2009届高考数学快速提升成绩题型训练――圆锥曲线
1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(-
m, 0)，以λb-
(1) 求点P的轨迹E； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 若
，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =
．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．
2
双曲线的实半轴与虚半轴长的积为
，它的两焦点分别为F1、F2，直线
过F2且与直线F
，且
，与线段F
，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.
3. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，
. 过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，
. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.
（1）求曲线C的方程；
（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；
（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若
，证明
4. 已知离心率为
的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在
轴上，双曲线C的右支上一点A使
且
的面积为1。
（1） 求双曲线C的标准方程；
（2） 若直线
与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标。
5.求与双曲线
有公共渐进线，且经过点
的双曲线的方程。
6、已知
分别是双曲线
的左右焦点，
是双曲线上的一点，且
=120
，求
的面积
7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值
8、已知半圆
的直径为
，点在半圆上，双曲线以
为焦点，且过点。若
，求双曲线的方程。
9. 已知圆：x2+y2=c2(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
倍得一椭圆。
⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；
⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足
，求直线l的倾斜角。
10. 已知点（x,y）在椭圆C：
（a＞b＞0）上运动
⑴求点
的轨迹C′方程；
⑵若把轨迹C′的方程表达式记为：y=f(x)，且在
内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。
11. 已知过椭圆
右焦点
且斜率为1的直线交椭圆
于
、
两点，
为弦的中点；又函数
的图像的一条对称轴的方程是
。
（1）
求椭圆的离心率
与
;
（2）
对于任意一点
,试证:总存在角
使等式: 
成立.
12. 已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.
(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？
13. 如图，已知椭圆
=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||
(1)求f(m)的解析式；
(2)求f(m)的最值.
14. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为
一条渐近线的方程是
过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足
，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.
15. 设
分别是椭圆的
左，右焦点。
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且
，
求点的坐标。
（Ⅱ）设过定点
的直线与椭圆交于不同的两点，且
为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率
的取值范围。
16. 抛物线C的方程为
，作斜率为
的两条直线，分别交抛物线C于A
两点（P、A、B三点互不相同），且满足
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M满足
证明：线段PM的中点在y轴上；
（3）当
时，若点P的坐标为（1，―1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取
值范围.
17. 如图，已知点F（1，0），直线
为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。
（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k1,k2，求k1+k2
的值；
（Ⅱ）若线段AB上点R满足
求证：
RF⊥MF。
18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直
线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且
内切圆面积最大时实数
的值.
19. 已知椭圆
，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分
所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.
20. 已知⊙M：
轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果
，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
答案：
1. 解 (1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为
；…………………………①
又λb - 
；…………………………②
由①、②消去λ得 
，即 
．
故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4；
当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以
为焦点的椭圆：
当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为
的椭圆．
(2) 假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ;
椭圆E：
；其右焦点为F(4 , 0 )，且
．
由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2- 5kx + 20k- 30 = 0,
设M(x1, y1),
N(x2, y2), 则有
， ………………………………………………③
△=25k2- 4×2(20k- 30)，
又 |MF| =
, |NF| =
, 而
；
∴ +
,
由此可得 
，……………………………………………………………………④
由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．
2. 解 以F
（a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设的方程为
，它与y轴交点
，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为
，由点Q在双曲线上可得
，又
，
∴
，
，∴双曲线方程为
.
3. （1）设点T的坐标为
，点M的坐标为
，则M1的坐标为（0，
），
，于是点N的坐标为
，N1的坐标
为
，所以
由
由此得
由
即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分
（2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C
无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为
由方程组
依题意
当
时，设交点
PQ的中点为
，
则
又
而
不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分
（3）由题意有
，则有方程组
由（1）得
（5）
将（2），（5）代入（3）有
整理并将（4）代入得
，
易知
因为B（1，0），S
，故
，所以
4. 解： （1）由题意设双曲线的标准方程为
，由已知得：
解得
∵且的面积为1
∴
,
∴
∴
∴双曲线C的标准方程为
。
（2）设
，联立
得
显然
否则直线与双曲线C只有一个交点。
即
则
又
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)
∴
即
∴
∴
化简整理得
∴
，且均满足
当
时，直线的方程为
，直线过定点（2，0），与已知矛盾！
当
时，直线的方程为
，直线过定点（
，0）
∴直线定点，定点坐标为（，0）。
5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。
解：设双曲线的方程为
在双曲线上
得
所以双曲线方程为
6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积
解：双曲线可化为
设
由题意可得
即
所以
7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值
解：设双曲线的方程为
所以渐近线方程为
到
的距离
到
的距离
*
又在双曲线上 所以
即
故*可化为
8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。
解：
在半圆上
在圆上 
即
又
可得
所以双曲线方程为
9. 解：⑴设R(x,y)是圆：x2＋y2=c2上任一点，则S（x,y）在所求椭圆上的点，设S(u,v),有u=x,v=y即x=
,y=v代入圆的方程得：
故所求的椭圆方程为：
椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=
与c无关。
⑵设直线l的方程为：x=－c＋tcos