2.(2004年湖南，2)设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a、b满足

A.a+b=1　　　　　 B.a－b=1　　　　　 C.a+b=0　　　　　　 D.a－b=0

解析：0°≤α＜180°，又sinα+cosα=0，α=135°，∴a－b=0.

答案：D

1.直线x－2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是

A.k≥－1

B.k≤1

C.－1≤k≤1且k≠0

D.k≤－1或k≥1

解析：令x=0，得y=k；令y=0，得x=－2k.∴三角形面积S=｜xy｜=k².

又S≤1，即k²≤1，

∴－1≤k≤1.

又∵k=0时不合题意，故选C.

答案：C

5.下列四个命题：①经过定点P₀(x₀，y₀)的直线都可以用方程y－y₀=k(x－x₀)表示；②经过任意两个不同的点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)的直线都可以用方程(x₂－x₁)(x－x₁)=(y₂－y₁)(y－y₁)表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过定点　　　 A(0，b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的个数是

A.0　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　 D.3

解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线.只有②正确.

　　 答案：B

●典例剖析

[例1] 已知△ABC的三个顶点是A(3，－4)、B(0，3)、C(－6，0)，求它的三条边所在的直线方程.

剖析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式.

解：如下图，因△ABC的顶点B与C的坐标分别为(0，3)和(－6，0)，故B点在y轴上，C点在x轴上，即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，利用截距式，直线BC的方程为+=1，

化为一般式为x－2y+6=0.

由于B点的坐标为(0，3)，故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3.

又由顶点A(3，－4)在其上，所以－4=3k+3.故k=－.

于是直线AB的方程为y=－x+3，化为一般式为7x+3y－9=0.

由A(3，－4)、C(－6，0)，

得直线AC的斜率k_AC==－.

利用点斜式得直线AC的方程为

y－0=－(x+6)，

化为一般式为4x+9y+24=0.

也可用两点式，得直线AC的方程为

=，

再化简即可.

评述：本题考查了求直线方程的基本方法.

[例2] 已知两直线a₁x+b₁y+1=0和a₂x+b₂y+1=0的交点为P(2，3)，求过两点Q₁(a₁，b₁)、Q₂(a₂，b₂)(a₁≠a₂)的直线方程.

剖析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.

解：∵P(2，3)在已知直线上，

2a₂+3b₂+1=0.

∴2(a₁－a₂)+3(b₁－b₂)=0，即=－.

∴所求直线方程为y－b₁=－(x－a₁).

∴2x+3y－(2a₁+3b₁)=0，即2x+3y+1=0.

评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.

思考讨论　　

依“两点确定一直线”，那么你又有新的解法吗？

提示： 由

2a₁+3b₁+1=0，

2a₂+3b₂+1=0，

知Q₁、Q₂在直线2x+3y+1=0上.

[例3] 一条直线经过点P(3，2)，并且分别满足下列条件，求直线方程：

(1)倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；

(2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小(O为坐标原点).

剖析：(2)将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可.

解：(1)设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，

从而方程为8x－15y+6=0.

(2)设直线方程为+＝1，a＞0，b＞0，代入P(3，2)，得+＝1≥2，得ab≥24，

从而S_△AOB＝ab≥12，

此时＝，∴k＝－＝－.

∴方程为2x+3y－12=0.

评述：此题(2)也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值.

深化拓展　　

若求|PA|·|PB|及|OA|+|OB|的最小值，又该怎么解呢？

提示： 可类似第(2)问求解.

●闯关训练

夯实基础

4.直线y=1与直线y=x+3的夹角为___________.

解法一：l₁：y=1与l₂：y=x+3的斜率分别为k₁=0，k₂=.由两直线的夹角公式得　　 tanα=｜｜=，所以两直线的夹角为60°.

解法二：l₁与l₂表示的图象为(如下图所示)y=1与x轴平行，y=x+3与x轴倾斜角为60°，所以y=1与y=x+3的夹角为60°.

答案：60°

3.直线xcosα+y+2＝0的倾斜角范围是

A.［，)∪(，］

B.［0，］∪［，π)

C.［0，］

D.［，］

解析：设直线的倾斜角为θ，

则tanθ=－cosα.又－1≤cosα≤1，

∴－≤tanθ≤.∴θ∈［0，］∪［，π).

答案：B

2.过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是

A.－　　　　　　 B.－　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.2

解析：求出过(－1，1)、(3，9)两点的直线方程，令y=0即得.

答案：A

1.直线xtan+y=0的倾斜角是

A.－　　　　　　 B.　 　　　　　　　C.　　　　　　　　 D.

解析：k=－tan=tan(π－)=tan且∈［0，π).

答案：D

2.直线方程的五种形式

(1)斜截式：y=kx+b.

(2)点斜式：y－y₀=k(x－x₀).

(3)两点式：=.

(4)截距式：+=1.

(5)一般式：Ax+By+C=0.

●点击双基

1.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量

(1)直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.

可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.

(2)直线的斜率

倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα(α≠90°).

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是(－∞，+∞).

(3)直线的方向向量

设F₁(x₁，y₁)、F₂(x₂，y₂)是直线上不同的两点，则向量=(x₂－x₁，y₂－y₁)称为直线的方向向量.向量=(1，)=(1，k)也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.

(4)求直线斜率的方法

①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.

②公式法：已知直线过两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，且x₁≠x₂，则斜率k=.

③方向向量法：若a=(m，n)为直线的方向向量，则直线的斜率k=.

平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.

斜率的图象如下图.

对于直线上任意两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，当x₁=x₂时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x₁≠x₂时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank，k＜0时，α=π+arctank.

7.1　 直线的方程

●知识梳理