2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座七

探究、操作性问题

【知识纵横】

     探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。

【典型例题】

【例1】（江苏镇江)探索研究

如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一

点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．

（1）求证：点为线段的中点；  

（2）求证：①四边形为平行四边形；  ②平行四边形为菱形；

（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

【思路点拨】（2）①证；②设，证AP=PQ;（3）求直线的解析式与抛物线方程组成联立方程组，讨论方程组解的情况。

【例2】（福建南平）

（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．

①如图1，求证：；

 ②探究：如图1，         ；

如图2，         ；

如图3，         ．

（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．

①猜想：如图4，         （用含的式子表示）；

②根据图4证明你的猜想．

【思路点拨】（2）②由正边形的内角定理，证_。

【例3】（内江市）

在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．

观察计算

（1）在方案一中，         km（用含的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，         km（用含的式子表示）．

探索归纳

（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）请你参考右边方框中的方法指导，

就（当时）的所有取值情况进

行分析，要使铺设的管道长度较短，

应选择方案一还是方案二？

【思路点拨】参考方法指导解答探索

归纳（2）。

【例4】（浙江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．

（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：

第一步  将矩形的短边与长边对齐折叠，点落在上的点处，铺平后得折痕；

第二步    将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．

则的值是        ，的长分别是       ，        ．

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．

（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．

（4）已知梯形中，，，，且四个顶点都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

【思路点拨】（3）证,，设，建立关于x的方程解之；（4）参考图3分二类情形讨论。

【学力训练】

1、（山东聊城）探索研究：如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪

去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm²，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

2、（山东枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙）．这时AB与CD₁相交于点，与D₁E₁相交于点F．

（1）求的度数；

（2）求线段AD₁的长；

（3）若把三角形D₁CE₁绕着点顺时针再旋转30°得△D₂CE₂，这时点B在△D₂CE₂的内部、外部、还是边上？说明理由．

3、（江苏盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置

关系为   ▲   ，数量关系为   ▲   ．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF

相交于点P，求线段CP长的最大值．

    4、（07丽水市）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积．将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为．

（1）分析与计算：

求正方形的边长；

（2）操作与求解：

①正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（＞0）的变化情况是       ；

A．逐渐增大    B．逐渐减少    C．先增大后减少   D．先减少后增大

②当正方形顶点移动到点时，求的值；

（3）探究与归纳：

设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式．

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2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座六

阅读理解问题

【知识纵横】

   阅读理解的整体模式是：阅读―理解―应用。重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略。

【典型例题】

    【例1】（聊城市）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．

根据图象进行以下探究：

信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为         km；

（2）请解释图中点的实际意义；

图象理解

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

【思路点拨】理解图象的实际意义。

【例2】(江苏镇江)理解发现

阅读以下材料：

对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：

；；

解决下列问题：

（1）填空：        ；

如果，则的取值范围为．

（2）①如果，求；

②根据①，你发现了结论“如果，那么         （填的大小关系）”．证明你发现的结论；

③运用②的结论，填空：

若，则       ．

（3）在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：的最大值为         ．

     【思路点拨】（2）②，则，．若，可得；（3）作出图象，通过观察图象解答。

【例3】（广东佛山）我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.

例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）.

请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：

(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？

(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）.

请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.

(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.

【思路点拨】（2）分四种情形讨论；(3) 构建关于角的方程。

【学力训练】

1、（宁波市）阅读解答：2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．

（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？

（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

2、（温州市）解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程的解为                     

（2）解不等式≥9；

（3）若≤a对任意的x都成立，求a的取值范围.

3、(江苏盐城)阅读理解：对于任意正实数，，

，，只有点时，等号成立．

结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．

根据上述内容，回答下列问题：

若，只有当         时，有最小值          ．

思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点，（与点不重合）．过点作，垂足为，，．试根据图形验证，并指出等号成立时的条件．

4、（07宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．

(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．

(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．

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2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座五

函数、方程、不等式问题

【知识纵横】

    函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。又如例4复合了一次函数、二次函数，并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。

【典型例题】

    【例1】（天津市）已知抛物线，

（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；

（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；

（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

【思路点拨】（Ⅰ）令y=0，求方程的两根；（2）考虑判别式；（3）由不等式及结合图像解之。

【例2】（黄石市）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；

（2）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿

其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛

物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个

单位长度？

【思路点拨】（2）设,建立关于t的方程；

（3）考虑抛物线向上平移、向下平移两种情况。

【例3】（吉林长春）已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线．

（1）求的值；

（2）求函数的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由．

【思路点拨】（1）＝（y 1 + y 2）―；（2）由对称轴的方程，求出a的值；（3）考虑方程根的判别式。

【例4】（广西南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

【思路点拨】：（2）设获得的利润是万元，则＝＋，注意x范围内最值求法。

【学力训练】

1、（广州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.

（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；

（2）求出两函数解析式；

（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.

2、（江西省卷）已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是，（其中为常数，且）．

（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；

（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），

与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；

（3）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值．

3、（四川自贡）抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b.若关

于的一元二次方程有两个相等的实数根.

（1）判断△ABM的形状，并说明理由.

（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大

致图形.

（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，

求该圆的圆心坐标.

4、（青海省卷）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间（单位：分钟）与学习收益量的关系如图乙所示（其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

（1）求王亮解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）求王亮回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间之间的函数关系式；

（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？

（学习收益总量解题的学习收益量回顾反思的学习收益量）

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2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座三

函数及图像与几何问题

【知识纵横】

    函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。

【典型例题】

【例1】（山西太原）如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．

（1）求点的坐标．

（2）当为等腰三角形时，求点的坐标．

（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．

    【思路点拨】（1）注意直线方程的解与坐标关系；

（2）当为等腰三角形时，分三种情况讨论，．

（3）以点为顶点的四边形是平行四边形

三种情形。

【例2】（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．

（1）求证：与的面积相等；

（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）用的代数式表示与的面积； （2）写出两点坐标（含的代数式表示），利用三角形面积公式解之；（3）设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．证．

【例3】（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．

（1）求两点的坐标；

（2）求直线的函数解析式；

（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．

试探究：的最大面积？

【思路点拨】（1）作于；

（2）连结A C,证CD‖OB.（3）通过

几何图形建立二次函数模型解之，注意

自变量的取值范围。

【例4】（07杭州市） 在直角梯形中，，高（如图1）。动点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是。而当点到达点时，点正好到达点。设同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图2）。分别以为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段。

（1）分别求出梯形中的长度；

（2）写出图3中两点的坐标；

（3）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。

【思路点拨】（1）设动点出发秒后，点到达点且点正好到达点时，由图3知此时△ABC面积为30. （2）结合（1）的结论写出两点的坐标；（3）考虑当点在上时及当点在上时两种的关于的函数关系式.

【学力训练】

1、(07台州市) 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．

（1）判断与是否相似？请说明理由；

（2）求直线与轴交点的坐标；

（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

2、（浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。

3、（江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A

的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4、（四川乐山）在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C，若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标X_A,X_B是关于X的方程的两根:

(1)求m，n的值;

(2)若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式;

(3)过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.

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2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座二

直角坐标下通过几何图形列函数式问题

【知识纵横】

以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。

【典型例题】

【例1】（黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．

（1）求点，点的坐标．

（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）注意坐标值与线段长度关系；

（2）求得（3）分类讨论。

【例2】（广东东莞）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．

(1)填空：如图1，AC=         ，BD=         ；四边形ABCD是       梯形.

(2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10

的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

                图1

【思路点拨】（2）有9对相似三角形. ；（3）用t的变量表示相关线段，利用面积公式计算，注意自变量的取值范围。

【例3】（河北）如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.

（1）       求的长；

（2）       若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，    的面积最大，最大值是多少？

（3）       设与交于点.①当△为等腰三角形时，求（2）中的值.

②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.

【思路点拨】（3）若为等腰三角形，分三种情况

讨论，再进行比较，从而求出线段长的最大值。

                                                               图

【例4】（（甘肃兰州）如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．

（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；

（2）如图2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．

【思路点拨】（1）折痕是四边形的对称轴

（2）四边形为矩形．

（3）为等腰三角形分类讨论。

【学力训练】

1、(诸暨中学)如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：

（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。

（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的

大小关系？并证明你得到的结论。

（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数

关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。

2、 ( 湖北天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动

点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．

(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示)

(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？

(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，

试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．

3、 (吉林省长春市) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，以为边作矩形，为的中点．以，为斜边端点作等腰直角三角形，点在第一象限，设矩形与重叠部分的面积为．

（1）求点的坐标．

（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式．

（3）若在直线上存在点，

使等于，请直接写出的取值范围．

(4)在值的变化过程中，若为等腰三

角形，请直接写出所有符合条件的值．

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