenty ? four instead of a bank manager who is sixty - four because _________.

A. they will be able to describe a special day at work

B. they are full - time workers and can tell you about the interesting or boring things at work

C. it is easier to find a bank clerk than to find a bank manager

D. they are easier to get along with

D

Several European countries rang in the New Year in new ways.

The smoke -filled cafe became a thing of memory in France. Cigarettes were forbidden in all indoor locations such as dance clubs, restaurants, hotels, casinos (赌场) and cafes from Jan. 1, 2008. President Nicolas Sarkozy gave the first traditional New Year's greeting of his presidency, with a "message of hope, faith in life and in the future".

In Russia, Vladimir Putin delivered the last New Year's Eve address of his eight ? year presidency, boasting of (夸耀) economic improvements and claiming to have restored a sense of unity among Russians, who are likely to see him stay in power as Prime Minister after he steps down in a few months. In Moscow, thousands gathered in Red Square, watching a concert beneath the onion domes (圆顶) of St Basil's Cathedral, and fireworks above.

Along with the innovations, old traditions were maintained.

More than a million people in New York's Times Square cheered at the 100th drop of a giant ball. A century ago the tradition began with a 700 - pound ball of wood and iron, lit with 100 25 - watt bulbs. This year's event featured an energy - efficient ball clothed in Waterford crystals (水晶), with 9,576 light - shining diodes (二极管) that generated a lot of colors.

In London, people gathered in Trafalgar Square and along the banks of the River Thames to watch a firework display and hear Big Ben welcome the New Year with 12 resounding bongs.

In Sydney - one of the first cities to celebrate the New Year - one million people cheered as fireworks were launched from the Harbor Bridge on New Year's Eve.

68. How many countries are mentioned in this passage?

A. Four. B. Five. C. Six. D. Seven.

69. The word "innovations" here means ________.

A. strange ideas B. new ways C. scientific ideas D. traditional ways

70. According to the passage, which of the following New Year celebrations can be TRUE?

A. Tom and Tony enjoyed themselves in a cafe in Paris on Jan. 1, drinking and smoking.

B. Jenny watched a concert and colorful crystal balls in Red Square.

C. Cindy and Polly walked along the bank of the River Thames and enjoyed fireworks.

D. Kate stayed at home, watching Australian president's New Year address through TV.

71. We can infer from the passage that ________.

A. cigarettes will be forbidden in all places in France in the future

B. Valdimir Putin will stay in power as Prime Minister after he ends his presidency

C. in New York's Times Square, high -tech played an important role in the celebration

D. Sydney is one of the first cities to celebrate the New Year

E

Almost all theme park accidents can be prevented. Here, based on theme park safety, are some tips to help you and your family stay safe on your next visit.

Stay Cool, and Don't Get Burned

Heat causes more pain and injury at theme parks than all the world's roller coasters (过山车) combined. Water is your best friend in helping prevent heat - related illnesses in theme parks. Choose water rather than juice and soft drinks whenever you get thirsty. Put on a waterproof sunsereen before you enter the park. A hat or sunglasses can help, too.

_____________________

On any theme park fide, keep your rear(后部)on the seat, your hands on the grab bar(扶手) and your feet and knees inside the ear. If there is no grab bar, keep your hands on your lap (膝部). If you are riding a "fioorless" coaster, relax your legs. Don't kick them out to the side or front. Do not get on or off a fide until you've been given the okay by an attendant to do so.

Help the Kids

If you are visiting with a child, tell them how they should behave. Meanwhile, parents also know the following rules, too.

★Tell them to stay seated, to hold the grab bar or put their hands in the laps.

★And never put a crying child on a ride. If your child starts to cry, let others pass you in line until your child is calmed. Or, gently exit the queue and find something more relaxing to do.

★Let them take plenty of breaks.

"Kids get tired," said TPI reader Matt Johnson, a father of four. "Tired kids make parents even more tired. And tired kids and parents get hurt -- physically and emotionally." He advises that parents plan a mid - day break, perhaps a swim baek at the hotel, to avoid mid - day heat and crowds.

"You will see many families having a miserable time while you are refreshed and having a great evening."

72. The sub - title for the third paragraph should be ________.

A. Look After Yourselves B. Do Not Get On or Off a Ride Alone

C. Relax Your Legs D. Stay In to Stay Safe

73. The best title for the passage would probably be _________.

A. Theme Park Safety Tips

B. How to protect yourselves better

C. Full preparations before visiting Theme Park

D. Theme Park Accidents

74. Which of the following is NOT fight for children who are taking the fides?

A. Juice and soft drinks can help prevent heat - related illnesses in theme parks.

B. On any theme park ride, keep your hands on the grab bar or on your lap.

C. Without adults' okay sign, do not get on or off a ride.

D Let a crying child have a good rest and relax themselves.

75. We may infer from Matt Johnson's words that _________.

A. he doesn't like to visit a theme park with his children

B. parents with many children may be tired of visiting a theme park

C. not all the families are relaxed or happy when they visit a theme park

D. parents should plan a mid - day break or a swim back at the hotel to avoid heat and crowds.

第Ⅱ卷（共35分）

注意事项：

1．第二卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目写清楚。铅笔答题计零分。

第四部分：写作（共二节，满分35分）

第一节短文改错（共10小题；每小题1分，满分10分）

此题要求改正所给短文中的错课，对标有题号的每一行做出判断；如无错误，在该行右边横线上画一个勾(√)；如有错误（每行只有一个错误），则按下列情况改正：

此行多一个词：把多余的词用斜线(＼)划掉，在该行右边横线上写出该词，井也用斜线划掉。

此行缺一个词：在缺词处加一个漏字符号(∧)，在该行右边横线上写出该加的词。

此行错一个词：在错的词下划一横线，在该行右边横线上写出改正后的词。

注意：原行没有错的不要改。

Li Ming , who has been working as postman for 76. ________

two years , always wears a suit of green uniforms . 77. ________

He worked with care as well as with effort . He 78. ________

serves for the people heart and soul. Every day he 79. ________

gets up early to deliver newspapers or magazines. 80. ________

He is so careful that he has never been wrong. 81. ________

One day he had to send a dead letter and it was happened 82. ________

to be raining hardly outside . But he set out immediately. 83. ________

He had asked nearly everybody in the district after 84. ________

he managed to hand the letter in the right person . 85. ________

第二节书面表达（共25分）

在紧张的高三备考阶段，英语老师为了提高复习效率，广泛征求学生意见。假如你叫张华，请根据以下提示，给英语老师写封信，表达你们的需求和建议。

●适当放慢进度，留出思考时间

●反复训练重要、易错的知识点

●指导方法

●减少作业量以保证质量

●给予更多鼓励

注意：1．根据以上内容写一篇短文，不要逐句翻译，可适当增加细节以使行文连贯；

2．要准确使用语法和词汇；使用一定的句型、词汇，清楚、连贯地表达自己的意思；

3．词数：120个左右。开头已给出，不计词数。

Dear Mr. Wang,

We' re so pleased that you are willing to share our views.

In the course of the general revision, what we need is solid foundafion.

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