1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方.

9.(1)已知|a|＜1，|b|＜1，求证：||＞1；

(2)求实数λ的取值范围，使不等式||＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b恒成立；

(3)已知|a|＜1，若||＜1，求b的取值范围.

(1)证明：|1－ab|²－|a－b|²=1+a²b²－a²－b²=(a²－1)(b²－1).

∵|a|＜1，|b|＜1，∴a²－1＜0，b²－1＜0.

∴|1－ab|²－|a－b|²＞0.

∴|1－ab|＞|a－b|，

=＞1.

(2)解：∵||＞1|1－abλ|²－|aλ－b|²=(a²λ²－1)(b²－1)＞0.

∵b²＜1，∴a²λ²－1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立.

当a=0时，a²λ²－1＜0成立；

当a≠0时，要使λ²＜对于任意满足|a|＜1的a恒成立，而＞1，

∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.

(3)||＜1()²＜1(a+b)²＜(1+ab)²a²+b²－1－a²b²＜0(a²－1)(b²－1)＜0.

∵|a|＜1，∴a²＜1.∴1－b²＞0，即－1＜b＜1.

●思悟小结

8.有点难度哟！

已知f(x)=x²－x+c定义在区间［0，1］上，x₁、x₂∈［0，1］，且x₁≠x₂，求证：

(1)f(0)=f(1)；

(2)| f(x₂)－f(x₁)|＜|x₁－x₂|；

(3)| f(x₁)－f(x₂)|＜；

(4)| f(x₁)－f(x₂)|≤.

证明：(1)f(0)=c，f(1)=c，

∴f(0)=f(1).

(2)| f(x₂)－f(x₁)|=|x₂－x₁||x₂+x₁－1|.

∵0≤x₁≤1，∴0≤x₂≤1，0＜x₁+x₂＜2(x₁≠x₂).

∴－1＜x₁+x₂－1＜1.

∴| f(x₂)－f(x₁)|＜|x₂－x₁|.

(3)不妨设x₂＞x₁，由(2)知

| f(x₂)－f(x₁)|＜x₂－x₁. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

而由f(0)=f(1)，从而

| f(x₂)－f(x₁)|=| f(x₂)－f(1)+f(0)－f(x₁)|≤| f(x₂)－f(1)|+| f(0)－

f(x₁)|＜|1－x₂|+|x₁|＜1－x₂+x₁.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①+②得2| f(x₂)－f(x₁)|＜1，

即| f(x₂)－f(x₁)|＜.

(4)|f(x₂)－f(x₁)|≤f_max－f_min=f(0)－f()=.

探究创新

7.(2003年湖北黄冈模拟题)已知函数f(x)=的定义域恰为不等式log₂(x+3)+logx≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.

解：由log₂(x+3)+logx≤3得

x≥，

即f(x)的定义域为［，+∞).

∵f(x)在定义域［，+∞)内单调递减，

∴当x₂＞x₁≥时，f(x₁)－f(x₂)＞0恒成立，即有(ax₁－+2)－(ax₂－+2)＞0a(x₁－x₂)－(－)＞0

(x₁－x₂)(a+)＞0恒成立.

∵x₁＜x₂，∴(x₁－x₂)(a+)＞0

a+＜0.

∵x₁x₂＞－＞－，

要使a＜－恒成立，

则a的取值范围是a≤－.

6.解不等式≤.

解：(1)当x²－2＜0且x≠0，即当－＜x＜且x≠0时，原不等式显然成立．

(2)当x²－2＞0时，原不等式与不等式组等价．

x²－2≥｜x｜，即｜x｜²－｜x｜－2≥0.

∴｜x｜≥2.∴不等式组的解为｜x｜≥2，

即x≤－2或x≥2．

∴原不等式的解集为(－∞，－2］∪(－，0)∪(0，)∪［2，+∞)．

5.关于x的方程3x²－6(m－1)x+m²+1=0的两实根为x₁、x₂，若|x₁|+|x₂|=2，求m的值.

解：x₁、x₂为方程两实根，

∴Δ=36(m－1)²－12(m²+1)≥0.

∴m≥或m≤.

又∵x₁·x₂=＞0，∴x₁、x₂同号.

∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=2|m－1|.

于是有2|m－1|=2，∴m=0或2.

∴m=0.

培养能力

4.(2004年春季北京)当0＜a＜1时，解关于x的不等式a＜a^x－2.

解：由0＜a＜1，原不等式可化为＞x－2.

这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集.　　　　　　　　　　　　 ①

或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

解不等式组①得解集为{x|≤x＜2}，

解不等式组②得解集为{x|2≤x＜5}，

所以原不等式的解集为{x|≤x＜5}.

3.(2004年全国Ⅰ，13)不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.

解法一：|x+2|≥|x|(x+2)²≥x²4x+4≥0x≥－1.

解法二： 在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象，根据图象可得x≥－1.

解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到－2的距离不小于到0的距离，∴x≥－1.

答案：{x|x≥－1}

评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.

2.不等式|x²+2x|＜3的解集为____________.

解析：－3＜x²+2x＜3，即

∴－3＜x＜1.

答案：－3＜x＜1

1.(2003年北京海淀区一模题)已知集合A={x|a－1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使AB成立的实数a的取值范围是

A.{a|3＜a≤4}　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.{a|3≤a≤4}

C.{a|3＜a＜4}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：由题意知得3≤a≤4.

答案：B